中考数学一轮复习专题27 二次函数-知识点梳理讲义（2份打包，原卷版+教师版）

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1.了解二次函数的概念和二次函数的平移。
2.掌握求解析式的方法。
3.掌握各系数的关系。
一、二次函数的概念及解析式
1.一次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
2.解析式
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
二 、系数a、b、c的关系
三 、二次函数的平移
抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,
四 、二次函数与一元二次方程以及不等式
1.二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.二次函数与不等式
抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
1．（2022·河南开封市·九年级期末）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ，顶点是 SKIPIF 1 < 0
B．开口向上，对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ，顶点是 SKIPIF 1 < 0
C．开口向上，对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ，顶点是 SKIPIF 1 < 0
D．开口向下，对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ，顶点是 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
所给抛物线是一般式，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以开口向上；再通过配方法变形为顶点式，可直接得出抛物线的对称轴及顶点坐标．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ，顶点坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
2．（2022·台州市书生中学九年级开学考试）二次函数 SKIPIF 1 < 0 对于x的任何值都恒为负值的条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
由二次函数 SKIPIF 1 < 0 对于x的任何值都恒为负值，抛物线开口向下， SKIPIF 1 < 0 ，二次函数 SKIPIF 1 < 0 与x轴没有交点，方程 SKIPIF 1 < 0 没有实数根， SKIPIF 1 < 0 即可．
【详解】
解：∵二次函数 SKIPIF 1 < 0 对于x的任何值都恒为负值，
∴抛物线开口向下， SKIPIF 1 < 0 ，
二次函数 SKIPIF 1 < 0 与x轴没有交点，
方程 SKIPIF 1 < 0 没有实数根，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选择D．
3．（2022·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）若抛物线y＝x2－bx＋8的顶点在x轴的负半轴上，则b＝（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴上，所以顶点的横坐标小于0，纵坐标为零，列不等式和方程求解．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴上，
SKIPIF 1 < 0 顶点的横坐标小于0，纵坐标为零，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
4．（2022·浙江衢州市·九年级期中）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都是二次函数y＝x2＋4x＋k的图象上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y2
【答案】B
【分析】
根据题意可以将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到y1，y2，y3的大小关系．
【详解】
解：∵y＝x2+4x+k＝（x+2）2﹣4+k，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∵C（1，y3）关于对称轴的对称点为（﹣5，y3），且﹣5＜﹣4＜﹣1，
∴y2＜y1＜y3，
故选B．
5．（2022·浙江衢州市·九年级期中）二次函数y＝（x﹣4）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（4，﹣1）D．（4，1）
【答案】C
【分析】
根据二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标．
【详解】
解：∵二次函数y＝（x﹣4）2﹣1，
∴该函数的顶点坐标为（4，﹣1），
故选C．
6．（2022·杭州市丰潭中学九年级）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图，其中b，c的值可能是（ ）
A．b＝﹣3，c＝3B．b＝3，c＝﹣3C．b＝3，c＝3D．b＝﹣3，c＝﹣3
【答案】C
【分析】
根据二次函数的性质判断出b，c的符号，再逐一判断选出符合题意的答案即可．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ SKIPIF 1 < 0 ＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
故选：C．
7．（2022·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）已知二次函数y＝－2x2＋4，则其图象开口向______，对称轴为______，顶点坐标为______．
【答案】下 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据二次函数的性质分别解答即可．
【详解】
解：二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 图象开口向下，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：下； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2022·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是二次函数，则m＝________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据二次函数的定义得出 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求出即可．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 是二次函数，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2022·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）已知抛物线y＝ax2＋bx＋1（a≠0）经过点(1，－2)、(－2，19)，
（1）求a、b的值；
（2）若A(m，p)和B(n，p)是抛物线上不同的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求m、n的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）把点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 解方程组即可得到结论；
（2）把 SKIPIF 1 < 0 分别代入 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】
解：（1）把点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 分别代入 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2022·广东越秀区·铁一中学九年级期中）如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧），抛物线的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标和抛物线对称轴的表达式．
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线对称轴 SKIPIF 1 < 0 上的点，当 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
（3）点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上的动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 所在的直线对折，点 SKIPIF 1 < 0 落在坐标平面内的点 SKIPIF 1 < 0 处．求当点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在直线 SKIPIF 1 < 0 上时点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标．
【答案】（1）a＝− SKIPIF 1 < 0 ；对称轴为直线x＝−2；A（−6，0）；（2）（−2，2）或（−2，4）或（−2，2 SKIPIF 1 < 0 ）或（−2，−2 SKIPIF 1 < 0 ）；（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）将点C坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（2）分三种情况：直接利用等腰三角形的性质，即可得出结论；
（3）先判断出△PQE≌△P'Q'E（AAS），得出PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，进而得出P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m＋2，确定出点P'（n−2，2＋m），将点P'的坐标代入直线AD的解析式中，和点P代入抛物线解析式中，联立方程组，求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝a（x＋6）（x−2）过点C（0，2），
∴2＝a（0＋6）（0−2），
∴a＝− SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为y＝− SKIPIF 1 < 0 （x＋6）（x−2）＝− SKIPIF 1 < 0 （x＋2）2＋ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝−2；
针对于抛物线的解析式为y＝− SKIPIF 1 < 0 （x＋6）（x−2），
令y＝0，则− SKIPIF 1 < 0 （x＋6）（x−2）＝0，
∴x＝2或x＝−6，
∴A（−6，0）；
（2）如图1，
由（1）知，抛物线的对称轴为x＝−2，
∴E（−2，0），
∵C（0，2），
∴OC＝OE＝2，
∴CE＝ SKIPIF 1 < 0 OC＝2 SKIPIF 1 < 0 ，∠CED＝45°，
∵△CME是等腰三角形，
∴①当ME＝MC时，
∴∠ECM＝∠CED＝45°，
∴∠CME＝90°，
∴M（−2，2），
②当CE＝CM时，
∴MM1＝CM＝2，
∴EM1＝4，
∴M1（−2，4），
③当EM＝CE时，
∴EM2＝EM3＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴M2（−2，−2 SKIPIF 1 < 0 ），M3（−2，2 SKIPIF 1 < 0 ），
即满足条件的点M的坐标为（−2，2）或（−2，4）或（−2，2 SKIPIF 1 < 0 ）或（−2，−2 SKIPIF 1 < 0 ）；
（3）如图2，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝− SKIPIF 1 < 0 （x＋6）（x−2）＝− SKIPIF 1 < 0 （x＋2）2＋ SKIPIF 1 < 0 ，
∴D（−2， SKIPIF 1 < 0 ），
令y＝0，则（x＋6）（x−2）＝0，
∴x＝−6或x＝2，
∴点A（−6，0），
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线AD的解析式为y＝ SKIPIF 1 < 0 x＋4，
过点P作PQ⊥x轴于Q，过点P'作P'Q'⊥DE于Q'，
∴∠EQ'P'＝∠EQP＝90°，
由（2）知，∠CED＝∠CEB＝45°，
由折叠知，EP'＝EP，∠CEP'＝∠CEP，
∴△PQE≌△P'Q'E（AAS），
∴PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，
设点P（m，n），
∴OQ＝m，PQ＝n，
∴P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m＋2，
∴点P'（n−2，2＋m），
∵点P'在直线AD上，
∴2＋m＝ SKIPIF 1 < 0 （n−2）＋4①，
∵点P在抛物线上，
∴n＝− SKIPIF 1 < 0 （m＋6）（m−2）②，
联立①②解得，m＝ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即点P的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
系数a、b、c
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
b
决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点