2023-2024学年重庆实验中学等七校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆实验中学等七校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．计算6a2×a3的结果是（ ）
A．3a6B．2a5C．2a6D．3a5
2．如图所示图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，将△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，∠B＝90°，∠C＝30°，AD＝1，则DE的长度是（ ）
A．1B．C．2D．2
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝92°，则∠D的度数是（ ）
A．92°B．88°C．98°D．108°
5．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+3先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣4B．y＝（x﹣3）2﹣1
C．y＝（x+3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣1
6．估计的结果应该在（ ）
A．6和7之间B．5和6之间C．4和5之间D．3和4之间
7．用黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑点，第②个图案中有8个黑点，第③个图案中有13个黑点，第④个图案中有19个黑点，⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案中黑点的个数为（ ）
A．43B．44C．53D．54
8．提倡绿色出行，新能源汽车越来越受大家青睐．某品牌新能源汽车4S店经销商统计了1月份到3月份的销量，该品牌新能源汽车1月份销售25辆，3月份销售36辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同，该品牌新能源汽车销售量的月增长率为（ ）
A．15%B．20%C．25%D．30%
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，顶点（1，n），其中说法正确的是（ ）
A．abc＞0
B．2a﹣b＝0
C．点（x1，y1）和（x2，y2）都在该二次函数图象上，若x1＜﹣1，且2＜x2＜3，则y1＞y2
D．方程ax2+bx+c+8＝n﹣2一定有实数根
10．乙是一个求和符号，英文名称：sigma，汉语名称西格玛．例如：
i＝1+2+3+⋯+n，当n＝5时i＝1+2+3+4+5＝15；
ix＝x+2x+3x+⋯+nx，当n＝5时ix＝x+2x+3x+4x+5x＝15x；
ix1＝x1+x2+x3+⋯+xn，当n＝5时xi＝x1+x2+x3+x4+x5；
下列说法正确的个数是（ ）
①当n＝5时，；
②当n＝3时，若ix2＝54，则x＝±3；
③如果＝2022，（xi﹣）＝2024，那么xi•＝﹣2023．
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接
11．计算：2﹣1+|﹣1|﹣（2+π）0＝ ．
12．若x＝2是方程x2﹣bx+c＝0的其中一根，则4b﹣2c+1的值为 ．
13．在同一平面内，等边△ABC和正五边形BCDEF如图所示，则∠ABF的度数为 ．
14．已知三角形的两边长为3和5，第三边的长为方程x2﹣5x+4＝0的根，则该三角形的周长为 ．
15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若AB＝4，BC＝3，∠AOB＝108°，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16．若关于x的分式方程＝3有非负整数解；且数a使关于m的二次函数y＝﹣m2+（1﹣a）m+8，当m＜﹣2时，y随m的增大而增大，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
17．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC，F为CD上一点，连接BF，交AC于点G，连接DG，若DF＝CE，则∠DGF＝ ．
18．对于一个四位自然数A，若它的千位数字比十位数字多5，百位数字比个位数字多3，则称A为“五三数”．如：四位数6714，∵6﹣1＝5，7﹣4＝3，∴6714是“五三数”；四位数8821，∵8﹣2≠5，∴8421不是“五三数”，则最大的“五三数”和最小的“五三数”之差为 ；一个“五三数”A的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记M（A）＝a+c+2（b+d），N（A）＝b﹣3，若 能被5整除，则满足条件的A的值为 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）﹣b（2a﹣b）+（a+b）2；
（2）．
20．在学习了平行四边形的相关知识后，小明对它的面积进行了研究，他发现，平行四边形的面积＝底×高，可以通过三角形全等转换成矩形计算．
请根据他的思路完成以下作图和填空：
如图，四边形ABCD是平行四边形，AE垂直BC，垂足为E．用直尺和圆规作图，过点D作DF垂直BC，交BC的延长线于点F．（只保留作图痕迹）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥① ．
∴∠ABE＝② ．
∵AE垂直BC，DF垂直BC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∠AEB＝∠DFC，
∴DA∥BC，AE∥DF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵∠DFC＝90°．
∴四边形AEFD是③ ．
∴S平行四边形ABCD＝S△ABE+S四边形AECD
＝S△DCF+S四边形AECD
＝S矩形AEFD
＝AD×AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴④ ．
∴S平行四边形ABCD＝BC×AE．
即平行四边形的面积＝底×高．
21．某校对七、八年级进行了普法知识问答测试，现从七、八年级各抽取了20人的成绩进行整理，描述和分析，成绩用x表示，共分为四个等级：
A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D．x＜70．
下面给出了部分信息．
抽取的七年级20人的成绩：
68，70，73，75，79，80，82，82，85，86，86，86，88，88，90，91，93，94，96，98；
抽取的八年级B等级包含的所有数据为：89，85，87，83，84，88，81，82
抽取的七、八年级学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的普法知识问答测试，哪个年级成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）若该校七、八年级共有1800人参加普法知识问答测试，请估计两个年级成绩合格（大于或等于80分）的有多少人．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，动点E和F分别以每秒3和4个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿A→B方向运动，到达点B即停止运动，点F沿A→C方向运动，到达点C即停止运动．设运动时间为t秒，S1＝FC，S2＝S△EFC．
（1）请直接写出S1和S2关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数S1和S2的图象，并写出函数S2的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出S1＝S2时t的值，保留1位小数，误差小于0.2．
23．杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛绒玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元．
（1）求玩偶套装的进价是多少元？
（2）该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出50套，第二天卖出40套，随着亚运会结束，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，每下降5元，在第二天的销量上增加10套，到第三天结束时，这批玩偶已卖出的部分获利3900元，为了在第四天内全部卖出，应降价多少元？
24．某海域上，码头A处的海警同时接到B处和C处的求救信号，海警一组前往B处，海警二组前往C处，B在A的北偏东45°方向，C在A的南偏东30°方向，C在B的正南方向，AC＝10海里．
（1）求AB的距离（结果精确到0.1）；
（2）B处的人员得到解救后，C处还未完成解救任务，海警一组决定前往C处协助二组完成任务，若海警一组的快艇速度为每小时65海里，问海警一组能否在15分钟内到达C处？请说明理由．
（参考数据：≈1.414，
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C是直线AB上方抛物线上的一个动点．过点C作CD∥x轴，交AB于点D，过点C作CE∥y轴，交AB于点E，当△DCE的周长取得最大值时，求点C的坐标和△DCE周长的最大值；
（3）在（2）中△DCE的周长取得最大值时，把抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移个单位得到新的抛物线，点M是点C的对应点，新抛物线交y轴于点N，G为新抛物线对称轴上一点，H在新抛物线上，使得以M，N，G，H为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点H的坐标．
26．在△ABC中，BA＝BC，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转至BE的位置，使得∠ABC+∠DBE＝180°，连接AE，交BC于点F，连接CE．
（1）如图1，当∠DBE＝90°时，若AE平分∠BAC，求证：CF＝CE；
（2）如图2，取AE的中点M，连接BM．猜想BM与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DM．若∠DBE＝60°，当AD＞CD，∠BEC＝150°时，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．计算6a2×a3的结果是（ ）
A．3a6B．2a5C．2a6D．3a5
【分析】根据单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，进而得出答案．
解：6a2×a3＝3a5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．如图所示图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：选项A、B、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．如图，将△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，∠B＝90°，∠C＝30°，AD＝1，则DE的长度是（ ）
A．1B．C．2D．2
【分析】由旋转的性质可得BC＝DE，AD＝AB＝1，由直角三角形的性质可求BC的长，即可求解．
解：∵将△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，
∴BC＝DE，AD＝AB＝1，
又∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴BC＝，
∴DE＝BC＝，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝92°，则∠D的度数是（ ）
A．92°B．88°C．98°D．108°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝92°，
∴∠D＝180°﹣92°＝88°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+3先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣4B．y＝（x﹣3）2﹣1
C．y＝（x+3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣1
【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则解答即可．
解：将抛物线y＝x2+3先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是y＝（x+3）2﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
6．估计的结果应该在（ ）
A．6和7之间B．5和6之间C．4和5之间D．3和4之间
【分析】先计算出结果，再估算的大小，即可得到结果．
解：
＝
＝，
∵，
即，
∴，
∴，
即的结果应该在6和7之间，
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，得出的取值范围是解题的关键．
7．用黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑点，第②个图案中有8个黑点，第③个图案中有13个黑点，第④个图案中有19个黑点，⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案中黑点的个数为（ ）
A．43B．44C．53D．54
【分析】根据所给图形，依次求出黑点的个数，发现规律即可解决问题．
解：由所给图形可知，
第①个图案中黑点的个数为：4＝1+2+3﹣2；
第②个图案中黑点的个数为：8＝1+2+3+4﹣2；
第③个图案中黑点的个数为：13＝1+2+3+4+5﹣2；
…，
所以第n个图案中黑点的个数为：1+2+3+…+n+2﹣2＝；
当n＝8时，
（个），
即第⑧个图案中黑点的个数为53个．
故选：C．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形用含n的代数式表示出第n个图案中黑点的个数是解题的关键．
8．提倡绿色出行，新能源汽车越来越受大家青睐．某品牌新能源汽车4S店经销商统计了1月份到3月份的销量，该品牌新能源汽车1月份销售25辆，3月份销售36辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同，该品牌新能源汽车销售量的月增长率为（ ）
A．15%B．20%C．25%D．30%
【分析】设新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据1月份及3月份4S店新能源汽车的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设新能源汽车销量的月平均增长率为x，
依题意，得：25（1+x）2＝36，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌新能源汽车销售量的月增长率为20%，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，顶点（1，n），其中说法正确的是（ ）
A．abc＞0
B．2a﹣b＝0
C．点（x1，y1）和（x2，y2）都在该二次函数图象上，若x1＜﹣1，且2＜x2＜3，则y1＞y2
D．方程ax2+bx+c+8＝n﹣2一定有实数根
【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，结合所给图象逐个进行判断可以得解．
解：由题意，抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，a＜0，c＞0，
∴b＞0．
∴abc＜0，故A错误．
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a．
∴2a﹣b＝2a+2a＝4a＜0，故B错误．
∵抛物线对称轴是直线x＝1，
∴x1＜﹣1对应的函数值与x＞3时对应的函数相对应．
∵在对称轴直线x＝1的右侧，开口向下，
∴y随x的增大而减小．
又2＜x2＜3，
∴y1＜y2，故C错误．
∵抛物线y＝ax2+bx+c图象的一部分，顶点（1，n），
∴当令y＝n﹣10时，必存在两个自变量与之对应．
∴方程ax2+bx+c＝n﹣10一定有实数根．
∴方程ax2+bx+c+8＝n﹣2一定有实数根．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
10．乙是一个求和符号，英文名称：sigma，汉语名称西格玛．例如：
i＝1+2+3+⋯+n，当n＝5时i＝1+2+3+4+5＝15；
ix＝x+2x+3x+⋯+nx，当n＝5时ix＝x+2x+3x+4x+5x＝15x；
ix1＝x1+x2+x3+⋯+xn，当n＝5时xi＝x1+x2+x3+x4+x5；
下列说法正确的个数是（ ）
①当n＝5时，；
②当n＝3时，若ix2＝54，则x＝±3；
③如果＝2022，（xi﹣）＝2024，那么xi•＝﹣2023．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】首先根据题目给出的定义列出展开式，①进行计算即可．②列出方程解之即可．③根据已知分别列出展开式，再用加减法得出xi，的值，就可以得出结果了．
解：①当n＝5时，＝＝＝，故①正确；
②∵当n＝3时，＝x2+2x2+3x2＝54，
∴6x2＝54，
∴x2＝9，
∴x＝±3，
故②正确；
③∵＝2022，
∴++……+＝2022 ①，
∵（xi﹣）＝2024，
∴＝2024 ②，
∴①+②得：2x1+2x2+……+2xn＝4046，
①﹣②得：＝﹣2，
∴＝﹣1，x1+x2+……+xn＝2023，
∴xi•＝（x1+x2+……+xn）（）＝x1（）+x2（）+……+xn（）＝﹣x1﹣x2﹣……﹣xn＝﹣2023．
故③正确．
故选：D．
【点评】本题考查整式加减，分式化简，规律探究，定义运算．解题关键是能够根据已知的定义列出展开始．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接
11．计算：2﹣1+|﹣1|﹣（2+π）0＝ ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：2﹣1+|﹣1|﹣（2+π）0
＝+1﹣1
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．若x＝2是方程x2﹣bx+c＝0的其中一根，则4b﹣2c+1的值为 9 ．
【分析】先把x＝2代入一元二次方程得到2b﹣c＝4，再把4b﹣2c+1变形为2（2b﹣c）+1，然后利用整体代入的方法计算．
解：把x＝2代入方程x2﹣bx+c＝0得4﹣2b+c＝0，
∴2b﹣c＝4，
∵4b﹣2c+1＝2（2b﹣c）+1＝2×4+1＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．在同一平面内，等边△ABC和正五边形BCDEF如图所示，则∠ABF的度数为 48° ．
【分析】n边形的内角和＝（n﹣2）180°，正多边形的各内角都相等．
解：正三角形的每一个内角为60°，
正五边形的每一个内角为＝108°，
∠ABF＝∠FBC﹣∠ABC
＝108°﹣60°
＝48°．
故答案为：48°
【点评】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每一个内角都相等．关键是求出多边形的内角的度数．
14．已知三角形的两边长为3和5，第三边的长为方程x2﹣5x+4＝0的根，则该三角形的周长为 12 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝﹣1，再根据三角形三边的关系可判断三角形第三边长为4，然后计算三角形的周长即可．
解：x2﹣5x+4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
x﹣4＝0或x+1＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
当三角形第三边长为4时，3+4＞5，符合三角形三边的关系，此时三角形的周长为3+4+5＝12；
当三角形第三边长为1时，3+1＜5，不符合三角形三边的关系，舍去；
综上所述，该三角形的周长为12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若AB＝4，BC＝3，∠AOB＝108°，则图中阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，由矩形的性质得出OA的长，由等腰三角形的性质得出∠OAE的度数，利用扇形的面积公式即可得出结论．
解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝，
∵∠AOB＝108°，
∴∠OAE＝＝36°，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE＝36°，
∴S阴影＝S扇形OAE+S扇形OCF＝2S扇形OAE＝2×＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算及矩形的性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
16．若关于x的分式方程＝3有非负整数解；且数a使关于m的二次函数y＝﹣m2+（1﹣a）m+8，当m＜﹣2时，y随m的增大而增大，则所有满足条件的整数a的值之和是 0 ．
【分析】解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．
解：由分式方程＝3解得x＝，
∵关于x的分式方程＝3有非负整数解，
∴a+4是3的非负整数倍，且≠2，
∵关于m的二次函数y＝﹣m2+（1﹣a）m+8，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝，
∴当x＜时，y随x的增大而增大，
∵当m＜﹣2时，y随m的增大而增大，
∴≥﹣2，
解得a≤5，
综上可知满足条件的a的值为﹣4，﹣1，5，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣4﹣1+5＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了二次函数的性质、分式方程的解以及解一元一次不等式，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a的值是解题的关键．
17．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC，F为CD上一点，连接BF，交AC于点G，连接DG，若DF＝CE，则∠DGF＝ 45° ．
【分析】由正方形的性质得到BC＝CD＝AB＝AD，∠ABE＝∠BCF＝90°，由DF＝CE，得到BE＝CF，由SAS证明△ABE≌△BCF，得到∠CBF＝∠BAE，由角平分线定义得到∠CBF＝∠BAC＝22.5°，求出∠ABG＝90°﹣∠CBF＝67.5°，由三角形内角和定理得到∠AGB＝180°﹣∠BAG﹣∠ABG＝67.5°，因此∠AGB＝∠ABG，推出AG＝AB，得到AG＝AD，因此∠AGD＝∠ADG，由等腰直角三角形的性质得到∠DAG＝45°，因此∠AGD＝×（180°﹣45°）＝67.5°，由平角定义得到∠DGF＝180°﹣∠AGB﹣∠AGD＝45°．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝AD，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵DF＝CE，
∴BE＝CF，
∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠CBF＝∠BAE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，
∴∠CBF＝22.5°，
∴∠ABG＝90°﹣∠CBF＝67.5°，
∵∠BAG＝45°，
∴∠AGB＝180°﹣∠BAG﹣∠ABG＝67.5°，
∴∠AGB＝∠ABG，
∴AG＝AB，
∴AG＝AD，
∴∠AGD＝∠ADG，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAG＝45°，
∴∠AGD＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠DGF＝180°﹣∠AGB﹣∠AGD＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，关键是证明△ABE≌△BCF（SAS），得到∠CBF＝∠BAE＝22.5°．
18．对于一个四位自然数A，若它的千位数字比十位数字多5，百位数字比个位数字多3，则称A为“五三数”．如：四位数6714，∵6﹣1＝5，7﹣4＝3，∴6714是“五三数”；四位数8821，∵8﹣2≠5，∴8421不是“五三数”，则最大的“五三数”和最小的“五三数”之差为 4646 ；一个“五三数”A的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记M（A）＝a+c+2（b+d），N（A）＝b﹣3，若 能被5整除，则满足条件的A的值为 5401 ．
【分析】最大的“五三数”先确定千位数字最大为9，可得十位数字，确定百位数字最大为9，可得个位数字，最小的“五三数”同理可得，最大的“五三数”减去最小的“五三数”即为所求；
先确定a与c、b与d的关系，化简，能被5整除，所以其尾数是0或5，试得满足的c、d的值，得到a、b的值，可得满足条件的A的值．
解：9﹣4＝5，9﹣6＝3，最大的“五三数”是9946，5﹣0＝5，3﹣0＝3，最小的“五三数”是5300，
最大的“五三数”和最小的“五三数”之差＝9946﹣5300＝4646，
a＝5+c，b＝3+d，
能被5整除，则＝+4的尾数是0或5，
∵A是“五三数”，
∴0≤c≤4，0≤d≤6，
∵d在分母上，
∴d≠0，
∴c＝0，d＝1满足，
则a＝5，b＝4，
满足条件的A的值为5401，
故答案为：4646，5401．
【点评】本题考查了整式的加减、代数式，关键是根据a与c、b与d的关系，化简．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）﹣b（2a﹣b）+（a+b）2；
（2）．
【分析】（1）先展开，再合并同类项；
（2）先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分．
解：（1）原式＝﹣2ab+b2+a2+2ab+b2
＝a2+2b2；
（2）原式＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查整式，分式的混合运算，解题的关键是掌握掌握整式，分式相关运算的法则．
20．在学习了平行四边形的相关知识后，小明对它的面积进行了研究，他发现，平行四边形的面积＝底×高，可以通过三角形全等转换成矩形计算．
请根据他的思路完成以下作图和填空：
如图，四边形ABCD是平行四边形，AE垂直BC，垂足为E．用直尺和圆规作图，过点D作DF垂直BC，交BC的延长线于点F．（只保留作图痕迹）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥① AB ．
∴∠ABE＝② ∠DCF ．
∵AE垂直BC，DF垂直BC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∠AEB＝∠DFC，
∴DA∥BC，AE∥DF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵∠DFC＝90°．
∴四边形AEFD是③ 矩形 ．
∴S平行四边形ABCD＝S△ABE+S四边形AECD
＝S△DCF+S四边形AECD
＝S矩形AEFD
＝AD×AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴④ AD＝BC ．
∴S平行四边形ABCD＝BC×AE．
即平行四边形的面积＝底×高．
【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可．
（2）由平行四边形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定可得答案．
解：如图，DF即为所求．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠ABE＝∠DCF，
∵AE垂直BC，DF垂直BC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∠AEB＝∠DFC，
∴DA∥BC，AE∥DF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵∠DFC＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．
∴S平行四边形ABCD＝S△ABE+S四边形AECD
＝S△DCF+S四边形AECD
＝S矩形AEFD
＝AD×AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴S平行四边形ABCD＝BC×AE．
即平行四边形的面积＝底×高．
故答案为：①AB；②∠DCF；③矩形；④AD＝BC．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定与性质等知识点是解答本题的关键．
21．某校对七、八年级进行了普法知识问答测试，现从七、八年级各抽取了20人的成绩进行整理，描述和分析，成绩用x表示，共分为四个等级：
A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D．x＜70．
下面给出了部分信息．
抽取的七年级20人的成绩：
68，70，73，75，79，80，82，82，85，86，86，86，88，88，90，91，93，94，96，98；
抽取的八年级B等级包含的所有数据为：89，85，87，83，84，88，81，82
抽取的七、八年级学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 82.5 ，b＝ 86 ，m＝ 20 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的普法知识问答测试，哪个年级成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）若该校七、八年级共有1800人参加普法知识问答测试，请估计两个年级成绩合格（大于或等于80分）的有多少人．
【分析】（1）先计算八年级C组和D组的人数，进而求出A组的人数，即可确定中位数a和m；根据众数的定义求出b即可；
（2）比较平均数、中位数和众数可得结论；
（3）求出七、八年级学生竞赛成绩为A、B等级的百分比可得答案．
解：（1）C组的人数：＝6（人），
D组的人数：20×10%＝2（人），
∵B组有8人，
∴A组有4人，
∴m%＝×100%＝20%，
∴m＝20；
B组数据排序：89，88，87，85，84，83，82，81，
∵数据有20个，
∴中位数是第10个和第11个数据的平均数：＝82.5（分），
故答案为：82.5，86，20；
（2）七年级竞赛成绩较好，
理由为：两个年级平均数相同，七年级的中位数和众数高于八年级；
（3）七年级A、B等级人数是15人，八年级A、B等级人数是12人，
1800×＝1215（人），
答：估计两个年级成绩合格（大于或等于80分）的有1215人．
【点评】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的计算方法是正确求解的前提．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，动点E和F分别以每秒3和4个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿A→B方向运动，到达点B即停止运动，点F沿A→C方向运动，到达点C即停止运动．设运动时间为t秒，S1＝FC，S2＝S△EFC．
（1）请直接写出S1和S2关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数S1和S2的图象，并写出函数S2的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出S1＝S2时t的值，保留1位小数，误差小于0.2．
【分析】（1）由题意得：AF＝4t，则S1＝FC＝AC﹣AF；S2＝S△EFC＝FC×AE，即可求解；
（2）取点、描点、连线即可绘制函数图象，即可求解；
（3）观察函数图象即可求解．
解：（1）由题意得：AF＝4t，
则S1＝FC＝AC﹣AF＝8﹣4t（0≤t≤2）；
S2＝S△EFC＝FC×AE＝（8﹣4t）×3t＝﹣6t2+12t（0≤t≤2）；
（2）当t＝0，S1＝8，当t＝2时，S1＝0，
当x＝0时，S2＝0，当x＝2时，S2＝0，S2的顶点坐标为：（1，6）；
对上述点描点、连线绘制函数图象如下：
从S2的图象看，其对称轴为x＝1，顶点坐标为：（1，6）（答案不唯一）；
（3）从（2）中图象看，其交点坐标横坐标约为0.7，
即t＝0.7（答案不唯一）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形面积的计算、一次函数和二次函数的图象和性质和应用等知识，深入理解题意是解决问题的关键．
23．杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛绒玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元．
（1）求玩偶套装的进价是多少元？
（2）该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出50套，第二天卖出40套，随着亚运会结束，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，每下降5元，在第二天的销量上增加10套，到第三天结束时，这批玩偶已卖出的部分获利3900元，为了在第四天内全部卖出，应降价多少元？
【分析】（1）设玩偶套装的进价是x元，利用总利润＝每套的销售利润×销售数量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设应降价y元，则每套的销售利润为（90﹣y﹣60）元，第三天可售出（40+2y）套，根据“到第三天结束时，这批玩偶已卖出的部分获利3900元”，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，再结合要在第四天内全部卖出，即可确定结论．
解：（1）设玩偶套装的进价是x元，
根据题意得：100（108﹣x）+150（90﹣x）＝10500，
解得：x＝60．
答：玩偶套装的进价是60元；
（2）设应降价y元，则每套的销售利润为（90﹣y﹣60）元，第三天可售出40+10×＝（40+2y）套，
根据题意得：（90﹣60）×50+（90﹣60）×40+（90﹣y﹣60）（40+2y）＝3900，
整理得：y2﹣10y＝0，
解得：y1＝0，y2＝10，
又∵随着亚运会结束，该玩偶开始滞销，且要在第四天内全部卖出，
∴y＝10．
答：应降价10元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．某海域上，码头A处的海警同时接到B处和C处的求救信号，海警一组前往B处，海警二组前往C处，B在A的北偏东45°方向，C在A的南偏东30°方向，C在B的正南方向，AC＝10海里．
（1）求AB的距离（结果精确到0.1）；
（2）B处的人员得到解救后，C处还未完成解救任务，海警一组决定前往C处协助二组完成任务，若海警一组的快艇速度为每小时65海里，问海警一组能否在15分钟内到达C处？请说明理由．
（参考数据：≈1.414，
【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，由题意得：∠B＝45°，∠C＝30°，由含30°角的直角三角形的性质待定AH＝AC＝5（海里），由等腰直角三角形的性质得到AB＝AH＝5≈7.1（海里）；
（2）由直角三角形的性质求出CH的长，而BH＝AH＝5海里，即可求出BC的长，从而求出海警一组到达C的时间，即可解决问题．
解：（1）过A作AH⊥BC于H，
由题意得：∠B＝45°，∠C＝30°，
∴AH＝AC＝×10＝5（海里），
∵∠AHB＝90°，∠B＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AB＝AH＝5≈7.1（海里），
∴A、B的距离约是7.1海里．
（2）∵∠AHC＝90°，∠C＝30°，
∴CH＝AH＝5≈8.7（海里），
∵△AHB是等腰直角三角形，
∴BH＝AH＝5海里，
∴BC＝BH+CH＝13.7（海里），
∵海警一组的快艇速度为每小时65海里，
∴海警一组到达C的时间是13.7÷65≈0.21小时＝12.6（分钟），
∴海警一组能在15分钟内到达C处．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是过A作AH⊥BC于H，构造直角三角形．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C是直线AB上方抛物线上的一个动点．过点C作CD∥x轴，交AB于点D，过点C作CE∥y轴，交AB于点E，当△DCE的周长取得最大值时，求点C的坐标和△DCE周长的最大值；
（3）在（2）中△DCE的周长取得最大值时，把抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移个单位得到新的抛物线，点M是点C的对应点，新抛物线交y轴于点N，G为新抛物线对称轴上一点，H在新抛物线上，使得以M，N，G，H为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点H的坐标．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）由A（0，3），B（3，0）求出直线AB函数表达式为y＝﹣x+3，设C（t，﹣t2+t+3），则E（t，﹣t+3），可得CE＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t；由A（0，3），B（3，0），可知△CDE是等腰直角三角形，有DE＝CE＝﹣t2+t，CD＝CE＝﹣t2+t，故△DCE周长＝DE+CD+CE＝﹣t2+t﹣t2+t﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，根据二次函数性质可得答案；
（3）将抛物线y＝﹣x2+x+3向右平移个单位得到新的抛物线y＝﹣（x﹣）2+（x﹣）+3＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+，故新抛物线对称轴为直线x＝2，与y轴交于N（0，），M（3，），设G（2，m），H（n，﹣n2+2n+），分三种情况：①当MN．GH为对角线时，MN，GH的中点重合，有，②当NG，MH为对角线时，NG，MH的中点重合，，③当NH，MG为对角线时，NH，MG的中点重合，有，分别解方程组可得答案．
解：（1）把A（0，3），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）由A（0，3），B（3，0）可得直线AB函数表达式为y＝﹣x+3，
设C（t，﹣t2+t+3），则E（t，﹣t+3），
∴CE＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t；
∵A（0，3），B（3，0），
∴OA＝OB，
∴△AOB的等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∵CD∥x轴，CE∥y轴，
∴∠CDE＝∠ABO＝45°，△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝CE＝﹣t2+t，CD＝CE＝﹣t2+t，
∴△DCE周长＝DE+CD+CE＝﹣t2+t﹣t2+t﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝时，△DCE周长取最大值，
此时C（，），
∴点C的坐标为（，），△DCE周长的最大值为；
（3）将抛物线y＝﹣x2+x+3向右平移个单位得到新的抛物线y＝﹣（x﹣）2+（x﹣）+3＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+，
∴新抛物线对称轴为直线x＝2，与y轴交于N（0，），
∵点M是点C（，）的对应点，
∴M（3，），
设G（2，m），H（n，﹣n2+2n+），
①当MN．GH为对角线时，MN，GH的中点重合，
∴，
解得n＝1，
∴H（1，）；
②当NG，MH为对角线时，NG，MH的中点重合，
∴，
解得n＝﹣1，
∴H（﹣1，﹣）；
③当NH，MG为对角线时，NH，MG的中点重合，
∴，
解得n＝5，
∴H（5，﹣）；
综上所述，H的坐标为（1，）或（﹣1，﹣）或（5，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形周长，平行四边形性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
26．在△ABC中，BA＝BC，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转至BE的位置，使得∠ABC+∠DBE＝180°，连接AE，交BC于点F，连接CE．
（1）如图1，当∠DBE＝90°时，若AE平分∠BAC，求证：CF＝CE；
（2）如图2，取AE的中点M，连接BM．猜想BM与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DM．若∠DBE＝60°，当AD＞CD，∠BEC＝150°时，请直接写出的值．
【分析】（1）先证得△ABC是等腰直角三角形，可得∠BAC＝∠BCA＝45°，再利用SAS可证得△CBE≌△ABD，得出∠BCE＝∠BAD＝45°，再根据三角形内角和定理和角平分线定义可得出∠AEC＝∠CFE，运用等角对等边即可证得结论；
（2）延长AB至H，使BH＝AB，连接EH，可证得△BEH≌△BDC（SAS），得出EH＝CD，利用三角形中位线定理可得BM＝EH，即可证得结论；
（3）连接DE，AE与BD的交点记作点N，过点D作DH⊥BC于H，先证得△BDE是等边三角形，再证得点A，B，E，C四点共圆，推出AE是BD的垂直平分线，设BM＝a，则DM＝a，再运用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠DBE＝180°，∠DBE＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DBE＝90°，
∵BA＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝22.5°，
∴∠CFE＝∠CAE+∠BCA＝22.5°+45°＝67.5°，
由旋转得BE＝BD，
∵∠ABD+∠CBD＝∠CBE+∠CBD＝90°，
∴∠CBE＝∠ABD，
在△CBE和△ABD中，
，
∴△CBE≌△ABD（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD＝45°，
∴∠ACE＝∠BCA+∠BCE＝45°+45°＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠CAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AEC＝∠CFE，
∴CF＝CE；
（2）解：猜想BM＝CD．
理由如下：
延长AB至H，使BH＝AB，连接EH，如图2，
则∠ABC+∠CBH＝180°，
∵∠ABC+∠DBE＝180°，
∴∠CBH＝∠DBE，
即∠CBE+∠EBH＝∠DBC+∠CBE，
∴∠EBH＝∠DBC，
∵AB＝BC，
∴BH＝BC，
由旋转得BE＝BD，
在△BEH和△BDC中，
，
∴△BEH≌△BDC（SAS），
∴EH＝CD，
∵点B、M分别是AH、AE的中点，
∴BM＝EH，
∴BM＝CD；
（3）解：如图3，连接DE，AE与BD的交点记作点N，过点D作DH⊥BC于H，
∵∠ABC+∠DBE＝180°，∠DBE＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵BD＝BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴BE＝DE，∠BDE＝∠BED＝60°，
∵∠BEC＝150°，
∴∠DEC＝∠BEC﹣∠BED＝90°，
在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∵∠BEC＝150°，
∴∠BAC+∠BEC＝180°，
∴点A，B，E，C四点共圆，
∴∠AEC＝∠ABC＝120°，
∴∠AED＝∠AEC﹣∠DEC＝30°，
∴∠DNE＝180°﹣∠BDE﹣∠AED＝90°，
∵BE＝DE，
∴BN＝DN，
∴AE是BD的垂直平分线，
∴BM＝DM，BA＝AD＝BC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝15°，
∴∠BCE＝∠BAE＝15°，
∴∠DCE＝∠BCA+∠BCE＝45°，
∵∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝45°＝∠DCE，
∴DE＝CE，
∴BE＝CE，
设BM＝a，则DM＝a，
由（2）知，BM＝CD，
∴CD＝2BM＝2a，
∴CE＝DE＝CD＝a，
∴BD＝a，
∴DN＝BD＝a，
∵DH⊥AC，
在Rt△DHC中，∠ACB＝30°，CD＝2a，
∴DH＝a，
根据勾股定理得，CH＝a，
在Rt△BHD中，根据勾股定理得，BH＝＝＝a，
∴BC＝BH+CH＝a+a，
∴AD＝a+a，
∴＝＝1+．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，判断出点A，B，E，C四点共圆是解题的关键．
学生
平均数
中位数
众数
七年级
84.5
86
b
八年级
84.5
a
79
学生
平均数
中位数
众数
七年级
84.5
86
b
八年级
84.5
a
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