湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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命题学校：安陆一中 命题教师：管秀娟 张秀平 余东平 审题学校：云梦一中
考试时间：2024年4月23日下午15:00-17:00
试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线的方程，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知正整数满足，则（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
3. 在三棱柱中，是的中点，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
5. 在数列中，，，则数列的前2024项的积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在空间中，经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：.用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果分别为和，则这两平面夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 将16个扶困助学的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额数互不相等，则不同的分配方法种数为（ ）
A. 42B. 78C. 90D. 84
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知公差为的等差数列是递减数列，其前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则的最大值为7D. 取最大值时，
10. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数单调递减区间为
B. 函数的值域是
C. 当时，关于的方程有两个不同的实数解
D. 当时，关于的方程有两个不同的实数解
11. 设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（ ）
A. 的取值范围是B. 的取值范围是
C. 的取值范围是D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等比数列的前项和，则______.
13. 除以9的余数为______.
14. 如图，线段，在平面内，，，且，，，则，两点间的距离为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项.
（1）求和4调和中项；
（2）已知调和数列，，，求数列的前项和.
16. 已知二项展开式只有第7项的二项式系数最大，请完成以下问题：
（1）求展开式中二项式系数之和；
（2）展开式中否存在常数项，若有，请求出常数项；若没有，请说明理由；
（3）求展开式中非常数项的系数之和.
17. 如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与直线所成角的正弦值；
（3）证明：直线与平面相交.
18. 如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点.

（1）求椭圆方程；
（2）设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，
①证明：直线过定点，并求出定点坐标；
②求面积的最大值.
19. 已知函数.
（1）证明：恰有一个零点，且；
（2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值.
（i）设，求的解析式；
（ii）证明：当，总有.