2022-2023学年福建省南平市高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年福建省南平市高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{x|x2﹣7x+12＝0}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{1，3，4}B．{2，3，5}C．{2，6}D．{1，6}
2．（5分）已知幂函数y＝xa的图象过点，则lga2的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
3．（5分）“0＜x＜1”是“0＜sinx＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）为了得到函数y＝sin（2x）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
5．（5分）函数f（x）＝lg2x﹣5+x的零点所在的区间是（ ）
A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）
6．（5分）函数y＝（2x﹣2﹣x）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）若等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）若，则（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜a＜c
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题正确的有（ ）
A．若a＞b，则a2＞b2
B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d
C．若a＞b＞c＞0，则
D．若a＞1，则a3
（多选）10．（5分）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数f（x）关于对称
D．函数f（x）在上是增函数
（多选）11．（5分）若定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x，则（ ）
A．y＝f（x+1）为偶函数
B．f（x）在（3，5）上单调递增
C．f（x）在（﹣3，﹣1）上单调递增
D．f（x）的最小正周期T＝4
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝（sinx+csx）（sinx﹣|csx|），说法正确的是（ ）
A．f（x）在区间上单调递增
B．方程在x∈[﹣2π，2π]的解为x1，x2，⋯，xn，且x1+x2+⋯+xn＝π
C．f（x）的对称轴是
D．若f（x1）﹣f（x2）＝3，则x1﹣x2＝2kπ（k∈Z）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分） ．
14．（5分）若α是第二象限角，，则csα＝ ．
15．（5分）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足C＝Wlg2（1+T），其中T为信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比T从499提升到1999，则C大约增加 %．（结果保留一位小数）
参考数据：lg2≈0.3010．
16．（5分）某市以市民需求为导向，对某公园进行升级改造，以提升市民的游园体验．已知公园的形状为如图所示的扇形AOB区域，其半径为2千米，圆心角为120°，道路的一个顶点C在弧AB上．现在规划三条商业街道DE，CD，CE，要求街道DC与OA平行，交OB于点D，街道CE与OA垂直（垂足E在OA上），则街道DE长度最大值为 千米．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
18．（12分）已知集合A．
（1）求集合A，B，A∪B；
（2）若集合C＝{x|a＜x＜a+1}，且C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）在上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值．
20．（12分）某企业拟购买一批智能机器人生产A型电子元件，以提高生产效率，降低生产成本．已知购买x台机器人的总成本C（x）x+60（万元）．
（1）要使所购买的机器人的平均成本最低，应购买多少台机器人？
（2）现将按（1）所求得的数量购买的机器人全部投入生产，并安排m名工人操作这些机器人（每名工人可以同时操作多台机器人）．已知每名工人操作水平无差异，但每台机器人每日生产A型电子元件的个数Q与操作工人人数有关，且满足关系式：Q（m）．问在引进机器人后，需要操作工人的人数m为何值时，机器人日平均生产量达最大值，并求这个最大值．
21．（12分）函数定义在R上的奇函数．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式f（x2﹣x）+f（a﹣ax）＜0．
22．（12分）已知函数且a≠1）．
（1）若函数h（x）＝f（x）﹣x﹣a有零点，求a的取值范围；
（2）设函数g（x）＝ax（a＞0且a≠1），在（1）的条件下，若∀x1∈[0，+∞），∃x2∈R，使得g（2x1）+mg（x1）﹣f（2x2）+x2＞0，求实数m的取值范围．
2022-2023学年福建省南平市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{x|x2﹣7x+12＝0}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{1，3，4}B．{2，3，5}C．{2，6}D．{1，6}
【分析】根据韦恩图所表示的集合为∁U（M∪N），按照并集和补集的运算求解即可．
【解答】解：集合M＝{x|x2﹣7x+12＝0}＝{3，4}，N＝{2，3，5}，
则M∪N＝{2，3，4，5}，
则图中阴影部分表示的集合是∁U（M∪N）＝{1，6}．
故选：D．
【点评】本题主要考查并集和补集的运算，属于基础题．
2．（5分）已知幂函数y＝xa的图象过点，则lga2的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】根据幂函数y＝xa的图象过点，求出α的值，再计算lga2的值．
【解答】解：幂函数y＝xa的图象过点，
∴
∴α
∴lga22＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了幂函数的定义与对数的计算问题，是基础题目．
3．（5分）“0＜x＜1”是“0＜sinx＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由0＜x＜1，得0＜sinx＜1；反之不成立．再由充分必要条件的判定判断．
【解答】解：由0＜x＜1，得，
反之，由0＜sinx＜1，得2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z，
∴“0＜x＜1”是“0＜sinx＜1”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4．（5分）为了得到函数y＝sin（2x）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【分析】由题意利用y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，
故选：D．
【点评】本题主要考查y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
5．（5分）函数f（x）＝lg2x﹣5+x的零点所在的区间是（ ）
A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）
【分析】判断函数的连续性，利用零点判断定理推出结果即可．
【解答】解：函数f（x）＝lg2x﹣5+x是连续函数，
f（3）＝lg23﹣5+3＝lg23﹣2＜0，f（4）＝lg24﹣5+4＝1＞0，
因为f（4）f（3）＜0，
所以函数f（x）＝lg2x﹣5+x的零点所在的区间是（3，4）．
故选：C．
【点评】本题考查函数的零点判断定理的应用，是基础题．
6．（5分）函数y＝（2x﹣2﹣x）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】判断函数的奇偶性，对称性以及单调性，利用排除法进行求解即可．
【解答】解：f（﹣x）＝（2﹣x﹣2x）sin（﹣x）＝（2x﹣2﹣x）sinx＝f（x），
则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，
当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除D，
当0＜x时，f（x）为增函数，排除C，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和单调性，利用排除法是解决本题的关键．难度中等．
7．（5分）若等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由结合倍角公式求解即可．
【解答】解：设顶角为A，，
则A为锐角，
则这个三角形底角的正弦值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
8．（5分）若，则（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜a＜c
【分析】借用中间值，可比较它们的大小，即可得到本题答案．
【解答】解：因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以a＜c＜b．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题正确的有（ ）
A．若a＞b，则a2＞b2
B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d
C．若a＞b＞c＞0，则
D．若a＞1，则a3
【分析】根据已知条件，结合特殊值，基本不等式公式，以及不等式的性质，即可求解．
【解答】解：对于A，令a＝3，b＝﹣3，满足a＞b，但a2＝b2，故A错误，
对于B，∵a＞b，c＞d，
∴a+c＞b+d，故B正确，
对于C，令a＝3，b＝2，c＝1，满足a＞b＞c＞0，但，故C错误，
对于D，，当且仅当，即a＝2时，等号成立，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查不等式的性质，掌握基本不等式公式和特殊值法是解本题的关键，属于基础题．
（多选）10．（5分）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数f（x）关于对称
D．函数f（x）在上是增函数
【分析】由周期得出ω，由点得出φ，再由正弦函数的性质逐一判断即可．
【解答】解：因为在同一周期内，函数在时取得最大值，时取得最小值，
所以函数的最小正周期T满足，所以T＝π，解得ω＝2，
所以f（x）＝2sin（2x+φ），
又因为当时取得最大值2，
所以，可得，
因为，所以取k＝0，得，
所以，故A错误；
因为，故B正确；
令，所以函数f（x）关于对称，故C正确；
令，解得，
令k＝1，则其中一个单调增区间为．故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
（多选）11．（5分）若定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x，则（ ）
A．y＝f（x+1）为偶函数
B．f（x）在（3，5）上单调递增
C．f（x）在（﹣3，﹣1）上单调递增
D．f（x）的最小正周期T＝4
【分析】由f（x）＝f（2﹣x）可得函数图象关于x＝1对称，通过图象的平移判断选项A正确；由函数为奇函数结合f（x）＝f（2﹣x），可得函数的周期为4，判断选项D正确；由x∈（0，1]时，f（x）＝x，结合函数的奇偶性和对称性，可得函数的单调性，判断出B正确，C错误．
【解答】解：由f（x）＝f（2﹣x）得函数f（x）的图象关于x＝1对称，
函数f（x+1）的图象是由函数f（x）的图象向左平移一个单位长度得到的，
所以函数f（x+1）的图像关于y轴对称，所以函数f（x+1）是偶函数，故A正确；
由f（x）＝f（2﹣x）得f（﹣x）＝f（2+x）＝﹣f（x），
所以f（4+x）＝f（x），f（x）的最小正周期为4，故D正确；
当x∈（0，1]时，f（x）＝x，因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝x，且f（0）＝0，
所以f（x）在（﹣1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，
因为f（x）的最小正周期T＝4，
所以f（x）在（3，5）上单调递增，在（﹣3，﹣1）上单调递减，故B正确，C错误．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性与周期性，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝（sinx+csx）（sinx﹣|csx|），说法正确的是（ ）
A．f（x）在区间上单调递增
B．方程在x∈[﹣2π，2π]的解为x1，x2，⋯，xn，且x1+x2+⋯+xn＝π
C．f（x）的对称轴是
D．若f（x1）﹣f（x2）＝3，则x1﹣x2＝2kπ（k∈Z）
【分析】将函数写成分段函数，即可画出函数图象，再结合函数图象一一分析即可．
【解答】解：∵f（x）＝（sinx+csx）（sinx﹣|csx|），k∈Z，
，（k∈Z），
∴（k∈Z），
∴f（x）的图象如下所示：
由图可知函数是周期为2π的周期函数，函数在上单调递增，
∴f（x）在区间上单调递增，故A正确，
由图可知不是函数的对称轴，故C错误；
∵，
∴与y＝f（x）的交点即为所求，如图知有四个交点，
且，，
∴x1+x2+x3+x4＝π，故B正确．
由图象可知，∵f（x1）﹣f（x2）＝3，∴f（x1）＝2，f（x2）＝﹣1，
∴，k1∈Z，x2＝k2π，k2∈Z，
∴，k1∈Z，k2∈Z，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分） ．
【分析】利用对数、指数的性质、运算法则直接求解．
【解答】解：

＝1
．
故答案为：．
【点评】本题考查对数、指数的运算，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力等基础知识，是基础题．
14．（5分）若α是第二象限角，，则csα＝ ．
【分析】先确定属于第三象限，求出的值，然后利用公式展开，即可求得本题答案．
【解答】解：因为α是第二象限角，且，
所以为第三象限角，所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角平方关系及两角差的余弦公式的应用，属于中档题．
15．（5分）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足C＝Wlg2（1+T），其中T为信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比T从499提升到1999，则C大约增加 22.3 %．（结果保留一位小数）
参考数据：lg2≈0.3010．
【分析】将T＝499与T＝1999代入C＝Wlg2（1+T），作差后求增长率即可．
【解答】解：当T＝499时，C1＝Wlg2500，
当T＝1999时，C2＝Wlg22000，
则C2﹣C1＝Wlg22000﹣Wlg2500＝Wlg24＝2W，
所以C大约增加了，
即C大约增加了22.3%．
故答案为：22.3．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查对数的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．
16．（5分）某市以市民需求为导向，对某公园进行升级改造，以提升市民的游园体验．已知公园的形状为如图所示的扇形AOB区域，其半径为2千米，圆心角为120°，道路的一个顶点C在弧AB上．现在规划三条商业街道DE，CD，CE，要求街道DC与OA平行，交OB于点D，街道CE与OA垂直（垂足E在OA上），则街道DE长度最大值为 千米．
【分析】设，利用几何关系得出CD，CE，由勾股定理得出，再由正弦函数的性质得出DE长度的最大值．
【解答】解：过点O作CD的垂线，垂足为F，设，
则CE＝OF＝2sinθ，OE＝2csθ，CF＝OE＝2csθ，
又，所以．
在直角三角形CDE中，，其中．
因为，所以，又，
所以当时，DE2有最小值为，
即．
综上，街道DE长度的最大值为千米．
故答案为：．
【点评】本题主要考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）由三角函数的定义，结合倍角公式计算即可；
（2）由诱导公式计算即可．
【解答】解：（1）因为角α的终边与单位圆交于点，
所以，
；
（2）．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
18．（12分）已知集合A．
（1）求集合A，B，A∪B；
（2）若集合C＝{x|a＜x＜a+1}，且C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．
【分析】（1）解不等式求得集合A，B，再根据并集的运算可求得A∪B．
（2）根据集合与集合的关系，可得关于a的不等式组，解不等式组即可求得参数a的取值范围．
【解答】解：（1）等价于（2﹣x）（3+x）＞0，解得﹣3＜x＜2，
故集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，
x2﹣2x﹣3＜0等价于（x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣1＜x＜3，
故集合B＝{x|﹣1＜x＜3}，
所以A∪B＝{x|﹣3＜x＜3}；
（2）由（1）可得集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，集合B＝{x|﹣1＜x＜3}，
所以A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}，
由C＝{x|a＜x＜a+1}，C⊆（A∩B），得，
解得﹣1≤a≤1，
即实数a的取值范围是[﹣1，1]．
【点评】本题主要考查了集合的交集及并集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于中档题．
19．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）在上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值．
【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，进而由正弦函数的性质求解；
（2）由，结合正弦函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）．
f（x）的最小正周期，
令，得，
故f（x）的单调递增区间是；
（2）因为，
所以，
所以，
故f（x）∈[﹣2，1]，
所以当，即时，f（x）取得最小值﹣2；
当，即时，f（x）取得最大值1．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
20．（12分）某企业拟购买一批智能机器人生产A型电子元件，以提高生产效率，降低生产成本．已知购买x台机器人的总成本C（x）x+60（万元）．
（1）要使所购买的机器人的平均成本最低，应购买多少台机器人？
（2）现将按（1）所求得的数量购买的机器人全部投入生产，并安排m名工人操作这些机器人（每名工人可以同时操作多台机器人）．已知每名工人操作水平无差异，但每台机器人每日生产A型电子元件的个数Q与操作工人人数有关，且满足关系式：Q（m）．问在引进机器人后，需要操作工人的人数m为何值时，机器人日平均生产量达最大值，并求这个最大值．
【分析】（1）利用基本不等式即可求成本的最小值；
（2）根据分段函数讨论函数的最大值即可求解．
【解答】解：（1）由总成本，
可得每台机器人的平均成本，
∵，
当且仅当，即x＝120时，等号成立，
∴要使所购机器人的平均成本最低，应购买120台机器人；
（2）当1≤m≤20时，120台机器人的日平均生产量为48m（40﹣m）＝﹣48m2+1920m，
所以当m＝20时，120台机器人日平均生产量最大值为19200；
当m＞20时，120台机器人日平均生产量为120×160＝19200，
∴120台机器人的日平均产量的最大值为19200个，
∴当m大于等于20时，机器人日平均生产量达最大值，且最大值为19200个．
【点评】本题考查函数建模，基本不等式的应用，分类讨论思想，属中档题．
21．（12分）函数定义在R上的奇函数．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式f（x2﹣x）+f（a﹣ax）＜0．
【分析】（1）法一：由 f（﹣x）＝﹣f（x）即可得解；
法二：由奇函数的性质f（0）＝0，代入即可求解m；
（2）由定义证明单调性即可；
（3）根据函数的奇偶性和单调性求解即可．
【解答】解：（1）解法1：因为为定义在R上的奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以，
得1+m⋅2x＝﹣2x﹣m，即（m+1）（2x+1）＝0．
因为2x+1＞0，所以m+1＝0，即m＝﹣1；
解法2：因为为定义在R上的奇函数，
所以．
当m＝﹣1时，，
所以m＝﹣1；
（2）f（x）在R上单调递增．
由（1）得，
任取，
由于，又，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上单调递增；
（3）由（2）得函数f（x）在R上单调递增，且为奇函数，
所以不等式f（x2﹣x）+f（a﹣ax）＜0等价于f（x2﹣x）＜﹣f（a﹣ax）等价于f（x2﹣x）＜f（ax﹣a），
等价于x2﹣x＜ax﹣a，
等价于x2﹣（a+1）x+a＜0，（x﹣1）（x﹣a）＜0
所以，当a＞1时，原不等式的解集为（1，a）；
当a＜1时，原不等式的解集为（a，1）；
当a＝1时，原不等式的解集为空集．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，还考查了含参不等式的求解，属于中档题．
22．（12分）已知函数且a≠1）．
（1）若函数h（x）＝f（x）﹣x﹣a有零点，求a的取值范围；
（2）设函数g（x）＝ax（a＞0且a≠1），在（1）的条件下，若∀x1∈[0，+∞），∃x2∈R，使得g（2x1）+mg（x1）﹣f（2x2）+x2＞0，求实数m的取值范围．
【分析】（1）函数h（x）＝f（x）﹣x﹣a有零点，即方程有解，则函数的图象与直线y＝a有交点，再分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论，即可得解；
（2）∀x1∈[0，+∞），∃x2∈R，使得g（2x1）+mg（x1）﹣f（2x2）+x2＞0成立，即成立，利用基本不等式求出f（2x2）﹣x2的最小值，分离参数，从而可得出答案．
【解答】解：（1）若函数h（x）＝f（x）﹣x﹣a有零点，
即，即方程有解，
令，则函数y＝p（x）的图象与直线y＝a有交点，
当0＜a＜1时，，故方程无解，
当a＞1时，，
由方程有解可知a＞0，所以a＞1，
综上，a的取值范围是（1，+∞）；
（2）当x2∈R时，，
由（1）知，当且仅当，即x2＝0时取等号，
所以f（2x2）﹣x2的最小值是lga2，
由题意，∀x1∈[0，+∞），∃x2∈R，使得g（2x1）+mg（x1）﹣f（2x2）+x2＞0成立，
即成立，
所以对∀x1∈[0，+∞）恒成立，
设，则对n≥1恒成立，
设函数，
因为函数和函数y＝﹣n在[1，+∞）上都是减函数，
所以函数h（n）在[1，+∞）上是减函数，
所以h（n）≤h（1）＝lga2﹣1，所以m＞lga2﹣1，
即m的取值范围是（lga2﹣1，+∞）．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
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