统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷五仿真模拟专练三理（附解析）

这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷五仿真模拟专练三理（附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列选项中，满足“∅是集合M＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}的真子集”成立的必要不充分条件的是( )
A．a∈(－∞，0) B．a∈(－∞，0] C．a∈(－∞，1] D．a∈(－∞，2)
2．设复数z是纯虚数，若eq \f(1－i,z＋2)是实数，则eq \(z,\s\up6(－))＝( )
A．－2iB．－iC．iD．2i
3．已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为( )
A．－6B．6C．0D．10
4．已知平面向量a，b的夹角为eq \f(π,3)，且|a|＝2，|b|＝1，则|a－2b|＝( )
A．4B．2C．1D．eq \r(6)
5．角α终边经过点P(2＋eq \r(3)，1)，若把α逆时针方向旋转eq \f(π,4)后得到β，则tanβ＝( )
A．3B．eq \r(3)C．－3D．－eq \r(3)
6.
中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，其高为3，AA1⊥底面，底面扇环所对的圆心角为eq \f(π,2)，弧AD长度为弧BC长度的3倍，且CD＝2，则该曲池的体积为( )
A．eq \f(9π,2)B．6πC．eq \f(11π,2)D．5π
7．恩格尔系数(Engel'sCefficient)是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入．如图为我国2016年至2022年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图．

给出三个结论：
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小．
其中正确的是( )
A．①B．②C．①②D．②③
8．若a、b、c是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．若a∥b∥c，则a、b、c共面B．若a、b、c过同一点，则a、b、c共面
C．若a⊥c，b⊥c，则a∥bD．若a∥b，a⊥c，则b⊥c
9．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m>1，客运车票增加了62种，则现在车站的个数为( )
A．15B．16C．17D．18
10．已知函数f(x)＝sin (ωx＋eq \f(π,2))(ω>0)，将f(x)的图象向右平移eq \f(π,3ω)个单位得到函数g(x)的图象，点A，B，C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是( )
A．(eq \f(\r(3),3)π，＋∞) B．(eq \f(\r(2),2)π，＋∞) C．(0，eq \f(\r(2),2)π) D．(0，eq \f(\r(3),3)π)
11．设x，y，z>0，a＝4x＋eq \f(1,y)，b＝4y＋eq \f(1,z)，c＝4z＋eq \f(1,x)，则a，b，c三个数( )
A．都小于4B．至少有一个不大于4
C．都大于4D．至少有一个不小于4
12.
如图所示A，B，C是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的三个点，点A，B关于原点对称，线段AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|＝|FC|，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \f(\r(17),3)B．eq \f(\r(15),2)C．eq \r(10)D．eq \f(\r(10),2)
[答题区]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知(x－1)3(x＋a)2(a∈Z)的展开式中x的系数等于8，则a等于________．
14．正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是________．
15．已知数列{an}满足eq \f(an＋1,an＋2)＋eq \f(an＋1,an)＝2＋an＋1，且a1＝1，a2＝eq \f(1,3)，则{an}的通项公式an＝________．
16．苏格兰数学家纳皮尔在研究天文的过程中，通过对运算体系的研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，发明了对数，这是数学史上的大事件．他的朋友布里格斯构造了现在常用的以10为底的常用对数lgx，并出版了常用对数表，以下是部分数据(保留到小数点后三位)，瑞士数学家欧拉则在1770年指出了“对数源于指数”，根据下表中的参考数据和指对数之间关系，判断下面的结论，其中正确的序号是________．
①410在区间(106，107)内；
②250是15位数；
③若3－20＝k×10m(1≤k0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上的一点，△PF1F2的周长为6，过焦点的弦中最短的弦长为3；椭圆C1的右焦点为抛物线C2：y2＝2px的焦点．
(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程；
(2)过椭圆C1的右顶点Q的直线l交抛物线C2于A、B两点，点O为原点，射线OA、OB分别交椭圆于C、D两点，△OCD的面积为S1，以A、C、D、B为顶点的四边形的面积为S2，问是否存在直线l使得S2＝eq \f(10,3)S1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
21．(12分)已知函数f(x)＝ax2－csx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)当a＝－eq \f(1,2)时，求f(x)的值域；
(2)讨论f(x)极值点的个数．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2csθ,y＝4sinθ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1＋tcsα,y＝2＋tsinα))(t为参数).
(1)求C和l的普通方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(－1，2)，求l的斜率．
23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x＋a|＋2|x－1|.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤4的解集；
(2)若∃x∈[1，2]，使得不等式f(x)>x2成立，求实数a的取值范围．
仿真模拟专练（三）
1．D 若“∅是集合M＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}的真子集”
所以M＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}≠∅，
所以方程ax2＋2x＋1＝0有实数解，
当a＝0时，由2x＋1＝0可得x＝－eq \f(1,2)，符合题意，
当a≠0时，由Δ＝4－4a≥0可得a≤1，
所以a≤1且a≠0，
综上所述：M＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}≠∅的充要条件为a≤1；
即“∅是集合M＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}的真子集”成立的充要条件为a≤1；
所选集合是a≤1的必要不充分条件，则（－∞，1]应是所选集合的真子集，
由选项判断A，B，C都不正确，选项D正确；故选D.
2．D 设z＝bi（b∈R，b≠0），
所以eq \f(1－i,z＋2)＝eq \f(1－i,bi＋2)＝eq \f(（1－i）（2－bi）,（2＋bi）（2－bi）)＝eq \f(2－b－（2＋b）i,4＋b2)是实数，
所以2＋b＝0，∴b＝－2.
所以z＝－2i，∴eq \(z,\s\up6(－))＝2i.
故选D.
3．B 由于{an}，{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，
而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，
故a10－b10＝6.
故选B.
4．B |a－2b|2＝（a－2b）2＝a2－4a·b＋4b2＝|a|2－4|a|·|b|cseq \f(π,3)＋4|b|2，
因为向量a，b的夹角为eq \f(π,3)，且|a|＝2，|b|＝1，
所以|a－2b|2＝4－4×2×eq \f(1,2)＋4＝4，|a－2b|＝2.
故选B.
5．B 角α终边经过点P（2＋eq \r(3)，1），则tanα＝eq \f(1,2＋\r(3))＝2－eq \r(3)，
把α逆时针方向旋转eq \f(π,4)后得到β，所以β＝α＋eq \f(π,4)，
所以tanβ＝tan（α＋eq \f(π,4)）＝eq \f(1＋tanα,1－tanα)＝eq \f(1＋2－\r(3),1－（2－\r(3)）)＝eq \r(3)，
故选B.
6．B 不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，由弧AD长度为弧BC长度的3倍可知R＝3r，CD＝R－r＝2r＝2，即r＝1.故该曲池的体积V＝eq \f(π,4)×（R2－r2）×3＝6π.
故选B.
7．C 由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，故两者之间存在负相关关系，结论①正确；恩格尔系数越小，居民人均可支配收入越多，经济越富裕，结论②正确；家庭收入越少，人们为解决温饱问题，收入的大部分用来购买食品，结论③错误．
故选C.
8．D A设a，b确定的平面为α，当c∥α时，a、b、c不共面，故A错误；
B不妨设a、b、c为三棱锥的三条侧棱所在直线，显然a、b、c共点，但是a、b、c不共面，故B错误；
C若a，b为平面α内的两条直线，且c⊥α，显然满足a⊥c，b⊥c，但是a，b不一定平行，故C错误；
D若a∥b，a⊥c，则b⊥c，故D正确；故选D.
9．C 原来n个车站有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) 种车票，新增了m个车站，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋m)) 种车票，
由题意得A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋m)) －A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝62，即（m＋n）（m＋n－1）－n（n－1）＝62，
整理得2mn＋m2－m＝62，∴n＝eq \f(31,m)－eq \f(m－1,2)，
∵m>1，n>0，∴eq \f(31,m)>eq \f(m－1,2)，∴m2－m－62