湖南省湖湘 C13 教育联盟2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份湖南省湖湘 C13 教育联盟2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后，将答题卡上交，已知方程可以配方成，则的值为等内容，欢迎下载使用。
班级：__________姓名：__________准考证号：__________
（本试卷共6页，25题，全卷满分：120分，考试用时：120分钟）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，将答题卡上交.
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.若，则的度数为（ ）
A.60°B.45°C.30°D.90°
2.一元二次方程的根是（ ）
A.B.，C.D.，
3.反比例函数的图象在每一个象限内随值的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
4.若点在第一象限，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
5.已知方程可以配方成，则的值为（ ）
A.0B.1C.-1D.
6.如图，在中，，若，则下列结论中正确的是（ ）
A.B.
C.D.
7.在中，，把的邻边与对边的比叫做的余切，记作.则下列关系式中不成立的是（ ）
A.B.C.D.
8.若函数是反比例函数，则一元二次方程的根的情况为（ ）
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.有一个实数根D.没有实数根
9.如图，以三边为边向外作正方形，面积分别是，，，若，且，，则等于（ ）
A.B.C.D.
10.如图，在与矩形中，一直角边经过点，另一直角边与的延长线交于点，与的延长线交于点，则下列结论错误的是（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.计算：____________.
12.在中，，，，则____________.
13.劳动实践课上，小明提着一桶水，沿一斜坡向上走了50米，若斜坡坡比是，则小明提水上升的高度是____________米.
14.已知是方程的一个根，则____________.
15.在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为____________.
16.如图，平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，平行于轴，分别交，的图象于，两点，若的面积为3，则、值为____________.
三、解答题（共72分）
17.（6分）计算.
18.（6分）已知在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，.（网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）
（1）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为；
（2）线段的长度是__________.
19.（6分）如图，已知中，点是边上一点，点是外一点，，.
（1）求证：；
（2）若，求的值.
20.（8分）已知的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根.
（1）若的长为1，求的值；
（2）当为何值时，是矩形.
21.（8分）随着新能源汽车技术的提高，电能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某4S店新能源汽车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该4S店1月份销售新能源汽车32辆，3月份销售了50辆.
（1）求该4S店这两个月的月平均增长率；
（2）若月平均增长率保持不变，求该4S店4月份卖出多少辆新能源汽车.（答案若含有小数则只取整数部分，不四舍五人）
22.（9分）如图，中，，，点，在轴上，反比例函数的图象经过点，且与边交于另一点，轴，垂足为点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）在轴上是否存在点，使得与相似，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由.
23.（9分）如图，一学生站在处，利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点与地面上点，点处俯角分别为和，且，，.（点，，，在同一平面内）
（1）求无人机到地面的距离；
（2）若，求大楼的高度.（结果精确到）
（参考数据：，）
24.（10分）【引入命题】设是关于字母的一个整式，若是方程的一个根，则整式必有一个因式，即.其中仍然是关于字母的一个整式.
（1）若，则的一个根是___________；
【回归课本】设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，.
（2）利用上式结论解题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求实数的值；
【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，.
（3）利用上式结论解题：已知方程有三个根，，，求的值；
【拓展提高】
（4）利用以上规律探究：若方程有个根，，…，，则____________，_____________.
25.（10分）定义：如图1，线段与线段交于点，若，则我们称此图形为“蝴蝶结”形.
图1 图2 图3
（1）若图1是“蝴蝶结”形，连接与（如图2），试说明与组成的图形也是“蝴蝶结”形；（此时，我们称四边形为“双蝴蝶结”四边形）
（2）如图3，在“双蝴蝶结”四边形中，点在边上，连接，若，，求证：；
（3）如图2，若“双蝴蝶结”四边形，，的面积依次为，，，且，试判断，的形状，并说明理由.
湖湘C13教育联盟2023年12月初中教学质量抽检
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题）
1.A
【解答】：因为，所以.
2.B
【解答】，，.
3.B
【解答】由增减性可知，原函数分布于二四象限，则.
4.C
【解答】依题意可得，，解得.
5.B
【解答】对原方程配方得：，，，带入原式得1.
6.D
【解答】
，，故A错误；由题，故B错误；由题，；故D错误
7.A
【解答】
8.D
【解答】：因为，所以；又，，所以无实数根.
9.C
【解答】由面积可得，，，故，所以.
10.D
【解答】因为矩形中，，所以，，，，而，，，，，.故选D.
二.填空题（共6小题）
11.2
【解答】解：
12..
【解答】解：在中，，，，
又，，
13.25.
【解答】解：设小明上升的高度为米，
山坡的坡度，他行走的水平距离为米，
由勾股定理得：，得：，（舍），小明上升的高度为25米，
14.2.
【解答】解：是方程的一个根， ，
又 ，；
15.3
【解答】解：函数与的图象交于点，
，，，.
16.4
【解答】解：连接、，如图，
轴，，
而，，而，
.
三.解答题（共9小题）
17.1
【解答】解：原式.
18.如图；
【解答】解：（1）如图，为所作.
（2）点的坐标是，点的坐标是，（平方单位）.
19.证明略；（详细请见解析）
【解答】解：（1）
即
且，
即；
（2），
，
20.；1
【解答】解：（1）当时，
把代入方程的，解得；
（2）是矩形，
，
方程有两个相等的实数根，
，
解得，即的值为1.
21.25%；62
【解答】解：（1）设1月到3月销量的月平均增长率为，根据题意列方程：
，
解得（不合题意，舍去），，
即；答：1月到3月自行车销量的月平均增长率为；
（2）.
即售出62辆新能源汽车答：该商城4月份卖出62辆自行车.
22.；；，或
【解答】解：（1），点在上，
，反比例函数解析式为；
（2）由题知，、在直线，且与反比例函数相交即
（3），或
建议利用两圆一线方法作图，本题难度偏低
23.80；68.5
【解答】解：（1）过点作，垂足为，
设，即
，，
，，
（在），（在）
，
米
离地面的高度为80米；
（2）过点作，垂足为，
由题意得：，
（米），
在中，，
（米），
24.2；3；10；，
【解答】解：（1）由题，
（2）解：根据题意得：，解得：，
根据题意得：，，

解得：（不合题意，舍去）， 的值为3.
（3）解：设方程的三个根为，，，并进行因式分解
一元三次方程根与系数的关系为：，，；
即
（4），.
25.详细过程见解析
【解答】（1）解：，

，
与是蝴蝶图形
（2）解：，
且，，
.
，，，
（3）设，的面积分别为垂足为，，
由题意得：，
，（1）
，即，（2）
联立（1）与（2）得，即 ，
即 ，，
，，
，都为等腰三