2023-2024学年河南省周口市扶沟县九年级（上）期中数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年河南省周口市扶沟县九年级（上）期中数学试卷(含解析)，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果．
下面有四个推断：
①当移植的棵数是800时，成活的棵数是688，所以“移植成活”的概率是0.860；
②随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852；
③与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵；
④在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确
其中合理的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
4．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
6．一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的为（ ）
A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球
7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
8．已知点A（﹣1，y1），B（4，y2）是抛物线y＝（x﹣2）2+k上的两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定
9．如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3
10．如图所示，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B，E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝ ．
12．一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
13．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2023的值为 ．
14．如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 ．
15．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
17．下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：⊙O的切线AB．
作法：①作射线OA；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线AB．
则直线AB即为所求作的⊙O的切线．
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝ ．
∴BA OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线 （填写推理依据）．
18．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将其配方成顶点式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标．
19．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，射线AB绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）若四边形AECF的面积为36，DE＝2，直接写出AE的长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的长．
21．主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：x2﹣3x＞0．
解：设x2﹣3x＝0，解得：x1＝0，x2＝3．则抛物线y＝x2﹣3x与x轴的交点坐标为（0，0）和（3，0）．画出二次函数y＝x2﹣3x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣3x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣3x＞0的解集为：x＜0或x＞3．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解答过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号）
①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想 ④整体思想
（2）一元二次不等式x2﹣3x＜0的解集为 ．
（3）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣3x﹣4＜0的解集．
22．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm），测得如下数据：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
23．【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴∠BAP+∠BCP＝180°，
∵∠BAP+∠BAE＝180°，
∴∠BCP＝∠BAE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∴△PBC≌△EBA（SAS）．
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为 ．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进而判断得出答案．
解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
3．如图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果．
下面有四个推断：
①当移植的棵数是800时，成活的棵数是688，所以“移植成活”的概率是0.860；
②随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852；
③与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵；
④在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确
其中合理的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【分析】根据频率与概率的关系逐项判断即可得出答案．
解：当移植的棵树是800时，成活的棵树是688，所以“移植成活”的频率是0.860，但概率不一定是0.860，故①错误；
随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852，故②正确；
试验条件下“移植成活”的概率是0.852，因此与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵，故③正确；
在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852不一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确，故④错误；
其中合理的是②③，
故选：C．
【点评】本题考查用频率估计概率，一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某一个常数p的附近，那么事件A发生的概率P（A）＝p，掌握上述内容是解题的关键．
4．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．
解：由图象开口向下可知a＜0，
由对称轴，得b＞0．
∴一次函数y＝x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出a、b的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．
5．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案．
解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，
∴∠AOB＝110°，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
6．一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的为（ ）
A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答．
解：至少有1个球是黑球是必然事件，A正确；
至少有1个球是白球是随机事件，B不正确；
至少有2个球是黑球是随机事件，C不正确；
至少有2个球是白球是随机事件，D不正确；
故选：A．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据旋转的性质得AB＝AD，由等腰三角形性质得∠B＝∠ADB，由旋转角为120°得∠BAD＝120°，由三角形内角和定理得∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，由此可求出∠B的度数．
解：∵△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转120°得到的，
∴AB＝AD，∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣120°）＝30°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了旅转的性质，掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
8．已知点A（﹣1，y1），B（4，y2）是抛物线y＝（x﹣2）2+k上的两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定
【分析】先根据抛物线的解析式得出抛物线的开口向上，抛物线的对称轴x＝2，再由二次函数的性质即可得出结论．
解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+K，
∴此抛物线开口向上，对称轴x＝2，
∵A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是（5，y1），
∵此抛物线开口向上，对称轴x＝2，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵4＜5，
∴y1＞y2．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．
9．如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3
【分析】根据图象求出抛物线在直线上方的部分对应的x的范围即可．
解：∵ax2+c≥kx+m，
∴抛物线不在直线的下方部分对应的x的范围即可不等式的解集，
由图象可知，当﹣3≤x≤1时，抛物线不在直线的下方，
∴不等式ax2+c≥kx+m的解集是﹣3≤x≤1，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数与不等式之间的关系，要牢记函数值较大的图象在函数值较小的图象的上方．
10．如图所示，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B，E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S△ABC﹣S扇形BOE＝图中阴影部分的面积求出即可．
解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAC＝∠EBA＝30°，
∴BE∥AD，
∵的长为π，
∴＝π，
解得：R＝2，
∴AB＝ADcs30°＝2，
∴BC＝AB＝，
∴AC＝＝＝3，
∴S△ABC＝×BC×AC＝××3＝，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝﹣＝＝π．
故选：D．
【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝ 1 ．
【分析】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则a+（﹣4）＝0且3+b＝0，从而得出a，b，推理得出结论．
解：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴a+（﹣4）＝0，3+b＝0，
即：a＝4且b＝﹣3，
∴a+b＝1．
【点评】本题主要考查了平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，该题比较简单．
12．一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+1（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系求解（答案不唯一）．
解：由题意得：b＝0，a＜0，c＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是：y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
13．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2023的值为 2026 ．
【分析】根据题意可得到2m2﹣3m＝1，然后整体代入到6m2﹣9m+2023即可得解．
解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，2m2﹣3m＝1，
则6m2﹣9m+2023＝3（2m2﹣3m）+2023＝3+2023＝2026，
故答案为：2026．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，采用整体代换思想是解题关键．
14．如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 ．
【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OAP＝90°，然后利用SSS证明△OAC≌△OBC，从而可得∠OAP＝∠OBC＝90°再在Rt△OAP中，利用勾股定理求出OP＝13，最后根据△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积，进行计算即可解答．
解：连接OC，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠OAP＝∠OBC＝90°，
在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，
∴OP＝＝＝13，
∵△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积，
∴OA•AC+OP•BC＝OA•AP，
∴OA•AC+OP•BC＝OA•AP，
∴5AC+13BC＝5×12，
∴AC＝BC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 90°或180°或270° ．
【分析】P点在以A为圆心，AB为半径的圆上运动，有固定轨迹，△PCD为直角三角形，要分三种情况讨论求解．
解：由题意可知，P点在以A为圆心，AB为半径的圆上运动．
如图：延长BA与⊙A交于P3，连接P3C．
∵P3C＝2AB＝BC，
又∵∠B＝60°，
∴△P3BC为等边三角形，
∴AC⊥AB．
在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴CD⊥AC．
∴∠ACD＝90°，
∴当P在直线AC上时符合题意，
∴α1＝90°，α2＝270°．
连接P3D，
∵AP3∥CD，AP3＝AB＝CD，
∴四边形ACDP3为平行四边形．
∴∠P3DC＝∠P3AC＝90°，
即：P运动到P3时符合题意．
∴α3＝180°．
记CD中点为G，以G为圆心，GC为半径作⊙G．
AG＝＝＝＝＞，
∴⊙A与⊙G相离，
∴∠DPC＜90°．
故答案为：90°、180°、270°．
【点评】本题考查了直角三角形的定义，等边三角形，等腰三角形的性质及判定，以及圆周角定理，勾股定理等知识点．题目新颖、灵活，解法多样，需要敏锐的感知图形的运动变化才能顺利解题．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是 随机 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
【分析】（1）根据题意可知：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求得甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
解：（1）由题意可得，
“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）树状图如下所示：
由上可得，一共有12种等可能事件，其中甲、丁同学都被选为宣传员的可能性有2种，
∴甲、丁同学都被选为宣传员的概率为：＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
17．下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：⊙O的切线AB．
作法：①作射线OA；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线AB．
则直线AB即为所求作的⊙O的切线．
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝ BD ．
∴BA ⊥ OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线 经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线 （填写推理依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）连接BC，BD，利用等腰三角形的三线合一的性质证明OD⊥AB即可．
解：（1）如图，直线AB即为所求．
（2）连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝BD．
∴BA⊥OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线（经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线），
故答案为：BD，⊥，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将其配方成顶点式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标．
【分析】（1）利用配方法将该二次函数解析式化简成顶点式，可得到顶点坐标，对称轴等，根据a＝1可得出抛物线开口方向；
（2）令y＝0，解得x的值，即可得出与x轴的交点坐标．
解：（1）∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上；
∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点坐标（3，﹣4），对称轴为：直线x＝3；
（2）令y＝0，即x2﹣6x+5＝0，
解得x＝1或x＝5，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；|a|的值越大，开口越小，反之，则越大；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
19．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，射线AB绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）若四边形AECF的面积为36，DE＝2，直接写出AE的长．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形得到 S四边形AFCE＝S正方形ABCD，然后利用正方形的面积公式可得AD，再根据勾股定理求得结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝90°，
在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
∴∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝36，
∴AD＝6，
∴AE＝．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的长．
【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠CED＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，因为AB＝AC，CD＝2，所以BD＝CD＝2，可求得AD＝BD•tan30°＝2，再证明△AOD是等边三角形，则OD＝AD＝2，而∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，根据弧长公式求出的长即可．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠CED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，CD＝2，
∴BD＝CD＝2，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴AD＝BD•tan30°＝2×＝2，
∵OD＝OA，∠AOD＝2∠B＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝AD＝2，
∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴＝＝，
∴的长是．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明OD∥AC是解题的关键．
21．主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：x2﹣3x＞0．
解：设x2﹣3x＝0，解得：x1＝0，x2＝3．则抛物线y＝x2﹣3x与x轴的交点坐标为（0，0）和（3，0）．画出二次函数y＝x2﹣3x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣3x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣3x＞0的解集为：x＜0或x＞3．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解答过程中，渗透了下列数学思想中的 ① 和 ③ ．（只填序号）
①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想 ④整体思想
（2）一元二次不等式x2﹣3x＜0的解集为 0＜x＜3 ．
（3）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣3x﹣4＜0的解集．
【分析】（1）把解不等式的问题转化为解一元二次方程的问题，然后画出二次函数图象后利用数形结合的思想解决问题； y＝x2﹣3x
（2）写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围；
（3）设x2﹣3x﹣4＝0，先求出抛物线y＝x2﹣3x与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（4，0）．画出二次函数y＝x2﹣3x的大致图象（如图所示），然后写出函数图象位于x轴下方所对应的自变量的范围．
解：（1）题中解答过程中，渗透了下列数学思想中转化思想和数形结合思想；
（2）当0＜x＜3时，y＜0，
即一元二次不等式x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜3；
（3）设x2﹣3x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4．则抛物线y＝x2﹣3x与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（4，0）．画出二次函数y＝x2﹣3x的大致图象（如图所示），由图象可知：当﹣1＜x＜4时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2﹣3x﹣4＜0，
所以，一元二次不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为：﹣1＜x＜4．
故答案为①③，0＜x＜3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
22．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm），测得如下数据：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 49 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 230 cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当y＝0 时，x＝230；②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49+h﹣28.75，当x＝274 时，y＝0，代入进行计算即可求解．
解：（1）描出各点，画出图象如下：
（2）①观察表格数据，可知当x＝50和x＝130 时，函数值相等，
∴对称轴为直线x＝＝90，顶点坐标为（90，49），
∵抛物线开口向下，
∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49cm，
当y＝0时，x＝230，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm；
故答案为：49；230；
②设抛物线解析式为y＝a（x﹣90）2+49，
将（230，0）代入得，0＝a（230﹣90）2+49，
解得：a＝﹣0.0025，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49；
（3）当OA＝28.75 时，抛物线的解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为h，则平移距离为（h﹣28.75）cm，
∴平移后的抛物线的解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49+h﹣28.75，
当x＝274 时，y＝0，
∴﹣0.0025（274﹣90）2+49+h﹣28.75＝0，
解得：h＝64.39；
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm．
【点评】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
23．【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 45 度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴∠BAP+∠BCP＝180°，
∵∠BAP+∠BAE＝180°，
∴∠BCP＝∠BAE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∴△PBC≌△EBA（SAS）．
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为 ．
【分析】【感知】根据圆周角定理即可得出答案；
【探究】先构造出△PBC≌△EBA（SAS），得出PB＝EB，进而得出△PBE是等边三角形，即可得出结论；
【应用】先构造出△PBC≌△GBA（SAS），进而判断出∠PBG＝90°，进而得出△PBG是等腰直角三角形，即可得出结论；
【解答】【感知】解：∵∠AOB＝90°，
∴∠APB＝∠AOB＝45°（在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半），
故答案为：45；
【探究】证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴∠BAP+∠BCP＝180°，
∵∠BAP+∠BAE＝180°，
∴∠BCP＝∠BAE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∴△PBC≌△EBA（SAS），
∴PB＝EB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠APB＝60°，
∴△PBE为等边三角形，
∴PB＝PE＝AE+AP＝PC+AP；
【应用】解：如图③，
延长PA至点G，使AG＝PC，连接BE．
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴∠BAP+∠BCP＝180°，
∵∠BAP+∠BAG＝180°，
∴∠BCP＝∠BAG，
∵BA＝BC，
∴△PBC≌△GBA（SAS），
∴PB＝GB，∠PBC＝∠GBA，
∵∠ABC＝90°，
∴∠PBG＝∠GBA+∠ABP＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝90°，
∴PG＝BP，
∵PG＝PA+AG＝PA+PC，
∴PC＝PG﹣PA＝×2PA﹣PA＝3PA，
∴＝＝，
故答案为：
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
水平距离x/cm
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度y/cm
28.75
33
45
49
45
33
0
水平距离x/cm
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度y/cm
28.75
33
45
49
45
33
0