第八届希望杯全国数学邀请赛四年级试卷附答案2

这是一份第八届希望杯全国数学邀请赛四年级试卷附答案2，共14页。试卷主要包含了填空题，解答题每题都要写出推算过程．等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．（5分）王云在计算325﹣□×5时先算了减法，结果得出1500，那么这道题的正确结果应该是 ．
2．（5分）今天（2010年4月11日）是星期日，则2010年的六一儿童节是星期 ．
3．（5分）今年，玲玲8岁，奶奶60岁，再过 年，奶奶的年龄是玲玲的5倍．
4．（5分）算式1×1+11×11+111×111+…+111…111（2010个1）×111…111（2010个1）的结果的末三位数字是 ．
5．（5分）将一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体的表面刷上红漆，然后将这个长方体切割成棱长为1厘米的小正方体，则任何一面都没有被刷漆的小正方体有 个．
6．（5分）有四个自然数，它们的和是243．如果将第一个数加上8，第二数减去8，第三个数乘以8，第四个数除以8，则得到的四个数相等．那么，原来的四个数中最大数与最小数的乘积是 ．
7．（5分）如图，长9厘米，宽8厘米的长方形的中间有一个由两个长方形构成的十字形的阴影．如果阴影部分的面积恰好等于空白部分的面积，那么X＝ 厘米．
8．（5分）如图，一个边长为50米的正方形围墙，甲乙两人分别从A、C两点同时出发，沿围墙按顺时针方向运动，已知甲每秒走5米，乙每秒走3米，则至少经过 秒甲乙走到正方形的同一条边上．
9．（5分）甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置共交换了9次，则比赛的结果甲是第 名．
10．（5分）有下列说法：
（1）一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角．
（2）一个钝角减去一个锐角，得到的角不可能还是钝角
（3）三角形的三个内角中至多有一个钝角．
（4）三角形的三个内角中至少有两个锐角
（5）三角形的三个内角可以都是锐角．
（6）直角三角形中可能有钝角．
（7）25°的角用10倍的放大镜看就变成了250°．
其中，正确说法的个数是 ．
11．（5分）如图，周长为52厘米的“L”形纸片可沿虚线分成两个完全相同的长方形．如果最长的边长是16厘米，那么该“L”形纸片的面积是 平方厘米．
12．（5分）48名学生参加聚会，第一个到会的男生和全部女生握手，第二个到会的男生只差一名女生没握过手，第三个到会的男生只差2名女生没握过手…最后一个到会的男生同9名女生握过手，这48名学生中共有 名女生．
二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程．
13．（15分）如果3台数控机床4小时可以加工960个同样的零件，那么1台数控机床加工400个相同的零件需要多长时间？
14．（15分）某场足球比赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共400张，甲类票50元/张，乙类票40元/张，丙类票30元/张，共收入15500元，其中乙类、丙类门票张数相同．则三种票各售出多少张？
15．（15分）甲、乙两辆车从A城开往B城，速度都是55千米/小时．上午10点，甲车已行驶的路程是乙车已行驶路程的5倍；中午12点，甲车已行驶的路程是乙车已行驶路程的3倍．问乙车比甲车晚出发多少小时？
16．（15分）小红从家步行去学校，如果每分钟走120米，那么将比预定时间早到5分钟；如果每分钟走90米，则比预定时间迟到3分钟，那么小红家离学校有多远？
第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷
（四年级第2试）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．（5分）王云在计算325﹣□×5时先算了减法，结果得出1500，那么这道题的正确结果应该是 200 ．
【分析】这是一道“倒推法”的题型，从后往前解．因为先算了减法，原式变成了（325﹣□）×5＝1500，所以325﹣□＝1500÷5＝300，□＝325﹣300＝25，由此知道小方框代表的数字是25，325﹣25×5＝200．
【解答】解：325﹣（325﹣1500÷5）×5，
＝325﹣25×5，
＝200．
故答案为：200
【点评】此题采用逆推法的思想，从后向前推算，注意思路清晰．
2．（5分）今天（2010年4月11日）是星期日，则2010年的六一儿童节是星期 二 ．
【分析】先求出从4月11日到6月1日有多少天，再用经过的天数除以7求出经过了几周，还余几天，再根据余数判断．
【解答】解：4月11日到4月30日经过了：
30﹣11＝19（天）；
5月份有31天，那么一共经过了：
19+31+1＝51（天）；
51÷7＝7（周）…2（天）；
余数是2，那么6月1日就是星期二；
故答案为：二．
【点评】这种类型的题目需要先求出经过的天数，再根据天数求出经过了几个星期还余几天，再根据余数判断．
3．（5分）今年，玲玲8岁，奶奶60岁，再过 5 年，奶奶的年龄是玲玲的5倍．
【分析】本题可列方程解答，设再过x年，奶奶的年龄是玲玲的5倍，则5年后玲玲的年龄是8+x岁，奶奶的年龄60+x岁，是由此可得等量关系式：（8+x）×5＝60+x．解此方程即可．
【解答】解：设再过x年，奶奶的年龄是玲玲的5倍，由此可得：
（8+x）×5＝60+x
40+5x＝60+x，
4x＝20，
x＝5．
故答案为：5．
【点评】年龄的问题的一个特点是，不论过多少年，两个人的年龄差是不变的．
4．（5分）算式1×1+11×11+111×111+…+111…111（2010个1）×111…111（2010个1）的结果的末三位数字是 690 ．
【分析】此题看似很难，我们可从式中第一个乘法算式开始计算一下每个乘法算式的值找下规律：1×1＝1，11×11＝121，111×111＝12321，1111×1111＝1234321，11111×11111＝123454321…，它们的积分别为：1，121，12321，1234321，123454321，12345654321，…，由此可以发现，除了头两个乘法算式的积分别为1，121外，后边乘法算式的积的后三位都为321，据此规律我们就能求出这个算式的末三位的数字是多少了．
【解答】解：通过计算，可得每个乘法算式的积分别为：1，121，12321，1234321，123454321，12345654321，…，
由此可以发现，除了头两个乘法算式的积分别为1，121外，后边乘法算式的积的后三位都为321；
则式中每个算式末三位相加的和为：
1+121+321×（2010﹣2）
＝122+64568，
＝644690．
所以算式1×1+11×11+111×111+…+111…111（2010个1）×111…111（2010个1）的结果的末三位数字是690．
故答案为：690．
【点评】诸如此类数据较多且较为复杂的运算题目，一般都有内在规律可循，因此完成此类题目的关键是在认真分析题目在基础上找到式中数据的特点及内在规律进行解答．
5．（5分）将一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体的表面刷上红漆，然后将这个长方体切割成棱长为1厘米的小正方体，则任何一面都没有被刷漆的小正方体有 24 个．
【分析】根据长方体切拼正方体的特点可知：表面没有刷红漆的小正方体都在这个长方体的内部，所以这些没有刷漆的棱长为1厘米小正方体体积为：（长﹣2）×（宽﹣2）×（高﹣2）；由此代入数据即可解决问题．
【解答】解：（6﹣2）×（5﹣2）×（4﹣2）÷（1×1×1），
＝4×3×2÷1，
＝24（个），
答：则任何一面都没有被刷漆的小正方体有24个．
故答案为：24．
【点评】解决此类问题的关键是：根据长方体切拼正方体的特点得出计算内部没有刷漆的小正方体的体积为：：（长﹣2）×（宽﹣2）×（高﹣2），这里的2，是指分别从长宽高里减掉2个小正方体的棱长．
6．（5分）有四个自然数，它们的和是243．如果将第一个数加上8，第二数减去8，第三个数乘以8，第四个数除以8，则得到的四个数相等．那么，原来的四个数中最大数与最小数的乘积是 576 ．
【分析】根据题干，此题可以设当变化以后四个数字相等时为x，则由此逆推即可得出原来的四个数字分别是：x﹣8、x+8、x÷8、x×8，根据它们的和是243即可列出方程求得x的值后即可求得这四个自然数，从而解决问题．
【解答】解：设当变化以后四个数字相等时为x，
则原来的四个数字分别是：x﹣8、x+8、x÷8、x×8，根据题意得：
x﹣8+x+8+x÷8+x×8＝243，
10x+＝243，
81x＝1944，
x＝24，
所以这四个自然数分别是：
24﹣8＝16，
24+8＝32，
24÷8＝3，
24×8＝192，
原来的四个数中最大数与最小数的乘积是：3×192＝576，
答：原来的四个数中最大数与最小数的乘积是576．
故答案为：576．
【点评】根据变化后的等量设出未知数，从而逆推得出这四个自然数是解决本题的关键．
7．（5分）如图，长9厘米，宽8厘米的长方形的中间有一个由两个长方形构成的十字形的阴影．如果阴影部分的面积恰好等于空白部分的面积，那么X＝ 2 厘米．
【分析】根据图可知，阴影部分的面积为3乘8加9乘x再减去重叠部分3x，空白部分的面积为9减3再乘8减x的差，因为阴影部分的面积等于空白部分的面积，各占整个面积的一半，所以列方程解答即可．
【解答】解：3×8+9x﹣3x＝9×8×0.5，
24+6x＝36，
6x＝36﹣24，
x＝2，
故答案为：2．
【点评】解答此题的关键是在计算阴影部分的面积时要记得减去重叠部分的面积，空白部分的边长就等于原来的边长减去阴影占的长度，再用边长乘边长可计算出空白部分的面积，最后根据等式进行解答即可．
8．（5分）如图，一个边长为50米的正方形围墙，甲乙两人分别从A、C两点同时出发，沿围墙按顺时针方向运动，已知甲每秒走5米，乙每秒走3米，则至少经过 30 秒甲乙走到正方形的同一条边上．
【分析】甲在A处，乙在B处，甲乙相距50×2＝100（米）；当甲从A走到C处，用100÷5＝20（秒）；那么乙20秒走3×20＝60（米），到达D处并超过D处60﹣50＝10（米），走在AD边上；甲从C处到D处用的时间为50÷5＝10（秒）；那么乙10秒走3×10＝30（米）；这时乙超过D处10+30＝40（米），还在AD边上，甲也在AD边上；所以共用时间10+20＝30（秒）．
【解答】解：①当甲从A走到C处，用的时间：
50×2÷5＝20（秒）；
②乙20秒走：
3×20＝60（米），
这时乙走在AD边上；
③甲从C处到D处用的时间为：
50÷5＝10（秒）；
这时甲与乙都在AD边上．
④共用时间：
10+20＝30（秒）．
答：至少经过30秒甲乙走到正方形的同一条边上．
故答案为：30．
【点评】此题属于追及问题，有一定难度．注意本题在解答时，要求甲乙走到正方形的同一条边上，也就是甲刚刚拐弯时就能看到乙．
9．（5分）甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置共交换了9次，则比赛的结果甲是第 二 名．
【分析】据题意可知，甲原为第三名（奇数），第一次位置交换后，甲追了第三名，成了第二名（偶数）；第二次位置交换后，甲不是第二名，成了第一名或第三名（奇数）；第三次位置变化后，不管之前甲处于第一名还是第三名，这次甲肯定又成了第二名（偶数），…；所以可以知道，当甲与乙、丙共交换了奇数次位置时，甲一定是第二名；偶数次时，甲一定不在第二名．当甲与乙、丙共交换了9次位置时，甲一定是在第二名．
【解答】解：据题意可知，当甲与乙、丙共交换了奇数次位置时，甲一定是第二名；
偶数次时，甲一定不在第二名．
所以甲与乙、丙共交换了9次位置时，9是奇数，则甲一定是在第二名．
答：比赛的结果甲是第二名．
故答案为：二．
【点评】完成本题的关键是通过分析题意得出交换次数的奇偶性与获得名次的奇偶性的关系．
10．（5分）有下列说法：
（1）一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角．
（2）一个钝角减去一个锐角，得到的角不可能还是钝角
（3）三角形的三个内角中至多有一个钝角．
（4）三角形的三个内角中至少有两个锐角
（5）三角形的三个内角可以都是锐角．
（6）直角三角形中可能有钝角．
（7）25°的角用10倍的放大镜看就变成了250°．
其中，正确说法的个数是 4 ．
【分析】（1）钝角是大于90度且小于180度的角，则一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角；
（2）钝角是大于90度且小于180度的角，锐角是小于90度的角，则一个钝角减去一个锐角，得到的角可能还是钝角；
（3）三角形的内角和是180度，钝角是大于90度且小于180度的角，则三角形的三个内角中至多有一个钝角；
（4）三角形的内角和是180度，钝角是大于90度且小于180度的角，直角是90度，则三角形的三个内角中至少有两个锐角；
（5）因为三角形的内角和是180度，锐角是小于90度的角，所以三角形的三个内角可以都是锐角；
（6）在直角三角形中，另外两个锐角的和也是90度，不可能再有一个钝角；
（7）角的度数只与两边叉开的大小有关．
【解答】解：（1）因为钝角是大于90度且小于180度的角，则一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角，故说法是正确的；
（2）因为钝角是大于90度且小于180度的角，锐角是小于90度的角，则一个钝角减去一个锐角，得到的角可能还是钝角，故此题是错误的；
（3）因为三角形的内角和是180度，钝角是大于90度且小于180度的角，若一个三角形中有一个以上的钝角，就不符合三角形的内角和定理了，所以此题的说法是正确的；
（4）因为三角形的内角和是180度，钝角是大于90度且小于180度的角，直角是90度，则三角形的三个内角中至少有两个锐角，所以此题是正确的；
（5）因为三角形的内角和是180度，锐角是小于90度的角，所以三角形的三个内角可以都是锐角，所以说此题是正确的；
（6）在直角三角形中，另外两个锐角的和也是90度，不可能再有一个钝角，所以此题是错误的；
（7）因为角的度数只与两边叉开的大小有关，而与放大多少倍无关，所以此题是错误的；
故答案为：4．
【点评】此题主要考查三角形的内角和定理及钝角、直角和锐角的定义．
11．（5分）如图，周长为52厘米的“L”形纸片可沿虚线分成两个完全相同的长方形．如果最长的边长是16厘米，那么该“L”形纸片的面积是 120 平方厘米．
【分析】根据题意，可设分成的长方形的宽为x厘米，那么分成的长方形的长就应该为（16﹣x）厘米，那么将“L”形纸片的周长相加即可得到一个等式，16+（16﹣x）+x+（16﹣x﹣x）+（16﹣x）+x＝52，进行解答后可知分成的长方形的宽，然后代入16﹣x，可计算出分成的长方形的长，最后根据长方形的面积进行计算后即可得到答案．
【解答】解：设分成的长方形的宽为x，那么分成的长方形的长为16﹣x，
16+（16﹣x）+x+（16﹣x﹣x）+（16﹣x）+x＝52
64﹣2x＝52，
2x＝12，
x＝6，
分成的长方形的长为：16﹣6＝10（厘米），
长方形的面积为：10×6＝60（平方厘米），
“L”形纸片的面积为：60×2＝120（平方厘米）．
故填：120．
【点评】解答此题的关键是根据“L”形纸片的周长计算出分成的长方形的长、宽，然后再利用长方形的面积公式进行计算即可．
12．（5分）48名学生参加聚会，第一个到会的男生和全部女生握手，第二个到会的男生只差一名女生没握过手，第三个到会的男生只差2名女生没握过手…最后一个到会的男生同9名女生握过手，这48名学生中共有 28 名女生．
【分析】根据题意知道，女多男少，所有的女生全部提前到达，在门口列队迎接男生到来，第一个到来的男生和所有女生握过手后，把一名女生领了进去；第二个到来的男生也和第一名男生一样，和站在门口的所有女生握手后，把一个女生领了进去，同样最后一名到来的男生同最后剩下的9名女生握手后，把一名女生领进去，最后会剩下8名女生，可见女生比男生多8名，再根据和差问题公式可以求得女生人数即可．
【解答】解：根据题意知道：女生比男生多8名，
女生人数为：（48+8）÷2，
＝56÷2，
＝28（名）；
答：这48名学生中共有28名女生．
故答案为：28．
【点评】解答此题的关键是，根据题意，找出女生和男生相差的人数，再根据和差公式（（和+差）÷2＝大数，（和﹣差）÷2＝小数）列式解答即可．
二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程．
13．（15分）如果3台数控机床4小时可以加工960个同样的零件，那么1台数控机床加工400个相同的零件需要多长时间？
【分析】先求出1台数控机床4小时可以加工零件的个数，再求出1台数控机床1小时可以加工零件的个数，最后即可求出1台数控机床加工400个相同的零件需要的时间．
【解答】解：400÷（960÷3÷4），
＝400÷（320÷4），
＝400÷80，
＝5（小时）；
答：1台数控机床加工400个相同的零件需要5小时．
【点评】解答此题的关键是，求出1台数控机床1小时可以加工零件的个数，由此即可求出答案．
14．（15分）某场足球比赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共400张，甲类票50元/张，乙类票40元/张，丙类票30元/张，共收入15500元，其中乙类、丙类门票张数相同．则三种票各售出多少张？
【分析】设乙售出X张，则丙售出x张，甲售出（400﹣2x）张，根据“单价×数量＝总价”分别计算出卖甲、乙、丙三类票的总价，进而根据“甲类票的总价+乙类票的总价+丙类票的总价＝15500”列出方程，解答即可．
【解答】解：设乙售出X张，则丙售出x张，甲售出（400﹣2x）张，
50×（400﹣2x）+40x+30x＝15500，
20000﹣100x+70x＝15500，
20000﹣30x＝15500，
x＝150；
甲：400﹣2×150＝100（张）；
答：甲类售出100张，乙类和丙类都是售出150张．
【点评】解答此题的关键是：先设出要求的问题为未知数，然后找出数量间的相等关系式，进行而列出方程，解答即可．
15．（15分）甲、乙两辆车从A城开往B城，速度都是55千米/小时．上午10点，甲车已行驶的路程是乙车已行驶路程的5倍；中午12点，甲车已行驶的路程是乙车已行驶路程的3倍．问乙车比甲车晚出发多少小时？
【分析】已知从10点到12点的2个小时中，甲乙两车都在行驶，那么乙车比甲车晚出发的时间，就是10点之前乙车比甲车少行驶的时间，由此只要求出10点之前两车各自行驶的时间即可解决问题，
（1）两车的速度相等是55千米/小时，这里可以设上午十点乙车行驶的路程为x千米，则甲车行驶的路程就是5x千米，则10点之前甲行驶的时间是小时，乙行驶的时间是小时，所以甲行驶的总时间是+2小时，乙行驶的总时间是+2小时，
（2）根据速度一定时，路程与时间成正比，因为甲车已行驶的路程是乙车已行驶路程的3倍，所以甲车已行驶的时间是乙车已行驶时间的3倍，列出方程即可解决问题．
【解答】解：设上午十点时乙车行驶的路程为x千米，则甲车行驶的路程就是5x千米，则10点之前甲行驶的时间是小时，乙行驶的时间是小时，根据题意可得方程：
+2＝3×（+2），
2x＝220，
x＝110，
所以10点之前甲行驶的时间是：＝＝10（小时），
乙行驶的时间是＝＝2（小时），
10﹣2＝8（小时），
答：乙车比甲车晚出发8小时．
【点评】此题考查了路程、速度与时间之间的关系的灵活应用，这里关键是根据路程的倍数关系设出未知数，从而得出10点前甲乙两车各自行驶时间．
16．（15分）小红从家步行去学校，如果每分钟走120米，那么将比预定时间早到5分钟；如果每分钟走90米，则比预定时间迟到3分钟，那么小红家离学校有多远？
【分析】预定时间内以两种速度行走的距离差是120×5+90×3＝870（米）；这个距离差是由两种速度之差决定的，速度差120﹣90＝30（米/分），因此预定时间就是870÷30＝29（分钟）；后面就简单了，按每分钟走90米的速度算，实际时间＝29+3＝32（分钟），距离＝90×32＝2880（米）．或按每分钟走120米的速度算，实际时间＝29﹣5＝24（分钟），距离＝120×24＝2880（米）．，
【解答】解：①预定时间：
（120×5+90×3）÷（120﹣90），
＝870÷30，
＝29（分钟）；
②小红家离学校的距离：
90×（29+3），
＝90×32，
＝2880（米）．
答：小红家离学校2880米．
【点评】此题有一定难度，用距离差和两种速度之差求出预定时间是解决本题的关键．
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日期：2019/4/22 16:49:20；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.cm；学号：20913800