2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案3.2.1《导数与函数的单调性、极值与最值及大题常考的4类题型》 (2份打包，原卷版+教师版)

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知识点一 利用导数研究函数的单调性
1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增．
(2)若f′(x)0或f′(x)g(x)的基本方法
(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max；
(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)﹣g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)>0.
2．证明不等式时的一些常见结论
(1)ln x≤x﹣1，等号当且仅当x＝1时取到；
(2)ex≥x＋1，等号当且仅当x＝0时取到；
(3)ln x﹣1，等号当且仅当x＝0时取到．
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a0(x∈I)．
(2)对∀x1∈D1，∃x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min，f(x)的定义域为D1，g(x)的定义域为D2.
[例3] 已知函数f(x)＝eq \f(x,ln x)﹣ax(a>0)．
(1)若函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数，求实数a的最小值；
(2)若∃x1，x2∈[e，e2]，使f(x1)≤f′(x2)＋a成立，求实数a的取值范围．
[方法技巧]
1．有关存在成立问题的解题方法
∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＞g(x2)等价于函数f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2上的最小值，即f(x)min＞g(x)min(这里假设f(x)min，g(x)min存在)．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任意一个函数值大于函数y＝g(x)的某一个函数值，但并不要求大于函数y＝g(x)的所有函数值．
∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)0，使f(x0)>g(x0)成立，求参数a的取值范围．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．已知函数f(x)＝kx﹣ln x﹣1(k>0)．
(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值；
(2)求证：当n∈N*时，1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)>ln(n＋1)．
2．已知函数f(x)＝axex＋(x＋1)2，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的极值；
(2)若函数g(x)＝f(x)﹣e在R上恰有两个零点，求a的取值范围．
3．已知函数f(x)＝aexln x(其中e＝2.718 28…是自然对数的底数)，g(x)＝x2＋xln a，a>0.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设函数h(x)＝g(x)﹣f(x)，若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立，求实数a的取值范围．
4．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)m(x2﹣1)﹣ln x(m∈R)．
(1)若m＝1，求证：f(x)≥0；
(2)讨论函数f(x)的极值；
(3)是否存在实数m，使得不等式f(x)>eq \f(1,x)﹣eq \f(1,ex－1)在(1，＋∞)上恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
5．已知函数f(x)＝ex﹣sin x﹣cs x，g(x)＝ex＋sin x＋cs x.
(1)证明：当x>﹣eq \f(5π,4)时，f(x)≥0；
(2)若g(x)≥2＋ax，求a.
常规
角度
1.单调性问题．主要考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围．
2.函数零点问题．主要考查判断函数的零点个数以及由函数零点或方程的根求参数的值或取值范围．
3.不等式问题．主要考查不等式的证明、不等式恒成立或不等式存在性问题、由不等式成立求参数问题等
创新
角度
函数与导数与放缩法相结合证明不等式、与三角函数相结合考查函数的性质问题