陕西省商洛市山阳县色河铺镇九年制学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份陕西省商洛市山阳县色河铺镇九年制学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．方程的解为（ ）.
A．1B．C．D．0
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．已知点A的坐标是，那么它关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
6．若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．向空中发射一枚炮弹，经过秒后高度为米，且时间与高度的关系式为，若炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的时间是（ ）
A．第8秒B．第9秒C．第10秒D．第11秒
8．如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．函数是二次函数，则m的值为 ．
10．设m是方程的一个根，则的值为 ．
11．点，在二次函数的图像上，则 ．（填“＞”“＜”或“=”）
12．如图，绕点顺时针旋转后与重合．若，则 ．
13．如图中，，，，点D，E分别是，的中点，将绕点D在平面内旋转，点E的对应点为点F，连接，，当C，D，F三点共线时，的长为 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．解方程：．
15．若二次函数的图象与x轴只有一个交点，求b的值．
16．已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式．
17．如图，在中，，将绕点A旋转到的位置，连接，当时，求的度数．
18．已知关于的一元二次方程，若方程的一个根是，求另一个根及值．
19．如图，四边形是正方形，点F为延长线上一点，连接，旋转一定角度后得到，求证：．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于点A．
(1)画出将绕原点逆时针旋转后所得的，并写出点的坐标；
(2)画出关于原点O的中心对称图形，并写出点的坐标．
21．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少?
(2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点中的两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为（1）中所求抛物线上一点，且，求n的取值范围．
23．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
24．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
25．如图，经过，两点的抛物线与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)若线段上有一动点M（不与B、C重合），过点M作轴交抛物线于点N，是否存在一点M，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图①，在中，，，点D、E分别在边上，，连接、，点M、P、N分别为、、的中点，连接、．
观察猜想
（1）线段与______ “等垂线段”；（填“是”或“不是”）
猜想论证
（2）绕点A按逆时针方向旋转到图②所示的位置，连接、，试判断与是否为“等垂线段”，并说明理由；
拓展延伸
（3）把绕点A在平面内自由旋转，若，请求出与的积的最大值．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
根据直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
解得，，
故选：C．
2．A
【分析】根据中心对称图形的定义即可求得，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】A．是中心对称图形，符合题意；B．是轴对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，不符合题意；D．是轴对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的特征是解题的关键，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
3．B
【分析】根据形如的顶点坐标的特征解答即可．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标为 .
故答案为：B.
【点睛】本题主要考查了确定抛物线的顶点坐标，掌握顶点坐标的形式是解题的关键．即形如的顶点坐标是．
4．D
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标和纵坐标均互为相反数进行求解即可．
【详解】解：点A的坐标是，那么它关于原点对称的点的坐标是，
故选：D
【点睛】此题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的点的特征是解题的关键．
5．D
【分析】根据二次函数图象的平移方法即可进行求解．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．
6．A
【分析】根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点即可解答．
【详解】解：的图象经过点，，
方程的解为，．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确应用两者的关系．
7．C
【分析】本题先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出跑弹所在高度最高时的值．
【详解】解：∵此炮弹在第6与第14秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴炮弹所在高度最高是10秒，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
8．B
【分析】先求出点B、D的坐标，由题意可得每8次旋转一个循环，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作轴于点E，轴于点F，连接，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵是等腰直角三角形，，
∴
∴
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴
∴，
∵
∴每8次旋转一个循环，
∵
由题意可得，最后的位置是,如图，
∴点的坐标
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键．
9．3
【分析】根据二次函数的定义列式计算，得到答案．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴且，
解得：．
则m的值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟记定义是解题的关键．
10．2024
【分析】由题意知，，则，代入求值即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∴，
故答案为：2024．
【点睛】本题考查了方程的根，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握方程的根的定义．
11．＜
【分析】此题主要考查二次函数的图像，利用函数的对称性是解题的关键，先计算对称轴，再计算点到对称轴的距离，比较大小，结合抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大计算即可．
【详解】∵．
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵，
∴，
故答案为：＜．
12．##度
【分析】由旋转的性质得，进一步计算即可求解．
【详解】解：由旋转的性质得，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，是基础题，熟记性质并确定是解题的关键．
13．或
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，分点F在和其延长线上，两种情况计算，根据，，，判定，都是等边三角形，根据等边三角形的性质，勾股定理计算即可．
【详解】如图，当点F在上时，
∵，，，点D，E分别是，的中点，
∴,,
,
∴是等边三角形，
∴,
∵
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点F在的延长线上时，
根据前面证明得到，
∴，
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：“利用因式分解求出方程的解的方法”，是解一元二次方程最常用的方法，本题利用因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】解：
，
或，
所以．
15．5或-3
【分析】根据函数图象与x轴只有一个交点，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴．
解得：或-3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握当时，二次函数的图象与x轴有两个交点；当时，二次函数的图象与x轴有一个交点；当时，二次函数的图象与x轴没有交点．
16．
【分析】设出顶点式，代入求解即可．
【详解】解：由题意设函数的解析式是
把代入函数解析式得，
解得：，
则抛物线的解析式是.
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法,关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．
17．
【分析】本题主要考查的是旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数．证出以及是解题的关键．
【详解】解：∵
∴，
∵由旋转的性质可知，，
∴，
∴，
∴．
18．另一个根是，的值是
【分析】把方程的一个根是代入一元二次方程可求出的值，再把的值代入即可求解另一个根．
【详解】解：∵方程的一个根是，
∴，解得，，
∴一元二次方程为，
∴，解得，，
∴另一个根是，的值是．
【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的根求参数，求根，掌握根据方程的根求参数的方法，解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
∵旋转一定角度后得到，
∴，
延长，交于点M，
则，
∴，
∴，
∴．
20．(1)见解析，
(2)见解析，
【分析】本题主要考查了旋转变换作图．
（1）根据旋转中心为原点O，旋转方向逆时针，旋转角度得到点A、B的对应点，连接得到即可；根据点所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标．
（2）根据关于原点对称的点的坐标特点画出图形，并直接写出答案．
【详解】（1）如图所示，即为所求，
由图知，；
（2）如图所示，即为所求，由图知，点
21．(1)4s；
(2)小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m．
【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值．
（2）将函数解析式配方成顶点式可得最值；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：（不合题意舍去），，
答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s．
（2）解：，
当时，取得最大值m；
答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法其抛物线的解析式，抛物线的性质求范围．
(1)抛物线经过，，代入计算即可．
(2) 根据对称轴，性质，增减性计算即可．
【详解】（1）∵抛物线，
∴抛物线一定过，
∴抛物线不过点，
经过，，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）∵．
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，函数有最小值4，且点与对称轴的距离越大，函数值越小，
∵在的范围中，
∴y的最大值为4；
∵，
∴时，函数取得最小值，且为，
故函数值的取值范围是．
23．(1)
(2)
【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式；
（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）
∴依题意得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴每次降价的百分率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（1）养鸡场的宽是10m，长为15m；（2）围成养鸡场的面积不能达到200m2，见解析
【分析】（1）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；
（2）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出△的值，即可得出答案．
【详解】解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（35﹣2x）＝150，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18，
当x2＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去），
则养鸡场的宽是10m，长为15m．
（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（35﹣2x）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．
25．(1)；
(2)存点M，使得四边形为平行四边形，且
【分析】本题考查了抛物线的解析式，与坐标轴的交点，平行四边形的存在问题，熟练掌握待定系数法，平行四边形的判定是解题的关键．
(1)把点的坐标代入解析式，解方程组即可．
(2)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定列式解答即可．
【详解】（1）∵经过，两点的抛物线与y轴交于点C．
∴，
解得，
故抛物线的解析式为，
令得，
∴．
（2）∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为，
设，
∵四边形为平行四边形，
故点C向下平移4个单位得到点O，故只须将点M向下平移4个单位得到点N，即可得到平行四边形，此时，
∵点N在抛物线上，
∴，
∴，
解得，
故．
故存点M，使得四边形为平行四边形，且．
26．（1）是，见解析（2）是，见解析（3）49
【分析】（1）由题可知、均是中位线，由，根据，，，得到，继而得到，结合平行线的性质，得到即可．
（2）先证，转化成（1）证明即可.
（3）由（2）可得，要使有最大值，则只需有最大值，根据点A是定点，是定长，判定点D在以A圆心，以4为半径的圆上，根据直径是最大的弦，确定点B，A，D三点共线时，有最大值，且为14，计算的最大值即可.
【详解】（1）∵点M、P、N分别为、、的中点，
∴、均是中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，,
故答案：是．
（2）∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点M、P、N分别为、、的中点，
∴、均是中位线，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴
∴，,
故答案：是．
（3）由（2）可得，要使有最大值，则只需有最大值，
∵点A是定点，是定长，，
∴点D在以A圆心，以4为半径的圆上，
∵直径是最大的弦，
∴点B，A，D三点共线时，且B，D在店A的两侧时，有最大值，且为14，
∴，
∴的最大值为49.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，构造辅助圆求最值，熟练掌握中位线定理，构造辅助圆是解题的关键.