2024年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03
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一、选择题(本大题共12题,每小题3分,共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的)
1.命题“∃x∈R,使x2+x−1=0”的否定是( )
A.∃x∈R,使x2+x−1≠0B.不存在x∈R,使x2+x−1=0
C.∀x∉R,使x2+x−1≠0D.∀x∈R,使x2+x−1≠0
2.已知复数z=1−i3,则z的虚部为( )
A.−2B.2C.2iD.−2i
3.已知集合A=xxb>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a
10.在△ABC中,CM=3MB,AN+CN=0,则( )
A.MN=14AC+34ABB.MN=23AB+76AC
C.MN=16AC−23ABD.MN=14AC−34AB
11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2acsC,则△ABC为( )
A.直角三角形B.等边三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形
12.已知函数fx的定义域为R ,fx+4=fx,fx+1是偶函数,且当x∈−1,1时,fx=4x−1,则以下结论正确的是( )
A.fx在−2,6内的值域为0,3B.f2023=3
C.fx在区间4,5内单调递减D.Gx=fx−12在[−2,6]内零点之和为16
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,共计12分)
13.sin21∘cs9∘+sin69∘sin9∘= .
14.已知幂函数y=fx的图象过点16,164,则f14= .
15.已知x>1,则x+4x−1的最小值是 .
16.已知向量a,b满足a=1,b=2,a−b=3,2,则a+2b= .
三、解答题(本题共5小题,共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.(10分)已知向量a=sinx+csx,1,b=2csx,−1,函数fx=a⋅b,将函数fx的图象向右平移π6个单位长度,得到函数gx的图象.
(1)求函数fx的最小正周期和单调递增区间;
(2)解方程gx=0.
18.(10分)如图,四棱锥P−ABCD的底面是矩形,PA⊥底面ABCD,M,N分别为CD,PD的中点,AC与BM交于点E,AB=62,AD=6,K为PA上一点,PK=13PA.
(1)证明:KE//MN
(2)求证:平面PAC⊥平面BMNK.
19.(10分)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)以100,150,150,200,200,250,250,300分组的频率分布直方图如图所示.
(1)估计这100户居民的月平均用电量的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)
(2)按照分层随机抽样的方法从月平均用电量在150,200,250,300的居民中抽取5户居民,再从这5户居民中随机抽取2户,求这2户居民中至少有1户月平均用电量在250,300的概率.
20.(10分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=120°,b=1,c=2.
(1)求sinB;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.
21.(12分)函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数,且f12=25.
(1)求fx的解析式;
(2)证明fx在−1,1上为增函数;
(3)解不等式ft−1+ft
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