内蒙古包头市九原区北京师范大学包头附属学校 2023-2024 学年上学期九年级第一次月考 数学试题

这是一份内蒙古包头市九原区北京师范大学包头附属学校 2023-2024 学年上学期九年级第一次月考 数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F．已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于（ ）
A．60mB．40mC．30mD．20m
4．（3分）下列一元二次方程中没有实数根是（ ）
A．x2+3x+4＝0B．x2﹣4x+4＝0C．x2﹣2x﹣5＝0D．x2+2x﹣4＝0
5．（3分）木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ）
A．18张B．16张C．14张D．12张
6．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）在今年举办的东京奥运会上，杨倩在女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是22500个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是（ ）
A．5000（1+x）2＝22500
B．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
C．5000（1﹣x）2＝22500
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
8．（3分）为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（ ）
A．B．
C．x（x﹣1）＝28D．x（x+1）＝28
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共6小题，每题3分）
11．（3分）若（a+b+c≠0），则k＝ ．
12．（3分）已知m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m2+4m+n的值为 ．
13．（3分）如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于 米．
14．（3分）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是 m．
15．（3分）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD（AD＝AB）、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为 ．
16．（3分）如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC＝100米，BC边上的高AH＝80米，某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE＝40米），则这个矩形的面积是 平方米．
三、解答题（共6小题）
17．（12分）用恰当的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）2x2+5＝7x；
（3）（x+3）2＝2（x+3）．
18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，求k的取值范围．
19．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．
20．（8分）某学校三名同学甲、乙、丙准备在周末参加十四运的志愿者活动，各自随机选择到乒乓球（项目A）、羽毛球（项目B）两个项目担任志愿者．
（1）甲同学选择羽毛球项目志愿者的概率是 ；
（2）求这三人在同一项目担任志愿者的概率．
21．（10分）超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 件，每天共盈利 元；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出销售价；如果不可以，请说明理由．
22．（12分）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
2023-2024学年内蒙古北京师大包头附属学校九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题3分）
1．（3分）已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．
【解答】解：A、＝，则5y＝6x，故此选项错误；
B、＝，则5x＝6y，故此选项正确；
C、＝，则5y＝6x，故此选项错误；
D、＝，则xy＝30，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
2．（3分）如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F．已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3．（3分）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于（ ）
A．60mB．40mC．30mD．20m
【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DCE＝90°，
∵∠AEB＝∠DEC，
∴△BAE∽△CDE，
∴
∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，
∴
解得：AB＝40（m），
故选：B．
【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
4．（3分）下列一元二次方程中没有实数根是（ ）
A．x2+3x+4＝0B．x2﹣4x+4＝0C．x2﹣2x﹣5＝0D．x2+2x﹣4＝0
【分析】利用一元二次方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，分别计算各选项的△值，一元二次方程中没有实数根，即判别式的值是负数，即可判断根的情况．
【解答】解：A、Δ＝b2﹣4ac＝9﹣16＝﹣7＜0，方程没有实数根．
B、Δ＝b2﹣4ac＝16﹣16＝0，方程有两个相等的实数根．
C、Δ＝b2﹣4ac＝4+20＝24＞0，方程有两个不相等的实数根．
D、Δ＝b2﹣4ac＝4+16＝20，方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
5．（3分）木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ）
A．18张B．16张C．14张D．12张
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设木箱中蓝色卡片有x个，根据题意得：
＝0.6，
解得：x＝12，
经检验x＝12是原方程的解，
则估计木箱中蓝色卡片有12张．
故选：D．
【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．
6．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【解答】解：已知给出的三角形的各边分别为 、2、、
只有选项A的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选：A．
【点评】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，解题的关键是求出三角形的三边的长度．
7．（3分）在今年举办的东京奥运会上，杨倩在女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是22500个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是（ ）
A．5000（1+x）2＝22500
B．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
C．5000（1﹣x）2＝22500
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
【分析】由7月24日的销量及7月25日和26日较前一天的增长率，可得出7月25日的销量为5000（1+x）个，7月26日的销量为5000（1+x）2个，再结合7月25日和7月26日的总销量是22500个，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，且7月25日和26日较前一天的增长率均为x，
∴7月25日的销量为5000（1+x）个，7月26日的销量为5000（1+x）2个，
又∵7月25日和7月26日的总销量是22500个，
∴5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（ ）
A．B．
C．x（x﹣1）＝28D．x（x+1）＝28
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝28．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据菱形的性质分别求出OD、OA，根据勾股定理求出AD，根据菱形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC＝AC＝4，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，AD＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AD×EF，
∴×6×8＝5EF，
∴EF＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是菱形的性质，掌握菱形的面积公式、菱形的性质定理是解题的关键．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE＝a，则AE＝3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；
【解答】解：如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，AN＝DF＝2a，
∵AN＝BN，MN∥AE，
∴BM＝ME，
∴MN＝a，
∴FM＝a，
∵AE∥FM，
∴＝＝＝，
解法二：延长BE交CD的延长线于点M．
∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，DF＝2a，
∵CM∥AB，
∴＝＝，
∴DM＝a，
∴FM＝DF+DM＝a，
∴＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（共6小题，每题3分）
11．（3分）若（a+b+c≠0），则k＝ 2 ．
【分析】去掉分母，然后整理求解即可．
【解答】解：∵＝＝＝k，
∴a+b＝ck，b+c＝ak，c+a＝bk，
∴（a+b）+（b+c）+（c+a）＝ck+ak+bk，
∴（a+b+c）k＝2（a+b+c），
∵a+b+c≠0，
∴k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了比例的性质，比较简单，用含k的式子表示出分子是解题的关键．
12．（3分）已知m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m2+4m+n的值为 ﹣2 ．
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2+3m﹣1＝0，即m2＝﹣3m+1，代入m2+4m+n得到m+n+1，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：∵m是方程x2+3x﹣1＝0的根，
∴m2+3m﹣1＝0，
∴m2＝﹣3m+1，
∴m2+4m+n＝﹣3m+1+4m+n＝m+n+1，
∵m，n是方程x2+3x﹣1＝0两根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+4m+n＝m+n+1＝﹣3+1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程解的定义．
13．（3分）如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于 10 米．
【分析】作DH⊥AB于H，如图，易得四边形BCDH为矩形，则DH＝BC＝8m，CD＝BH＝2m，利用平行投影得到∠ADH＝45°，则可判断△ADH为等腰直角三角形，所以AH＝DH＝8m，然后计算AH+BH即可．
【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，则DH＝BC＝8m，CD＝BH＝2m，
根据题意得∠ADH＝45°，
所以△ADH为等腰直角三角形，
所以AH＝DH＝8m，
所以AB＝AH+BH＝8m+2m＝10m．
故答案为10m．
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
14．（3分）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是 5 m．
【分析】设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
整理得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去），
∴小路的宽是5m．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（3分）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD（AD＝AB）、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为 S1＝S2 ．
【分析】根据黄金分割的定义得到BC2＝AC•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝BC2，S2＝AC•AB，即可得到S1＝S2．
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2＝AC•AB，
∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，
∴S1＝S2．
故答案为：S1＝S2．
【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
16．（3分）如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC＝100米，BC边上的高AH＝80米，某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE＝40米），则这个矩形的面积是 2000 平方米．
【分析】由于四边形DEFG是矩形，即DG∥EF，此时有∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠C，所以△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质求得线段DG的长，最后求得矩形的面积．
【解答】解：由已知得，DG∥BC
∴△ADG∽△ABC，
∵AH⊥BC
∴AH⊥DG于点M
且AM＝AH﹣MH＝80﹣40＝40（m）
，
即DG＝＝50（m），
∴S矩形DEFG＝DE×DG＝2000（m2）．
故答案为：2000．
【点评】本题主要考查利用矩形的性质得出两个角相等，进而证明两个三角形相似，再利用相似三角形的性质得出比例关系，最终求得DG或DE的长，进而求得矩形的面积．
三、解答题（共6小题）
17．（12分）用恰当的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）2x2+5＝7x；
（3）（x+3）2＝2（x+3）．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可；
（3）方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）方程移项得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
开方得：x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）方程移项得：2x2﹣7x+5＝0，
分解因式得：（2x﹣5）（x﹣1）＝0，
所以2x﹣5＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝1；
（3）方程移项得：（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
分解因式得：（x+3）（x+3﹣2）＝0，
所以x+3＝0或x+1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，求k的取值范围．
【分析】由一元二次方程根的判别式求解．
【解答】解：将（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6整理为（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，
由b2﹣4ac≥0可得（﹣2k）2﹣4×（k﹣6）（k﹣2）≥0，
解得k≥，
∵k﹣2≠0，
∴k≠2，
∴k≥且k≠2．
【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程的根与Δ之间的关系．
19．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．
【分析】根据已知可证明△ABE∽△FCB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，AD＝BC＝3，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°，
∴∠A＝∠CFB，
∴△ABE∽△FCB，
∴，
∵E是AD的中点，
∴AE＝AD＝1.5，
∴BE＝2.5，
∴，
∴FC＝2.4．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
20．（8分）某学校三名同学甲、乙、丙准备在周末参加十四运的志愿者活动，各自随机选择到乒乓球（项目A）、羽毛球（项目B）两个项目担任志愿者．
（1）甲同学选择羽毛球项目志愿者的概率是 ；
（2）求这三人在同一项目担任志愿者的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有2种项目，分别是乒乓球（项目A）、羽毛球（项目B），
∴甲同学选择羽毛球项目志愿者的概率是 ；
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
共有8种等可能等情况数，其中这三人在同一项目担任志愿者的2种，
则这三人在同一项目担任志愿者的概率是＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（10分）超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 40 件，每天共盈利 1800 元；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出销售价；如果不可以，请说明理由．
【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价5元，可多售出2×5件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；
（2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），列出方程求解即可；
（3）根据题意列出方程，利用根的判别式进行判断即可．
【解答】解：（1）降价5元，销售量达到30+2×5＝40件，
当天盈利：（50﹣5）×40＝1800（元）；
故答案为：40，1800；
（2）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2100，
解得：x＝15或x＝20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x＝20，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；
（3）根据题意可得（30+2x）（50﹣x）＝2200，
整理得到：x2﹣35x+350＝0．
由于Δ＝b2﹣4ac＝1225﹣1400＝﹣175＜0，
所以该方程无解．
故商场日盈利不可以达到2200元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．
22．（12分）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC＝∠ECB，而由AD＝AC可以得到∠ADC＝∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；
（2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．
【解答】（1）证明：∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD．
∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB．
∴△ABC∽△FCD；
（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．
∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，
∴＝．
∵S△FCD＝5，
∴S△ABC＝20．
又∵S△ABC＝×BC×AM，BC＝10，
∴AM＝4．
又DM＝CM＝CD，DE∥AM，
∴DE：AM＝BD：BM＝，
∴DE＝．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了三角形的面积公式求线段的