山东省济南市历下区2023-2024学年七年级上册期中数学试题（含解析）

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考试时间120分钟 满分150分
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．的相反数是（ ）
A．B．5C．D．
2．在中，负数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（ ）

A．B．C．D．
4．下列四个数中，最小的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列图形中，能够折叠成一个正方体的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，-b，-a，b从大到小的顺序为（ ）
A．B．
C．D．
7．用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．下列计算正确的是( )
A．B．C．D．
9．某商店出售一种商品，有以下几种方案，调价后价格最低的方案是（ ）
A．先提价，再降价B．先降价，再提价
C．先提价，再降价D．先提价，再降价
10．如图，将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕．想象一下，如果对折次，可以得到折痕的条数是（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是 ．
12．单项式的次数是 ．
13．杭州亚运会于2023年10月顺利落幕，中国队获金牌和奖牌榜双第一，如图是一个正方体的表面展开图，与“亚”字相对面上的汉字是 ．
14．若，则 ．
15．若，则代数式的值为 ．
16．如图，将两张边长分别为5和4的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边，的长度分别为．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．计算：
(1)；
(2)．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体．
(1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图；
(2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
21．气候变暖导致全球大部分地区极端强降水事件增多，由此引发的洪涝等灾害风险已倍受各界广泛关注．为揭示气候变暖背景下极端降水的变化规律，查阅山东省气象信息中心1961——2020年降水量资料发现，夏季出现极端降水次数最多．
(1)若设定100次为标准次数，试完成表1：
表1 1961——2020年极端降水出现次数
(2)极端降水出现次数最多的地区与最少的地区相差______次；
(3)以上地区出现极端降水的平均次数是多少？
22．书籍是人类进步的阶梯！为爱护书本我们一般都会将书本用包书纸包好．现有一本如图所示的数学课本，长为、宽为、厚为，小海打算用一张长方形包书纸包好这本数学书．第一步，他将包书纸沿虚线折出折痕，封面和封底各折进去；第二步，将阴影部分沿虚线剪掉，请帮助小海解决以下问题：
(1)小海第一步中所用的长方形包书纸周长是多少厘米？（用含的代数式表示）
(2)若封面和封底沿虚线各折进去，剪掉阴影部分后，包书纸的面积是多少？
23．校运动会，小明负责在一条东西赛道上为同学们拍照，这天他从主席台出发，最后停留在处．规定以向东的方向为正方向，步行记录如下（单位：米）：
(1)小明离主席台最远是______米；
(2)以主席台为原点，用1个单位长度表示，请在数轴上表示点；
(3)在主席台东边5米处是仲裁处，小明经过仲裁处______次；
(4)若小明每步行1米消耗0.04卡路里，那么他在拍照过程中步行消耗的卡路里是多少？
24．随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种时尚的生活方式，某商家抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案：
方案一：买一件运动外套送一件卫衣；
方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打8折．
运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元．在开展促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动外套100件，卫衣件（）．
(1)方案一需付款：______元，方案二需付款：______元；
(2)当时，请计算并比较这两种方案哪种更划算；
(3)当时，如果两种方案可以组合使用，你能帮助俱乐部设计一种最省钱的方案吗？请直接写出你的方案．
25．【阅读】
可理解为数轴上表示所对应的点与所对应的点之间的距离；
如可理解为数轴上表示6所对应的点与2所对应的点之间的距离；
可以看作，可理解为数轴上表示6所对应的点与所对应的点之间的距离；
【探索】
回答下列问题：
(1)可理解为数轴上表示所对应的点与______所对应的点之间的距离．
(2)若，则数______．
(3)若，则数______．
(4)如图所示，在数轴上，若点表示的数记为两点的距离为8，且点在点的右侧，现有一点以每分钟2个单位长度的速度从点向右出发，点以每分钟1个单位长度的速度从点向右出发，求分钟后点与点的距离．（结果用含的代数式表示，并化到最简）
26．【概念学习】
定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作；，读作“的圈次方”．特别地，规定：．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：______，______；
（2）若为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有______；（填写正确的序号）
①任何非零数的圈2次方都等于1；
②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数；
③圈次方等于它本身的数是1或；
④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______；
（4）计算：．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查相反数的定义．根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【详解】解：的相反数是5，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了有理数的分类，根据负数的定义即可求解．
【详解】解：在中，是负数，共有4个，
故选：C．
3．B
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】．
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
4．A
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，先根据绝对值、相反数的定义化简各数，然后再比较大小即可；掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴最小的数是．
故选A．
5．B
【分析】根据正方体的表面展开图的常见形式即可判断．
【详解】选项A、C 、D经过折叠均不能围成正方体;
只有B能折成正方体.
故选B.
【点睛】本题主要考查展开图折叠成几何体的知识点,注意只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图.
6．A
【分析】根据数轴上点的位置可得，据此求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置比较有理数的大小，正确得到是解题的关键．
7．B
【分析】本题主要考查立体图形的特点，理解并掌握立体图形特点，截面的特点是解题的关键．根据立体图形的特点可得截面图形，由此即可求解．
【详解】解：根据立体图形的特点，截面可能是长方形的有：圆柱，长方体，共2个，
故选：B．
8．D
【分析】根据整式的加减法法则对各项进行运算即可．
【详解】A． 与不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B． ，故此选项错误，不符合题意；
C． ，故此选项错误，不符合题意；
D． ，故此选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，掌握整式的加减法法则是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查了列代数式，根据各个方案，列出相应代数式并化简，再比较即可．
【详解】解：设该商品原价为a元，
A、（元），
B、（元），
C、（元），
D、（元），
∵，
∴调价后价格最低的方案是D，
故选：D．
10．C
【分析】此题图形类规律探究，解题的关键是学会寻找规律，利用规律解决问题．探究规律，利用规律即可解决问题．
【详解】解：我们不难发现：
第一次对折：；
第二次对折：；
第三次对折：；
第四次对折：；
…；
依此类推，第n次对折，可以得到条．
故选：C．
11．点动成线
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答．
【详解】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线，
故答案为：点动成线．
【点睛】本题考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线，线动成面，面动成体是解题的关键．
12．4
【分析】本题考查单项式的系数和次数，熟记单项式中所有字母的指数和是单项式的次数是解题的关键．
【详解】解：单项式的次数是4次，
故答案为：4．
13．真
【分析】本题考查了正方体的展开图；正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
与“亚”字相对面上的汉字是“真”．
故答案为：真．
14．
【分析】根据非负数的性质可求出a、b的值，然后将它们代入中求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即．
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零，求代数式的值，关键是利用非负数的性质可求出a、b的值．
15．4
【分析】本题主要考查了代数式的求值化简，先化简，然后代入求值即可．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：4．
16．16
【分析】本题主要考查图象变换与面积的关系，理解图形变换中边与边的和与差的关系是解题的关键．由，，图①中阴影部分的面积为， ②中阴影部分面积为，且，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，图①中阴影部分面积为
∴，且，，，
∴；
如图所示，图②中阴影部分面积为
∴，且，，，
∴，
∴，
当时，，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则解题即可．
（1）有理数的加减混合运算，从左到右依次计算即可．
（2）先算乘方，再算乘除，算后算加减即可．
【详解】（1）解：

；
（2）
18．(1)
(2)
【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则计算即可．
（1）根据乘法分配律计算即可．
（2）先计算乘方与绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）

．
19．；9
【分析】本题主要考查了整式的加减与化简求值，先去括号然后再合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】解：


当时，
20．(1)见详解．
(2)4
【分析】本题主要考查三视图，用到的知识点为∶三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是人从正面、左面和上面看，所得到的图形； 俯视图决定底层立方块的个数．
（1）根据三视图的概念作图即可得；
（2）保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再在第2和3列各添加小正方体．
【详解】（1）解：几何体从正面、左面和上面看到的形状图如下：
（2）如图所示：
在这个几何体上再添加如图所示的小正方体个数从左面和从上面看到的形状图不变，那最多可以再添加个小正方体．
21．(1)见详解．
(2)31
(3)100次
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正数与负数，根据对相应的运算法则解题即可．
（1）根据正数与负数的定义，结合题意进行求解即可；
（2）根据表格中的数据找出最多与最少的次数相减即可；
（3）根据平均数的求解方法进行运算即可．
【详解】（1）解∶ 日照的降水次数为∶ (次)，
潍坊的降水次数与标准次数为∶ (次)，
完成表一如下：
（2）极端降水出现次数最多的地区与最少的地区相差∶
（3）
故平均次数为：，
22．(1)
(2)
【分析】题目主要考查列代数式及有理数的乘法的应用，
（1）根据题意结合图形列出代数式化简即可；
（2）分别求出包书的纸长和宽，然后求面积即可；
理解题意，结合图形求解是解题关键．
【详解】（1）解：小海所用包书纸的周长：
答：小海所用包书纸的周长为．
（2）当时，包书纸长为：
包书纸宽为：
所以面积为：
答：需要的包书纸的面积为．
23．(1)10
(2)
(3)4
(4)2.4
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，
（1）逐次求得每次运动后的位置即可求得离主席台的距离；
（2）根据第一问可得到主席台的位置，并在数轴上标注即可；
（3）根据每次运动与5的大小即可求得经过主席台的次数；
（4）根据步行记录如得到总计，结合每步行1米消耗0.04卡路里即可求得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
故小明离主席台最远是10米．
（2）根据第一问得知点A即为主席台，
．
（3）小明从主席台出发经过仲裁处，由到经过仲裁处，到经过仲裁处，到经过仲裁处．则共经过仲裁处4次．
（4）根据题意得，，
则小明在拍照过程中步行消耗2.4卡路里．
24．(1)，
(2)方案一：35000元，方案二：36000元，方案一更划算．
(3)方案一∶购买100件运动外套，方案二购买200件卫衣
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用以及性质，根据题意解题即可．
（1）根据题意即可列出代数式；
（2）将分别代入(1)中求得的代数式，比较得出的结果即可；
（3）设购买a件运动外套使用方案一，则购买件运动外套使用方案二，再列出总费用的代数式，结合a的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：方案一∶ 购买运动外套100件，送100件卫衣，则还需购买件卫衣，
方案一需付款元；
方案二∶ 购买运动外套100件，卫衣x件，均打8折，
方案二 需付款元．
（2）当时，
方案一需付款：（元）
方案二需付款：（元）
（3）设购买a件运动外套使用方案一，则购买件运动外套使用方案二，
购买a件卫衣使用方案一，购买件卫衣使用方案二，
设总费用为w元，
则，
∵，费用w随着a的增大而减小．
∴当时，w取的最小值46000，即总费用最小，
∴最省钱的方案：按照方案一购买100件运动外套再按照方案二购买200件卫衣．
25．(1)
(2)或7
(3)或5
(4)当时，点与点的距离为；当时，点与点的距离为0；当时，点与点的距离为
【分析】本题考查了一元一次方程、绝对值和代数式在数轴上的应用．
（1）把变形为的形式，即可得到答案；
（2）根据绝对值的运算，分，两种结果求值；
（3）分、、三种情况讨论，去掉绝对值符号求值；
（4）根据路程速度时间求出点和点运动的距离，再用代数式表示出点和点表示的数，最后用绝对值表示出两点之间的距离，并化简．
【详解】（1）解：，
即：可理解为数轴上表示所对应的点与所对应的点之间的距离
故答案为：．
（2）∵，
∴，
当时，
解得；
当时，
解得．
故答案为：或7．
（3）当时，
，
即：，
解得；
当时，
，
即：，
解得；
当时，
（不符合题意），
故答案为：或5．
（4）点表示的数为：，
所以分钟后，点对应的数为：，
点对应的数为：
所以点与点的距离为：，
所以，当时，点与点的距离为；
当时，点与点的距离为0；
当时，点与点的距离为．
26．（1）1；（2）①②④；（3）；（4）12
【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义．
（1）根据题意，计算出所求式子的值即可；
（2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题；
（3）根据题意，可以计算出所求式子的值．
（4）根据题意，可以计算出所求式子的值．
【详解】解：（1），
；
（2）①因为，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确；
②因为，所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确；
③圈n次方等于它本身的数是1或，说法错误，；
④根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确；
故答案为：①②④；
（3），
故答案为：；
（4）
．
地区
济南
潍坊
青岛
日照
淄博
菏泽
次数
100
96
102
95
88
与标准次数的差值
0
地区
济南
潍坊
青岛
日照
淄博
菏泽
次数
100
96
102
119
95
88
与标准次数的差值
0