江苏省扬州市扬州中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省扬州市扬州中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了05， 若复数，则， 已知，则， 下面是关于复数， 关于函数,下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。

2023.05
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）
1. 若复数(为虚数单位)，则（ ）.
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意先求出，然后再求出模.
【详解】因为，化简得，故，所以
故选：
2. 设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用直线、平面的位置关系进行判断以及通过举反例进行排除.
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，，则或相交，故B错误；
对于C，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知C正确；
对于D，若，，，当，不一定垂直于，
故D错误.
故选：C.
3. 在中，若，，，则此三角形解的情况是（ ）
A. 有一解B. 有两解C. 无解D. 有解但解的个数不确定
【答案】B
【解析】
【分析】由，根据作圆法结论可得结果.
【详解】，，有两解.
故选：B.
4. 设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为（ ）.
A. B. C. 3D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】表示出在上投影向量，结合已知条件即可求得答案.
【详解】由题意可知：在上投影向量为 ，
故在上投影向量的模为，
故选：A
5. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）

A. 16B. C. D. 21
【答案】D
【解析】
【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解.
【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，
故.
故选：D
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用和差角公式展开，得到，即可得到，再利用两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以
.
故选：A．
7. 已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（ ）
A. B. C. D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】由题意分析可知四边形关于直线对称，且，只需考虑点E在边上的运动情况即可，然后分类讨论,求出最小值.
【详解】
如图所示，因为，且，所以垂直且平分，
则为等腰三角形，又，所以为等边三角形,
则四边形关于直线对称，故点E在四边形上运动时，
只需考虑点E在边上的运动情况即可，
因为，，知，即，
则，
①当点E边上运动时，设，则，
则,
当时，最小值为；
②当点E在边上运动时，
设,则,
则
，
当时，的最小值为；
综上，的最小值为；
故选：C．
【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形的几何性质，即要推出，然后要考虑E点位置，即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出，结合二次函数性质即可求解.
8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式可得，推出，则,结合锐角三角形确定B的范围，继而将不等式恒成立转化为恒成立，结合对勾函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由可得，
结合,
可得，即，
由于在锐角中，，
故，则,
则,
又，所以恒成立，即恒成立，
即恒成立，
因为，故，令，
则函数在内单调递增，故，
即，
故，
故选：C
【点睛】方法点睛：（1）三角等式含有边角关系式时，一般利用正弦定理转化为角或边之间的关系进行化简；（2）不等式恒成立问题一般转化为函数单调性或最值问题解决；（3）一般要注意利用基本不等式或者函数单调性比如对勾函数的单调性，求解函数最值或范围.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A. 的虚部为
B. 在复平面内对应的点在第二象限
C. 的共轭复数为
D. 若，则的最大值是
【答案】CD
【解析】
【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的概念可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数模的三角不等式可判断D选项.
【详解】因为，则.
对于A选项，的虚部为，A错；
对于B选项，复数在复平面内对应的点在第三象限，B错；
对于C选项，的共轭复数为，C对；
对于D选项，因为，，
由复数模的三角不等式可得，
当且仅当时，等号成立，即的最大值是，D对.
故选：CD.
10. 关于函数,下列说法正确的有（ ）
A. 的最大值为，最小值为
B. 的单调递增区间为
C. 的最小正周期为
D. 的对称中心为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角函数恒等变换化简，结合正弦函数的性质可求得的最值，判断A；同理结合正弦函数的单调性、周期以及对称中心可判断B，C，D..
【详解】由题意得
，
则最大值为，最小值为，A正确；
令，即，
故单调递增区间为，B正确；
的最小正周期为，C错误；
令，
故的对称中心为，D正确，
故选：ABD.
11. 如图，已知的内接四边形中，，，，下列说法正确的是（ ）
A. 四边形的面积为B. 该外接圆的半径为
C. D. 过作交于点，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出，利用面积公式进行求解；B选项，在A选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D选项，结合A选项和C选项中的结论，先求出∠DOF的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.
【详解】对于A，连接，在中，，，
由于，所以，故，
解得，
所以，，所以，
故，
，
故四边形的面积为，故A错误；
对于B，设外接圆半径为，则，
故该外接圆的直径为，半径为，故B正确；
对于C，连接，过点O作OG⊥CD于点F，过点B作BE⊥CD于点E，则由垂径定理得：，
由于，所以，即，
解得，所以，所以，且，
所以，即在向量上的投影长为1，且与反向，
故，故C正确；
对于D，由C选项可知：，故，且，
因为，由对称性可知：DO为∠ADC的平分线，故，
由A选项可知：，显然为锐角，
故，，
所以
，
所以，故D正确.
故选：BCD
12. 如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，沿AE､AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B､C､D三点重合于点S，得到四面体（如图2）.下列结论正确的是（ ）
A. 平面平面SAF
B. 四面体的体积为
C. 二面角正切值为
D. 顶点S在底面AEF上的射影为的垂心
【答案】BD
【解析】
【分析】（１）作辅助线，证为平面SAF与平面AEF的二面角的平面角，显然为锐角，从而判断A选项．
（２）先证平面AEF，从而得到锥体高，计算出所需长度，算出体积即可．
（３）证为平面SEF与平面AEF的二面角的平面角，计算的正切值．
（４）先证O为S在平面AEF上的射影，由于AM，只需证，即可．
【详解】如图，作EF的中点M，连结AM、SM，过S作AM的垂线交AM于点O，连结SO，过O作AF的垂线交AF于点N，连结SN
由题知AE=AF=，所以AM，SE=SF=1，所以，
为平面SEF与平面AEF的二面角的平面角
又 平面ASM，平面ASM，SO，
作法知， ，平面AEF，
所以SO为锥体的高．所以O为S在平面AEF上的射影.
平面AEF，所以 ，由作法知，
平面SON，平面SON，
为平面SAF与平面AEF的二面角的平面角，显然为锐角，故A错．
由题知 ， ，
又AS＝２， ，SE＝１，

，四面体S−AEF的体积为 ，故B正确．
在直角三角形ASM中：
故C不正确．
因为 ， ，
所以 ，



，由对称性知 ，又AM
故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形弧长与底面半径关系得，解出弧长，最后利用侧面积公式即可.
【详解】设圆锥的母线为,则,所以,
则圆锥的侧面积为.
故答案为：.
14. 已知，则的值是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将代入即可.
【详解】因为，
所以
，
故答案为：5.
15. 已知函数，且关于的方程有且仅有一个实数根，那实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用数形结合的方法，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，观察图象即可得到结果.
【详解】作出的图象，如下图所示：

∵关于的方程有且仅有一个实数根，
∴函数的图象与有且只有一个交点，
由图可知，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
16. 已知锐角的内角所对的边分别，角．若是的平分线，交于，且，则的最小值为________；若的外接圆的圆心是，半径是1，则的取值范围是________．
【答案】 ①. ②. .
【解析】
【分析】(1)由已知利用，可得，然后利用“”的代换，基本不等式即可得出结果.
(2)根据锐角三角形的角度范围，表示出，进而得出结果.
【详解】(1)由是的平分线，
得，
又，
即，
化简得，
，
当且仅当，即，时，取等号．
(2)，
=
，
是锐角三角形，
，
，
．
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知复数，，，i为虚数单位．
（1）若是纯虚数，求实数m的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数的运算法则求出，根据复数的概念列式可求出；
（2）根据求出，再根据复数的乘法法则求出结果即可.
【小问1详解】
，，
所以，
因为是纯虚数，所以，得.
【小问2详解】
由（1）知，，
因为，所以，得，
所以，，
所以.
18. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求点D到平面ABE的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明，，得证平面．
（2）由，利用体积法求点D到平面ABE的距离．
【小问1详解】
证明：∵，D，E分别为AC，的中点，
∴，且，
又平面，∴平面，
又平面，∴，
又，且，平面，
∴平面．
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∴，，．
在中，，，
∴边上高为．
∴．
设点D到平面ABE的距离为d，
根据，得，解得，
所以点D到平面ABE的距离为．
19. 在中，，，，为的三等分点（靠近点）．
（1）求的值；
（2）若点满足，求的最小值，并求此时的．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果；
（2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果.
【小问1详解】
因为为的三等分点（靠近点），所以，
所以，
所以
.
【小问2详解】
因为，所以，
因为，
所以
，
所以当时，取得最小值.
20. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若，求C；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由题给条件求得，进而求得；
（2）先利用正弦定理和题给条件求得和，再构造函数，求得此函数值域即为的取值范围
【小问1详解】
由，
可得，则
整理得，解之得或
又，则，则，则
【小问2详解】
A ，B为的内角，则
则由，可得，则均为锐角
又，则，
则，则
则
令，则
又在单调递增，，
可得，则的取值范围为，
则的取值范围为
21. 如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB中点，将沿直线DE翻折为，若F为线段的中点．在翻折过程中，
（1）求证：平面；
（2）若二面角，求与面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，通过证平面平面，可得面.
（2）利用二面角的平面角的定义先找出二面角的平面角即为，再利用面面垂直的性质定理找到平面的垂线，从而作出与面所成的角，计算可得答案.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，
为线段的中点，，
平面，平面，平面，
又，，四边形为平行四边形，则
平面，平面，可得平面，
又，，平面，
可得平面平面，平面，
则面
【小问2详解】
取中点，中点，连接，，，
由，，为边的中点，
得，所以为等边三角形，从而，，
又，为的中点所以，又是等边三角形，
所以，所以为二面角的平面角，所以，
过点作，过作交于，连接，
是等边三角形，所以可求得，，所以，，
，，，，
所以，，又，，面，
所以面，又，所以面，
平面，所以面面，
由，在中易求得，又，
所以，，
面面，面，
所以面，所以为与平面所成的角，
在中可求得，所以，
与面所成角的正弦值为
22. 已知向量，，若函数的最小正周期为.
（1）求的单调递增区间：
（2）若关于的方程在有实数解，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的周期，得到，然后求解函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间；
（2）化简方程为：，令，原方程化为，整理，等价于在有解，利用参变量分离法可知
在上有解，利用双勾函数的单调性可求得实数取值范围.
【小问1详解】
解：因为，，
，
因为且函数的最小正周期为，则，解得，
所以，，
由可得，
所以，函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
解：，
，
，
方程，
即方程，
因为，则，
设，
，，
原方程化为，整理，
方程等价于在在有解，
设，
当时，方程为得，故；
当时，在上有解在上有解，
问题转化为求函数上的值域，
设，则，，，
设，任取、且，
则
，
当时，，，则，
当时，，，则，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，的取值范围是，
在上有实数解或.