湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章～第二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点在直线上，则直线的倾斜角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用倾斜角和斜率之间的关系计算即可求得倾斜角的大小为.
【详解】直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以.
故选：C.
2. 若，，则（ ）
A. 22B. C. D. 29
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标公式即可求值.
详解】由，，
得，，
所以．
故选：C．
3. 若圆的半径为2，则实数的值为（ ）
A. -9B. -8C. 9D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.
【详解】由，得，
所以，解得.
故选：D.
4. 如图所示，在平行六面体中，为与交点，为的中点，若，，，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为为与的交点，
所以，
故.
故选：B
5. 已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线间距离公式求解即可.
【详解】直线与直线之间的距离，
直线与直线之间的距离，
又由正方形可知，即，解得.
故选：A.
6. 已知圆经过点，且圆心在直线上，若为圆上的动点，则线段为坐标原点）长度的最大值为（ ）
A. B. C. 10D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆心和半径，根据即可得答案.
【详解】解：线段中点的坐标为，
所以线段的中垂线的斜率为，
所以线段的中垂线的方程为，
又圆心在直线上，
由，解得，
所以圆心为．

所以.
故选：A．
7. 已知木盒中有围棋棋子15枚（形状大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地从盒中取两次，每次取出1枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.
【详解】从盒中随机取出1枚棋子，“是黑棋子”记为事件，“是白棋子”记为事件，则，，
两枚棋子恰好不同色包含：
第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子，这两个事件是互斥事件．
第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互独立，概率为；
第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互独立，概率为．
所以这两枚棋子恰好不同色的概率是．
故选：A．
8. 已知圆和点，，若点在圆上，且，则实数的取值范目是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两点距离公式结合圆的位置关系计算即可.
【详解】设，由，
得，
即点在圆上，
易知其圆心为，半径．
又圆的圆心为，半径，
而点圆上，故圆与圆有公共点，
所以，
解之得，
即的取值范围是．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（ ）
A. 对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得
B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C. 若，，则
D. 若所在直线两两共面，则共面
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理分别判断.
【详解】由空间向量基本定理.可知只有当不共面时. 才能作为基底，
才能得到，故A错误：
若是空间的一个基底，则不共面. 也不共面，
所以也是空间的一个基底，故B正确；
若，，则不一定平行，故C错误；
若所在直线两两共面，则不一定共面，故D错误.
故选：ACD.
10. 从1，2，3，…9中任取两个数，其中：①恰有一个偶数和两个都是奇数；②至少有一个偶数和两个都是偶数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是互斥事件的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，由互斥事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】根据题意，从1，2，3，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况．依次分析所给的4个事件可得，①恰有一个偶数和两个都是奇数,不能同时发生，是互斥事件；
②至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是偶数不是互斥事件；
③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”不能同时发生，是互斥事件；
④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是互斥事件．
故选:AC．
11. 已知直线过点，若与，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用直线的截距式，结合基本不等式可得解.
【详解】由题意知直线在，轴上的截距存在且大于，
可设的方程为（，），
由直线过点，得，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，
即，所以，
故选：CD.
12. 如图，在正四棱锥中，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ）

A. B. 直线和所成角的余弦值是
C. 点到直线的距离是D. 点到平面的距离是2
【答案】ABC
【解析】
【分析】连接，利用中位线、正四棱锥的性质判断A；过作，交延长线于，若为中点，连接，先证为平行四边形，由异面直线定义确定直线和所成角的平面角，再求其余弦值判断B；中求各边长，余弦定理求，进而求点到直线的距离判断C；证面，等体积法有求点面距离判断D.
【详解】A：连接，分别为，的中点，即为中位线，则，
由为正四棱锥，故为正方形，则，所以，对；
B：过作，交延长线于，若为中点，连接，
又，即，则为平行四边形，故，，
而且，故且，即为平行四边形，
所以且，故直线和所成角，即为或其补角，
及正四棱锥的性质知：侧面为等边三角形，底面为正方形，且棱长均为，
所以，，
，故直线和所成角的余弦值是，对；
C：中，又，则，
所以，则，
所以，故，
所以点到直线的距离是，对；
D：由上分析知：，若为底面中心，则为中点，，
连接，交为，则，则，
又，，面，
所以面，即面，易知：，
令到平面的距离为，则，
由，则中上的高为，故，
由，，则，
所以，错.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了20组随机数：
由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】在20组数中，6830，7840，7834，5346，0952，5734，4725，5924，6051，9138满足要求，共10个，由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为．
故答案为：
14. 已知直线：，：，当时，的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两条直线的平行关系求a的值，再把a的值代入直线方程验证平行关系，进而得出a.
【详解】因为，所以，解得或.
当时，：，：，此时与重合，不符合题意；
当时，：，：，此时，符合题意.
综上，的值为.
故答案为：.
15. 自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆.某自动驾驶讯车在车前点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域.如图所示，在平面直角坐标系中，，直线，的方程分别是，，现有一个圆形物体的圆心为，半径为，圆与，分别相切于点，，则______

【答案】##
【解析】
【分析】应用直线和圆相切求参，再结合图形特征求面积即可.
【详解】连接，，由题意可设，又圆与相切，则，解得，
由题意可得，，
在中，，所以，
同理，，又，
所以，即.
故答案为：.

16. 在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】建系，设，，根据可得，进而利用两点间距离公式结合二次函数分析求解.
【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

因为点，分别为棱，的中点，所以，，
设，，其中，，
则，.
因为，则，解得，
又因为，，则，
可得，
所以，此时，即线段的长度的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得直线的斜率，利用点斜式求得边上的高所在直线的方程.
（2）先求得点坐标，再根据两点式求得边上的中线所在直线的方程.
【小问1详解】
，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为
【小问2详解】
线段的中点，
所以直线所在直线方程为.

18. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为做好本次亚运会的服务工作，从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的100名学生进行综合素质考核，根据学生考核成绩分为四个等级，最终的考核情况如下表：
（1）将频率视为概率，从报名的100名学生中随机抽取1名，求其成绩等级为或的概率；
（2）已知等级视为成绩合格，从成绩合格的学生中，根据考核情况利用比例分配的分层随机抽样法抽取5名学生，再从这5名学生中选取2人进行座谈会，求这2人中有等级的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等可能事件概率计算公式求解即可；（2）取的5名学生中成绩为等级的人数分别为1，4，从这5名学生中选取2人，列举出所有结果，根据古典概型概率计算公式计算即可.
【小问1详解】
由题知，任意抽取1人，抽到学生成绩等级为或的概率为．
【小问2详解】
由题知，抽取的5名学生中成绩为等级的人数分别为1，4，
记这5人分别为，从中抽取2人的样本空间为，
共10个样本点，其中有等级的样本点有，共4个，
所以这2人中有等级的概率为．
19. 已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可;
（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.
【小问1详解】
由已知可设圆心，则，解得或（舍），
所以圆的方程为.
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为，则，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或
.
20. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，，
因为F，G分别为，的中点，
所以，，
又E为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】

解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， ，
设平面的法向量为，
则令得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
21. 一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为．
（1）求的值；
（2）求小红不能正确解答本题的概率；
（3）求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算得解.
（2）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
（3）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
【小问1详解】
记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件，则，
因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为，
于是，解得，
所以.
【小问2详解】
若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会，
所以小红不能正确解答本题的概率是．
【小问3详解】
记事件为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对，
则
，
所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为．
22. 图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点D是棱的中点，点E是棱上的动点（不含端点B）.

（1）证明:平面
平面
；
（2）求平面
与平面
的夹角的余弦值的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先分别证明、，由此即可证明平面，从而由面面垂直的判定定理即可得证.
（2）建立适当的空间直角坐标系，设，分别求出求平面与平面的法向量（含有参数），由公式即可表示出（它可以看成是关于的函数），从而将问题转换为了求函数的最小值，从而即可求解.
【小问1详解】
因为是等边三角形，点是棱的中点，
所以，
又平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
在平面中，过点作,
由（1）可知，，
所以，，
又平面，平面，所以，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：

因为是等边三角形，，
所以，，，
因为 ，所以
设所以，
所以
设平面的法向量为，
又
所以，即 ，
令，得所以平面的一个法向量为
设平面的法向量为 ，
又
所以 ，即 ，
令，得
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
所以，
设，因为，
所以，所以，
所以，
设，则由复合函数单调性可知
在时单调递增，
所以当 时，即时，取到最小值.6830
3215
7056
6431
7840
4523
7834
2604
5346
0952
6837
9816
5734
4725
6578
5924
9768
6051
9138
6754
等级
人数
10
40
40
10