2023-2024学年湖南省长沙一中教育集团八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省长沙一中教育集团八年级（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．杭州亚运会中有各种比赛项目，如图可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列多边形中，内角和为360°的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ）
A．“天舟七号”零部件情况调查
B．某班同学的近视情况调查
C．李克强同志逝世后全国人民对他的追悼情况的调查
D．某校寄宿生周一晚上是否回寝的调查
4．若一个等腰三角形的腰长为2023，则它的底边长不可能是（ ）
A．1B．2000C．4000D．6000
5．在△ABC和△DEF中，已知∠A＝∠D，AB＝DE，下列添加的条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝EFB．∠C＝∠FC．AC＝DFD．∠B＝∠E
6．下列计算结果等于a15的是（ ）
A．a5+a10B．a5•a3C．（a5）3D．a30÷a2
7．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC 的三条中线的交点
B．△ABC 三边的垂直平分线的交点
C．△ABC 三条角平分线的交点
D．△ABC 三条高所在直线的交点
8．下列说法错误的是（ ）
A．2a（b+c）＝2ab+2acB．﹣3x（x﹣1）＝﹣3x2﹣1
C．6a5b4÷2a2b2＝3a3b2D．﹣（x3）2＝﹣x6
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，D是AC上一点，且DE⊥AB于点E，连接DB，若CD＝ED＝3cm，则∠DBC＝（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
10．在平面直角坐标系中，A（10，﹣1），若△ABO是等腰三角形，且B是坐标轴上一点，则符合题意的B点有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．小明用（5﹣2）×180°计算一个多边形的内角和，他计算的是个 边形．
12．一个三角形的三条边长分别为5，8，x，另一个三角形的三条边长分别为5，6，8，若这两个三角形全等，则x＝ ．
13．如图，小平作了一幅长为40cm、宽为30cm的长方形画作，并在画作下方加了一个长为40cm、宽为x cm的长方形简介，则画作和简介所组成的大长方形面积为 cm2．
14．点A（2，6）关于x轴对称的点是B（x，y），则yx＝ ．
15．如图，小新家里的木凳有一个角松动了，爸爸准备拿几根木头固定一下，但是，小新却说，只要用一根木头钉在AB处即可，小新这么说是因为三角形具有 ．
16．如图，BE是△ABC的边AC上的高线，AD∥BC，且∠1+42°＝∠2，∠3＝45°，那么∠ABC＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）（﹣2）3+；
（2）|．
18．（6分）解下列方程组或不等式组：
（1）；
（2）．
19．（6分）如图，已知△ABC．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）求以B、C、O三点为顶点的三角形的面积；
（3）在x轴上求作一点P，使PB1+PC1最小．
20．（8分）先化简，再求值．
（1）x（x+3）﹣5x（x+1）+2x（4x﹣3），其中x＝1．
（2）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）2，其中x＝20，y＝2．
21．（8分）如图，已知AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，AC与DE相交于点H．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝40°，DF＝3，AH＝1.8，求∠EHC和．
22．第19届亚运会在我国杭州举行，全国各地人民热血澎湃．为奖励先进，某体育俱乐部决定组织优秀员工去杭州观看闭幕式．若购买4张A区的票，1张B区的票，共需1600元；若购买5张A区的票，2张B区的票，共需2360元．
（1）闭幕式时，A、B区的售票单价分别是多少？
（2）若该俱乐部计划购买20张票，其中B区的票不少于5张，且总票价不超过7000元，那么俱乐部有哪几种购买方案？
23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D、点E分别是边AB、AC上一点，连接BE、CD交于点F，∠ABE＝∠ACD．
（1）求证：△FBC是等腰三角形；
（2）若CD⊥BE，∠A＝30°，EF＝5，求BD．
24．阅读下列材料，并用材料中的知识解决后面的问题．
今年7月8日﹣9日，国际生态文明论坛在我国贵阳举办，论坛以“共谋人与自然和谐共生现代化——推进绿色低碳发展”为主题．我们知道，n个相同的因数a相乘记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，我们将3叫做2关于8的“绿色发展数”，记为L2（8）（即L2（8）＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0，n为正整数），则n叫做a关于b的“绿色发展数”，记为La（b）（即La（b）＝n）．
（1）计算以下列“绿色发展数”的值：
L3（3）＝ ，L3（27）＝ ，L3（81）＝ ．
（2）观察（1）中L3（3）、L3（27）、L3（81）三数及其计算结果，猜想La（b1）+La（b2）与La（b1•b2）（a＞0且a≠1，b1＞0，b2＞0）之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如果我们将题目中n的范围由“正整数”拓宽为“正数”，且（2）中的结论也仍然成立，已知6关于x（x＞0）的“绿色发展数”为p（p＞0），216关于y（y＞0）的“绿色发展数”为q（q＞0），且|p﹣2+3q|+（x+y﹣t）2＝0．用含t的式子表示6p﹣63q．
25．如图所示，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴负半轴于点B（0，b），且OA＝OB，C（c，0）是x轴负半轴上一点，连接BC．
（1）如图1，若AH⊥BC于点H，且AH交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC；
（2）如图2，在（1）的基础上，连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）若a+2c＝0，点D为AB的中点，点M为y轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴上运动的过程中，S△BDM，S△ADN，S△ABC之间有何数量关系？为什么？
2023-2024学年湖南省长沙一中教育集团八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1．解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
2．解：∵n边形的内角和公式为180°（n﹣2），
∴当180°（n﹣2）＝360°，则n＝4．
∴四边形的内角和等于360°．
故选：B．
3．解：A、“天舟七号”零部件情况调查，适合采用全面调查，不符合题意；
B、某班同学的近视情况调查，适合采用全面调查，不符合题意；
C、李克强同志逝世后全国人民对他的追悼情况的调查，适合采用抽样调查，符合题意；
D、某校寄宿生周一晚上是否回寝的调查，适合采用全面调查，不符合题意；
故选：C．
4．解：2023+2023＝4046＜6000；
所以底不可能是6000；
故选：D．
5．解：A、BC＝EF，则SSA无法判断三角形全等，本选项符合题意；
B、∠C＝∠F，根据AAS，能判断三角形全等，本选项不符合题意；
C、AC＝DF，根据SAS能判断三角形全等，本选项不符合题意；
D、∠B＝∠E，根据ASA能判断三角形全等，本选项不符合题意．
故选：A．
6．解：A、a5与a10不能进行相加，故该项不正确，不符合题意；
B、a5•a3＝a8，故该项不正确，不符合题意；
C、（a5）3＝a15，故该项正确，符合题意；
D、a30÷a2＝a28，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
7．解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC 三条角平分线的交点．
故选：C．
8．解：2a（b+c）＝2ab+2ac，正确，则A不符合题意；
﹣3x（x﹣1）＝﹣3x2+3x，则B符合题意；
6a5b4÷2a2b2＝3a3b2，正确，则C不符合题意；
﹣（x3）2＝﹣x6，正确，则D不符合题意；
故选：B．
9．解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，
在Rt△BDE与Rt△BDC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），
∴∠EBD＝∠DBC，
∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠DBC＝25°，
故选：A．
10．解：如图所示：
建立坐标系以原点为圆心，
以OA为半径画圆与坐标轴的交点 有4个，
再作线段OB的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，
以A为圆心OA为半径画圆，与坐标轴有2个交点，
OK
使△ABO是等腰三角形点B共，8个，
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．解：小明用（5﹣2）×180°计算一个多边形的内角和，他计算的是个五边形，
故答案为：五．
12．解：∵两个三角形全等，
∴x＝6，
故答案为：6．
13．解：大长方形面积＝40×（30+x）＝（1200+40x）cm2．
故答案为：（1200+40x）．
14．解：∵点A（2，6）关于x轴对称的点是B（x，y），
∴x＝2，y＝﹣6，
则yx＝（﹣6）2＝36．
故答案为：36．
15．解：根据题意得：用一根木头钉在AB处，是为了构造三角形，利用三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
16．解：∵BE是△ABC的边AC上的高线，∠1+42°＝∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
即，∠1+42°+∠1＝90°，
解得：∠1＝24°，
∴∠2＝66°，
∵AD∥BC，∠3＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣66°﹣45°＝69°，
故答案为：69°．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解：（1）（﹣2）3+
＝﹣8+3
＝﹣5；
（2）|
＝2+﹣
＝+．
18．解：（1）①+②得：4a＝8，
∴a＝2，
把a＝2 代入②得：2+b＝3，
∴b＝1，
∴方程组的解为；
（2）解不等式①得，x≤3，
由不等式②得，x，
∴该不等式的解集为﹣＜x≤3．
19．解：（1）如图所示；△A1B1C1为所求三角形；
（2）S△BCO＝2×4﹣×2×1﹣×3×1﹣×4×1＝3.5；
（3）如图所示：点P为所求点．
20．解：（1）x（x+3）﹣5x（x+1）+2x（4x﹣3）
＝x2+3x﹣5x2﹣5x+8x2﹣6x
＝4x2﹣8x，
当x＝1时，原式＝4×12﹣8×1＝4×1﹣8＝4﹣8＝﹣4；
（2）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）2
＝x2﹣y2+4x2+4xy+y2
＝5x2+4xy，
当x＝20＝1，y＝2时，原式＝5×12+4×1×2＝5×1+8＝5+8＝13．
21．【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
∵∠A＝40°，
∴∠EHC＝40°，
∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF＝3，
∵AH＝1.8，
∴．
22．解：（1）设闭幕式时，A区的售票单价是x元，B区的售票单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：闭幕式时，A区的售票单价是280元，B区的售票单价是480元；
（2）设该俱乐部购买m张B区的票，则购买（20﹣m）张A区的票，
根据题意得：，
解得：5≤m≤7，
又∵m为正整数，
∴m可以为5，6，7，
∴该俱乐部共有3种购买方案，
方案1：购买15张A区的票，5张B区的票；
方案2：购买14张A区的票，6张B区的票；
方案3：购买13张A区的票，7张B区的票．
23．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACD，
即∠EBC＝∠DCB，
∴BF＝FC，
即△FBC是等腰三角形；
（2）解：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD，∠ADC＝∠AEB，
∵AB＝AC，
∴BD＝EC，
∵CD⊥BE，∠A＝30°，EF＝5，
∴∠AEB＝90°，∠ACD＝60°，
∴∠FEC＝90°，
设EC＝x，则FC＝2x，
由勾股定理可得，EC2+EF2＝FC2，
即x2+52＝（2x）2，
解得：x＝，
∴BD＝．
24．【解答】（1）解：∵31＝3，33＝27，34＝81，
∴L3（3）＝1，L3（27）＝3，L3（81）＝4，
故答案为：1；3；4；
（2）证明：设La（b1）＝m，La（b2）＝n，
∴am＝b1，an＝b2，
∴b1•b2＝am+n，
∴La（b1•b2）＝m+n，
∴La（b1）+La（b2）＝La（b1•b2）；
（3）∵6关于x（x＞0）的“绿色发展数”为p，216关于y（y＞0）的“绿色发展数”为q，
∴6p＝x，216q＝y，即63q＝y，
∴xy＝6p+3q，6p﹣63q＝x﹣y，
∵|p﹣2+3q|+（x+y﹣t）2＝0，
∴p﹣2+3q＝0，x+y﹣t＝0，
∴p+3q＝2，x+y＝t，
∴xy＝36，
∴6p﹣63q
＝x﹣y
＝
＝，
即6p﹣63q＝．
25．【解答】（1）证明：点A（a，0），交y轴负半轴于点B（0，b），且OA＝OB，
则OA＝OB＝a．
∵AH⊥BC即∠AHC＝90°，∠COB＝90°
∴∠HAC+∠ACH＝∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠HAC＝∠OBC．
在△OAP与△OBC中，，
∴△OAP≌△OBC（ASA）；
（2）证明：过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点．
在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP＝∠CHA＝45°；
（3）解：S△BDM﹣S△ADN＝S△ABC．
理由如下：
若a+2c＝0，则c＝﹣a，则OC＝a，
如图：连接OD．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，
∴∠DAN＝135°＝∠MOD．
∵MD⊥ND即∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM与△ADN中，，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN
∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝a×a＝a2，
而S△ABC＝AC×OB＝（a+a）×a＝a2，
∴S△BDM﹣S△ADN＝S△ABC．