【学考复习】2024年高中数学学业水平考试（江苏专用）04第四章 幂函数与二次函数、指数与指数函数、对数与对数函数-讲义

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1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象，如图．
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
3．根式的概念及性质
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质
①负数没有偶次方根．
②0的任何次方根都是0，记作eq \r(n,0)＝0．
③(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．
④eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)．
⑤eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)．
4．分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a eq \s\up15(eq \f(m,n)) ＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a eq \s\up15(－eq \f(m,n)) ＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
5．指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R．
6．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．
(2)指数函数的图象与性质
7．常用结论
（1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a)))．
（2）指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0（3）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
8．对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
9．对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质
①algaN＝N．
②lgaab＝b(a>0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN．
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN．
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
10．对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
11．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，它们的定义域和值域正好互换．
12．换底公式的两个重要结论
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0)．
13．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故014．对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))．
考点一 幂函数的图象和性质
【例1】已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则函数f(x)的图象大致是( )
【答案】C
【解析】设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，∵幂函数f(x)的图象过点(9,3)，∴9α＝3，得α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，其定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上单调递增，但增长较慢，故选C．
归纳点拨
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
对点训练
1．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－2是幂函数，且为偶函数，则实数m＝( )
A．2或－1 B．－1 C．4 D．2
【答案】D
【解析】∵函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－2是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2．当m＝－1时，f(x)＝x，是奇函数，不符合题意；当m＝2时，f(x)＝x－2，是偶函数，符合题意．∴m＝2，故选D．
2．已知a＝2 eq \s\up15(eq \f(3,4)) ，b＝3 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，c＝4 eq \s\up15( eq \f (1,3)) ，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．a【答案】B
【解析】因为a＝2 eq \s\up15(eq \f(3,4)) ＝8 eq \s\up15( eq \f (1,4)) ，b＝3 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝9 eq \s\up15( eq \f (1,4)) ，且函数y＝x eq \s\up15( eq \f (1,4)) 在(0，＋∞)上单调递增，所以b>a．因为c6＝(4 eq \s\up15( eq \f (1,3)) )6＝16，b6＝(3 eq \s\up15( eq \f (1,2)) )6＝27，所以b>c．又a12＝29，c12＝44＝28，所以a>c，所以c3．若(a＋1)－2>(3－2a)－2，则a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3)))∪(4，＋∞)
【解析】因为(a＋1)－2>(3－2a)－2，
又f(x)＝x－2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a＋1|<|3－2a|，,a＋1≠0，,3－2a≠0，))解得a4，所以a的取值范围是(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3)))∪(4，＋∞)．
考点二 二次函数的解析式
【例2】 (1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0．请写出函数f(x)的一个解析式__________．(只要写出一个即可)
(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则该二次函数的解析式为__________．
【答案】(1)f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)(2)f(x)＝－4x2＋4x＋7
【解析】(1)由二次函数的对称性、值域及单调性可得f(x)的解析式可以为f(x)＝(x－2)2＋1，此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②，∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，
都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0，等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)＝(x－2)2＋1满足③，
又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①，故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5．
(2)解法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7．
解法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n．∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝eq \f(2＋－1,2)＝eq \f(1,2)，∴m＝eq \f(1,2)．
又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋8．
∵f(2)＝－1，∴aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7．
解法三(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1．
又函数有最大值ymax＝8，即eq \f(4a－2a－1－a2,4a)＝8．
解得a＝－4或a＝0(舍)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7．
归纳点拨
求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式．
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式．
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
对点训练
1．已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标分别为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f(x)＝__________．
【答案】x2＋2x
【解析】设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由eq \f(4a×0－4a2,4a)＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x．
2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝__________．
【答案】x2－4x＋3
【解析】因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称．又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－eq \f(2,2)＝1或2＋eq \f(2,2)＝3．所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0)．因此设f(x)＝a(x－1)(x－3)．又点(4,3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1．故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3．
考点三 二次函数的图象与性质
【例3】 (多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论正确的为( )
A．b2>4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a【答案】AD
【解析】因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确．对称轴为x＝－1，即－eq \f(b,2a)＝－1,2a－b＝0，B错误．结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误．由对称轴为x＝－1知，b＝2a．根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a，即5a归纳点拨
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件．
对点训练
1．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
【答案】D
【解析】由A，C，D知，f(0)＝c<0，从而由abc>0，所以ab<0，所以对称轴x＝－eq \f(b,2a)>0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)＝c>0，所以ab>0，所以x＝－eq \f(b,2a)<0，B错误．故选D．
考点四 二次函数的单调性与最大(小)值
【例4】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．
【解析】①当a＝0时， f(x)＝－2x在[0,1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝－2．
②当a>0时， f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝eq \f(1,a)．
当eq \f(1,a)<1，即a>1时， f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0,1]内，∴f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))上单调递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，1))上单调递增．
∴f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝eq \f(1,a)－eq \f(2,a)＝－eq \f(1,a)．
当eq \f(1,a)≥1，即0∴f(x)min＝f(1)＝a－2．
③当a<0时， f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝eq \f(1,a)<0，在y轴的左侧，
∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上单调递减．
∴f(x)min＝f(1)＝a－2．
综上所述， f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2，a≤1，,－\f(1,a)，a>1.))
归纳点拨
闭区间上二次函数最值问题的解法
抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．
对点训练
1．函数f(x)＝x2＋2x在区间[t，t＋1]上的最小值为8，求实数t的值，如何求解？
【解析】二次函数f(x)＝x2＋2x图象的对称轴方程为x＝－1．
当t＋1<－1，即t<－2时，f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，故f(x)min＝f(t＋1)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝8，解得t＝－5或t＝1(舍去)；
当t≤－1≤t＋1，即－2≤t≤－1时，
f(x)min＝f(－1)＝－1≠8；
当t>－1时，f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，故f(x)min＝f(t)＝t2＋2t＝8，解得t＝2或t＝－4(舍去)．
综上可知，t的值为－5或2．
2．已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为( )
A．[0,1] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2)
【答案】B
【解析】如图，作出函数y＝x2－2x＋3的图象，由图象可知m的取值范围是[1,2]．故选B．
考点五 二次函数的恒成立问题
【例5】(1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围是__________．
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是__________．
【答案】(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) (2)(－∞，－eq \r(2))
【解析】(1)由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；
当x≠0时，a因为eq \f(1,x)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值eq \f(1,2)，所以a综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))．
(2)由题意知f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，
知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，
∴mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ＝16－8m2<0，))∴m∈(－∞，－eq \r(2))．
归纳点拨
不等式恒成立求参数范围，一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值．这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题．
1．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围是________．
【答案】(－∞，1)∪(3，＋∞)
【解析】由不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0，得(x－2)a＋x2－4x＋4>0.
设f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1,1]，则f(a)>0在a∈[－1,1]恒成立可转化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1>0，,f1>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－5x＋6>0，,x2－3x＋2>0，))解得x<1或x>3，即x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是__________．
【答案】(－∞，－1)
【解析】f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1．由－m－1>0，得m<－1．因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
考点六 指数幂的运算
【例6】1．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3\f(3,8))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＋(0．002) eq \s\up15(－eq \f(1,2)) －10×(eq \r(5)－2)－1＋(eq \r(2)－eq \r(3))0＝__________．
【答案】－eq \f(167,9)
【解析】原式＝(－1) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,500))) eq \s\up15(－eq \f(1,2)) －eq \f(10,\r(5)－2)＋1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＋500 eq \s\up15( eq \f (1,2)) －10×(eq \r(5)＋2)＋1＝eq \f(4,9)＋10eq \r(5)－10eq \r(5)－20＋1＝－eq \f(167,9)．
归纳点拨
(1)指数幂的运算首先将根式、分式统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
对点训练
1． (a>0，b>0)＝________．
【答案】ab－1
【解析】原式＝＝a· eq \s\up15(eq \f(3,2)＋eq \f(1,6)－1＋eq \f(1,3)) b eq \s\up15(1＋eq \f(1,3)－2－eq \f(1,3)) ＝ab－1．
2．若x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(1,2)) ＝3，则eq \f(x eq \s\up15(eq \f(3,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(3,2)) －3,x2＋x－2－2)的值为______．
【答案】eq \f(1,3)
【解析】由x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(1,2)) ＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，∴x2＋x－2＝47．
∴x2＋x－2－2＝45．
由(x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(1,2)) )3＝33，得x eq \s\up15(eq \f(3,2)) ＋3x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＋3x eq \s\up15(－eq \f(1,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(3,2)) ＝27．
∴x eq \s\up15(eq \f(3,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(3,2)) ＝18，∴x eq \s\up15(eq \f(3,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(3,2)) －3＝15．∴eq \f(x eq \s\up15(eq \f(3,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(3,2)) －3,x2＋x－2－2)＝eq \f(1,3)．
考点七 指数函数的图象及应用
【例7】 (1)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
【答案】(1)A (2)[－1,1]
【解析】(1)由函数f(x)的大致图象可知3(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
归纳点拨
与指数函数有关的图象问题的求解方法
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
对点训练
1．(1)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．
(2)函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是什么？
(3)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？
【解析】 (1)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．
(2)因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．
(3)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的．
当a>1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；
当0
综上可知，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))．
2．函数f(x)＝2|x－1|的大致图象是( )
【答案】B
【解析】当x＝1时，f(x)＝1，排除A，C；又x>1时，f(x)＝2x－1，排除D，故选B．
3．若存在负实数使得方程2x－a＝eq \f(1,x－1)成立，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,2) D．(0,1)
【答案】C
【解析】在同一坐标系内分别作出函数y＝eq \f(1,x－1)和y＝2x－a的图象，则由图知，当a∈(0,2)时符合要求．故选C．
考点八 比较指数式的大小
【例8】(1)已知a＝2 eq \s\up15( eq \f (4,3)) ，b＝4 eq \s\up15(eq \f(2,5)) ，c＝25 eq \s\up15( eq \f (1,3)) ，则( )
A．bC．b(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是( )
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
【答案】(1)A (2)D
【解析】(1)a＝2 eq \s\up15( eq \f (4,3)) ＝16 eq \s\up15( eq \f (1,3)) ，b＝4 eq \s\up15(eq \f(2,5)) ＝16 eq \s\up15(eq \f(1,5)) ，c＝25 eq \s\up15( eq \f (1,3)) ，∵幂函数y＝x eq \s\up15( eq \f (1,3)) 在R上单调递增，∴a(2)∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，①
令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，①式即为f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0．
归纳点拨
比较指数式的大小的方法
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小．
(2)不能化成同底数的，一般引入“0”或“1”等中间量比较大小．
对点训练
1．若a＝0．30．7，b＝0．70．3，c＝1．20．3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
【答案】B
【解析】∵幂函数y＝x0．3在[0，＋∞)上单调递增，∴1．20．3>0．70．3>0．30．3．∵指数函数y＝0．3x在R上单调递减，∴0．30．3>0．30．7．∴1．20．3>0．70．3>0．30．7，即c>b>a．故选B．
考点九 解指数方程或不等式
【例9】(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为__________；
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是__________．
【答案】(1)eq \f(1,2) (2)(－3,1)
【解析】(1)当a<1时，41－a＝21，解得a＝eq \f(1,2)；当a>1时，代入不成立．故a的值为eq \f(1,2)．
(2)若a<0，则f(a)<1⇒eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a－7<1⇒eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a<8，解得a>－3，故－3若a≥0，则f(a)<1⇒eq \r(a)<1，解得a<1，故0≤a<1．综上可得－3归纳点拨
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
对点训练
1．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2＋2x－1的值域是( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞)
C．(0,4] D．[4，＋∞)
【答案】C
【解析】设t＝x2＋2x－1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t．因为0考点十 指数函数性质的综合应用
【例10】已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))ax2－4x＋3．
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
【解析】 (1)当a＝－1时， f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3, f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(3a－4,a)＝－1，))
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1．
(3)由指数函数的性质知，要使y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))g(x)的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0．(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0．
归纳点拨
涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
对点训练
1．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
【答案】{x|x>4或x<0}
【解析】f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4．
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－4，x≥0，,2－x－4，x<0，))
当f(x－2)>0时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2≥0，,2x－2－4>0))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2<0，,2－x＋2－4>0，))解得x>4或x<0．
∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
考点十一 对数的运算
【例11】已知2a＝5，lg83＝b，则4a－3b＝( )
A．25B．5
C．eq \f(25,9)D．eq \f(5,3)
【答案】C
【解析】因为2a＝5，所以a＝lg25，b＝lg83＝eq \f(1,3)lg23，
所以4a－3b＝4lg25－lg23＝2 eq \s\up15(2lg2eq \f(5,3)) ＝2 eq \s\up15(lg2eq \f(25,9)) ＝eq \f(25,9)，故选C．
归纳点拨
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并．
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后利用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
(3)ab＝N⇔b＝lgaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．
对点训练
1．计算：eq \f(1－lg632＋lg62·lg618,lg64)＝__________．
【答案】1
【解析】原式＝eq \f(1－2lg63＋lg632＋lg6\f(6,3)·lg66×3,lg64)＝eq \f(1－2lg63＋lg632＋1－lg632,lg64)
＝eq \f(21－lg63,2lg62)＝eq \f(lg66－lg63,lg62)＝eq \f(lg62,lg62)＝1．
2．计算：lg5[4 eq \s\up15(eq \f(1,2)lg210) －(3eq \r(3)) eq \s\up15( eq \f (2,3)) －7lg72]＝___________________________________________________．
【答案】1
【解析】原式＝lg5[2lg210－(3 eq \s\up15( eq \f (3,2)) ) eq \s\up15( eq \f (2,3)) －2]＝lg5(10－3－2)＝lg55＝1．
考点十二 对数函数的图象及应用
【例12】 (1)函数y＝lneq \f(1,|2x－3|)的图象为( )
(2)当0【答案】(1)A (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
【解析】(1)易知2x－3≠0，即x≠eq \f(3,2)，排除C，D．当x>eq \f(3,2)时，函数为减函数；当x(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝lgax．当a>1时不满足条件；当0eq \f(\r(2),2)．所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))．
归纳点拨
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
对点训练
1．函数y＝eq \f(1,lg3x)的图象大致是( )
【答案】D
【解析】当x＝3时，y＝1，即函数图象过点(3,1)，排除A；因为y＝lg3x为增函数，所以y＝eq \f(1,lg3x)在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，排除B，C．故选D．
2．已知正实数a，b，c满足：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a＝lg2a，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))b＝lg2b，c＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) c，则( )
A．aC．b【答案】B
【解析】在同一平面直角坐标系中作出y＝(eq \f(1,2))x，y＝lg2x，y＝(eq \f(1,3))x，y＝x，y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) x的图象．由图得c考点十三 比较对数值的大小
【例13】 (1)设a＝lg52，b＝lg83，c＝eq \f(1,2)，则( )
A．cC．a(2)(2022·福建福州模拟)若a>b>c>1且acA．lgab>lgbc>lgcaB．lgcb>lgba>lgac
C．lgbc>lgab>lgcaD．lgba>lgcb>lgac
【答案】(1)C (2)B
【解析】(1)因为a＝lg52lg93＝eq \f(1,2)＝c，所以b>c>a．故选C．
(2)由a>b>c>1，知lgaclgcc＝1，选项A，C错误；由lgcb>lgcc＝1，lgba>lgbb＝1，lgaceq \f(lgb2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lgb2,2)))2,lgc·lgb)＝0，从而lgcb>lgba，选项B正确，选项D错误，故选B．
归纳点拨
对数函数值大小比较的方法
(1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．
(2)中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般用“0”或“1”或其他特殊值进行“比较传递”．
(3)图象法：根据图象观察得出大小关系．
对点训练
1．设a＝lg412，b＝lg515，c＝lg618，则( )
A．a>b>cB．b>c>a
C．a>c>bD．c>b>a
【答案】A
【解析】a＝1＋lg43，b＝1＋lg53，c＝1＋lg63，∵lg43>lg53>lg63，∴a>b>c．
考点十四 解对数不等式
【例14】 (1)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,lg eq \s\d8(\f(1,2)) －x，x<0.))
若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
(2)已知不等式lgx(2x2＋1)【答案】(1)C (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
【解析】(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,lg2a>－lg2a))或
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,－lg2－a>lg2－a，))解得a>1或－1(2)原不等式⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(03x>1))①
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,2x2＋1<3x<1，))②
解不等式组①得eq \f(1,3)归纳点拨
(1)在解决与对数函数相关的不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
对点训练
1．函数y＝lg0．4(－x2＋3x＋4)的值域是( )
A．[－2,0)B．[－2，＋∞)
C．(－∞，－2]D．[2，＋∞)
【答案】B
【解析】为使函数y＝lg0．4(－x2＋3x＋4)有意义，则－x2＋3x＋4>0，即x2－3x－4<0，解得－12．已知函数f(x)＝lga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(8,3)))
【解析】当a>1时，f(x)＝lga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则f(x)min＝f(2)＝lga(8－2a)>1，且8－2a>a，解得11在区间[1,2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝lga(8－a)>1，且8－2a>0．∴8－a0，此时解集为∅．综上可知，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(8,3)))．
一、选择题
1．若a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) ，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b【答案】D
【解析】∵y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3)) 在[0，＋∞)上单调递增，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ．又y＝x eq \s\up15( eq \f (1,3)) 在[0，＋∞)上单调递增，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，∴c>a>b．
2．已知函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1,2]上不具有单调性，则k的取值范围是( )
A．(－1,2) B．[－1,2]
C．(1,2) D．[1,2]
【答案】A
【解析】函数f(x)＝2x2－4kx－5的图象的对称轴为直线x＝k，若函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1,2]上不具有单调性，则k的取值范围是(－1，2)．
3．(2023·南京秦淮中学开学考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c．若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
【答案】A
【解析】由f(0)＝f(4)，得f(x)图象的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)＝f(4)>f(1)，∴f(x)的图象开口向上，a>0，故选A．
4．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
【答案】B
【解析】设函数F(a)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则对任意a∈[－1,1]，F(a)恒大于零，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F－1＝－x－2＋x2－4x＋4>0，,F1＝x－2＋x2－4x＋4>0.))得x<1或x>3，故选B．
5．(2022·江苏南通期中)(多选)已知点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(1,2)))在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．在(0，＋∞)上单调递增
D．在(0，＋∞)上单调递减
【答案】AD
【解析】由函数f(x)＝(a－1)xb为幂函数可知，a－1＝1，解得a＝2，所以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(1,2)))为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，代入f(x)＝xb得，2b＝eq \f(1,2)，所以b＝－1，即f(x)＝eq \f(1,x)，故函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故选AD．
6．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点中至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
【答案】D
【解析】当m＝0时，令f(x)＝0得，－3x＋1＝0得x＝eq \f(1,3)，符合题意；当m>0时，由f(0)＝1可知，要满足题意，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－32－4m≥0，,－\f(m－3,2m)>0，))得07．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则下列选项正确的是( )
A．函数f(x)的值域为[－4，＋∞)
B．f(x)的零点有4个
C．不等式f(x＋2)<5的解集为(－7,3)
D．方程|f(x)|＝4的根有4个
【答案】ACD
【解析】由于函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，当x≥0时，f(x)＝x2－4x≥－4，故函数f(x)的值域为[－4，＋∞)，A正确；当x≥0时，由f(x)＝x2－4x＝0，得x＝0或x＝4．由于函数f(x)为偶函数，故f(x)还有一个零点x＝－4，f(x)的零点有3个，故选项B错误；当x≥0时，由f(x)＝x2－4x<5，得0≤x<5；当x<0时，根据偶函数图象的对称性知不等式f(x)<5的解集为{x|－58．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝eq \f(fx,x)在区间(1，＋∞)上一定( )
A．有最小值 B．有最大值
C．单调递减 D．单调递增
【答案】D
【解析】因为二次函数f(x)在区间(－∞，1)上有最小值，且其图象的对称轴为直线x＝a，所以a∈(－∞，1)．g(x)＝eq \f(fx,x)＝eq \f(x2－2ax＋a,x)＝x＋eq \f(a,x)－2a．当a<0时，由于函数y1＝x－2a和函数y2＝eq \f(a,x)在(1，＋∞)上都单调递增，所以函数g(x)＝x＋eq \f(a,x)－2a在(1，＋∞)上单调递增；当a＝0时，g(x)＝x在(1，＋∞)上单调递增；当09．化简4a eq \s\up15( eq \f (2,3)) ·b eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)a eq \s\up15(－eq \f(1,3)) b eq \s\up15( eq \f (2,3)) ))的结果为( )
A．－eq \f(2a,3b) B．－eq \f(8a,b)
C．－eq \f(6a,b)D．－6ab
【答案】C
【解析】原式＝4÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))·a eq \s\up15(eq \f(2,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))) b eq \s\up15(－eq \f(1,3)－eq \f(2,3)) ＝－6ab－1＝－eq \f(6a,b)，故选C．
10．已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,6)B．(1,5)
C．(0,5)D．(5,0)
【答案】A
【解析】当x－1＝0，即x＝1时，f(x)＝4＋2×1＝6，所以点P的坐标为(1,6)．故选A．
11．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15(eq \r(－x2＋x＋2)) 的单调增区间是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
【答案】D
【解析】由－x2＋x＋2≥0，解得－1≤x≤2，故函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15(eq \r(－x2＋x＋2)) 的定义域为[－1,2]．根据复合函数“同增异减”原则，得所求增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))．故选D．
12．设m，n∈R，则“m1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】易知函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在R上单调递减．若meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0＝1，充分性成立；若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m－n>1，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m－n>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，∴m－n<0，即m1”的充要条件，故选C．
13．(2022·山东济南调研)(多选)已知实数a，b满足等式2022a＝2023b，则下列关系式成立的是( )
A．0C．0【解析】如图，观察易知a，b的关系为a14． “eq \f(a,b)>1”是“ln(a－1)>ln(b－1)”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】eq \f(a,b)>1⇒eq \f(a,b)－1>0⇒eq \f(a－b,b)>0⇒(a－b)b>0，ln(a－1)>ln(b－1)⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1>0，,b－1>0，,a－1>b－1))⇒a>b>1，因为(a－b)b>0，推不出a>b>1，而a>b>1能推出(a－b)b>0，所以“eq \f(a,b)>1”是“ln(a－1)>ln(b－1)”成立的必要不充分条件，故选B．
15．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x2＋1，x≤2，,fx－3，x>2，))则f[f(4)]＝( )
A．1B．2
C．3D．4
【答案】A
【解析】由题意，f(4)＝f(1)＝lg2(12＋1)＝1，所以f[f(4)]＝f(1)＝lg2(12＋1)＝1，故选A．
16．已知函数f(x)＝1＋lg2x－lg2(4－x)，则( )
A．y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．y＝f(x)的图象关于点(2,1)对称
C．f(x)在(0,4)上单调递减
D．f(x)在(0,4)上不单调
【答案】B
【解析】∵f(x)＝1＋lg2x－lg2(4－x)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,4－x>0，))解得0∵f(4－x)＝1＋lg2(4－x)－lg2(4－4＋x)＝1＋lg2(4－x)－lg2x，
∴f(4－x)＋f(x)＝2，则y＝f(x)的图象关于点(2,1)对称，不关于直线x＝2对称，故B正确，A错误．
∵y＝1＋lg2x在(0,4)上单调递增，y＝lg2(4－x)在(0,4)上单调递减，
∴f(x)＝1＋lg2x－lg2(4－x)在(0,4)上单调递增，故C，D错误．故选B．
二、解答题
17．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3．
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
函数图象的对称轴为x＝－eq \f(3,2)∈[－2,3]，
∴f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－eq \f(9,2)－3＝－eq \f(21,4)，
f(x)max＝f(3)＝15，∴f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，15))．
(2)函数图象的对称轴为直线x＝－eq \f(2a－1,2)．
①当－eq \f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq \f(1,2)时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－eq \f(1,3)，满足题意；
②当－eq \f(2a－1,2)>1，即a<－eq \f(1,2)时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－eq \f(1,3)或－1．
18．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋b＋1(a≠0，b<1)在区间[2,3]上有最大值4，最小值1．
(1)求a，b的值；
(2)设f(x)＝eq \f(gx,x)，不等式f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围．
【解析】(1)g(x)＝ax2－2ax＋b＋1＝a(x－1)2－a＋b＋1，若a>0，则g(x)在[2,3]上单调递增，
∴g(2)＝b＋1＝1，g(3)＝3a＋b＋1＝4，解得a＝1，b＝0；
若a<0，则g(x)在[2,3]上单调递减，∴g(2)＝b＋1＝4，解得b＝3，
∵b<1，∴b＝3舍去．综上，a＝1，b＝0．
(2)∵f(x)＝eq \f(gx,x)，∴f(x)＝eq \f(x2－2x＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)－2，∵不等式f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1,1]恒成立，
∴2x＋eq \f(1,2x)－2－k·2x≥0对x∈[－1,1]恒成立，即k≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x)))2－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x)))＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x)－1))2对x∈[－1,1]恒成立，
∵x∈[－1,1]，∴eq \f(1,2x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x)－1))2∈[0,1]，∴k≤0．
19．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋b(a，b是常数且a>0，a≠1)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))上有最大值3和最小值eq \f(5,2)，试求a、b的值．
【解析】 令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))，∴t∈[－1,0]．
①若a>1，函数y＝at在[－1,0]上为增函数，
∴at∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，1))，则b＋ax2＋2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,a)，b＋1))，
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,a)＝\f(5,2)，,b＋1＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2；))
②若0∴at∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(1,a)))，
则b＋ax2＋2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(b＋1，b＋\f(1,a)))，
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,a)＝3，,b＋1＝\f(5,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,3)，,b＝\f(3,2).))
综上，所求a，b的值为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,3)，,b＝\f(3,2).))
20．已知函数f(x)＝(lg2x－2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg4x－\f(1,2)))．
(1)当x∈[1,4]时，求该函数的值域；
(2)若f(x)≤mlg2x对x∈[4,16]恒成立，求m的取值范围．
【解析】 (1)令t＝lg2x，t∈[0,2]，
∴g(t)＝(t－2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)t－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)(t－2)(t－1)，
∴g(0)≥g(t)≥geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，∴－eq \f(1,8)≤g(t)≤1，
故该函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，1))．
(2)同(1)令t＝lg2x，∵x∈[4,16]，∴t∈[2,4]，
∴eq \f(1,2)(t－2)(t－1)≤mt，∴t＋eq \f(2,t)－3≤2m恒成立．
令g(t)＝t＋eq \f(2,t)，其在(eq \r(2)，＋∞)上单调递增，
∴g(t)≤g(4)＝eq \f(9,2)，∴eq \f(9,2)－3≤2m，∴m≥eq \f(3,4)．函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)
y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
对称轴
x＝－eq \f(b,2a)
顶点坐标
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))
上是减函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))
上是增函数
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x<0时，y>1；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x的图象关于y轴对称
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数