2023-2024学年广东省东莞市七校高二上学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞市七校高二上学期期中联考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，直线l的倾斜角为
( )
A. π4B. π3C. 3π4D. 5π6
2.已知向量a=4,-2,3，b=1,5,x，满足a⊥b，则x的值为
( )
A. 2B. -2C. 143D. -143
3.已知圆的一条直径的端点分别为P12,5，P24,3，则此圆的标准方程是
( )
A. x+32+y+42=8B. x-32+y-42=8
C. x+32+y+42=2D. x-32+y-42=2
4.抛物线y=14x2的准线方程是
A. x=-1B. x=-2C. y=-1D. y=-2
5.直线2x+m+1y-2=0与直线mx+3y-2=0平行，那么该两平行线之间距离是
( )
A. 0B. 5 26C. 26D. 53
6.如图，四边形ABCD为平行四边形，AE=12AB，DF=12FC，若DE=λAC+μAF，则λ+μ的值为
( )
A. 12B. 23C. -13D. -1
7.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图(1)所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图(2)所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图(3)所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图(1)、(2)、(3)中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为1211、1110、109，设图(1)、(2)、(3)中椭圆的离心率分别为e1、e2、e3，则
．( )
A. e18.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P为正方形A1B1C1D1内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为60∘的点P的轨迹长度为
( )
A. 33B. 36πC. 3D. 32π
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知双曲线C:x29-y216=1，则下列关于双曲线C的结论正确的是
( )
A. 实轴长为6B. 焦距为5
C. 离心率为43D. 焦点到渐近线的距离为4
10.已知空间中三点A0,1,0，B2,2,0，C-1,3,1，则下列说法正确的是
( )
A. AB与AC是共线向量
B. 与AB同向的单位向量是2 55, 55,0
C. AB和BC夹角的余弦值是 5511
D. 平面ABC的一个法向量是1,-2,5
11.设圆O：x2+y2=r2(r>0)，点A(3,4)，若圆O上存在两点到A的距离为2，则r的可能取值( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
12.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AA1=2，BC1与B1C交于点F，点E是线段A1B1上的动点，则下列结论正确的是( )
A. AF=12AB+12AC+12AA1
B. 存在点E，使得AF⊥BE
C. 三棱锥B-AEF的体积为 312
D. 直线AF与平面BCC1B1所成角的余弦值为 217
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若方程x22m-1-y25-m=1表示的曲线为焦点在x轴上双曲线，则m的取值范围为______．
14.已知a=0,1,m,b=0,n,-3分别是平面α,β的法向量，且α//β，则mn=__________．
15.设半径为3的圆C被直线l:x+y-4=0截得的弦AB的中点为P3,1，且弦长AB=2 7，则圆C的标准方程__________．
16.已知实数x，y满足 x+ 72+y2+ x- 72+y2=8，则代数式3x-4y-24的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
在菱形ABCD中，对角线BD与x轴平行，D-3,1，A-1,0，点E是线段AB的中点．
(1)求点B的坐标；
(2)求过点A且与直线DE垂直的直线．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，AB=2BC=2，PD= 5，PA=2，E为PD的中点．
(1)证明：PA⊥平面ABCD；
(2)求直线EB与平面PBC所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
已知双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±x，且点M2,1在该双曲线上．
(1)求双曲线C方程；
(2)若点F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，且双曲线C上一点P满足PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
20.(本小题12分)
党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的大地之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道(约37000千米).这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽AB为16米，洞门最高处距路面4米.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧AB的方程．
(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由．
21.(本小题12分)
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD⊥AB，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=PB=AD=12BC=2，且E，F分别为PC，CD的中点．
(1)证明：DE//平面PAB；
(2)若直线PF与平面PAB所成的角为60​∘，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的两焦点F1-1,0，F21,0，且椭圆C过P- 3, 32．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F1作不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值为-18，求AB的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据倾斜角的定义分析运算．
解：由题意可知：直线l的倾斜角为π4的补角，即为3π4．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可．
解：∵a⊥b，a=4,-2,3，b=1,5,x
∴4×1+-2×5+3x=0，
解得x=2
故选：A．
3.【答案】D
【解析】【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出该圆的标准方程．
解：由题意可知，圆心为线段P1P2的中点，则圆心为C3,4，
圆的半径为CP1= 2-32+5-42= 2，
故所求圆的方程为x-32+y-42=2．
故选：D．
4.【答案】C
【解析】【分析】抛物线的几何性质．
解：由题意得，抛物线可化为x2=4y，则p=2，所以准线方程为y=-1，故选 C．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据两直线平行得到方程与不等式，得到m=-3，再利用两平行直线间的距离公式求出答案．
解：2×3-mm+1=0且2×-2--2×m≠0，解得m=-3，
两直线方程为2x-2y-2=0与直线-3x+3y-2=0，
即x-y-1=0与x-y+23=0
故两平行线之间的距离为-1-23 1+1=5 26．
故选：B
6.【答案】D
【解析】【分析】选取AB、AD为基底，利用向量的减法得到DE=12AB-AD，再利用向量的加法与数乘将DE=λAC+μAF化为DE=λ+μ3AB+λ+μAD，根据向量AB、AD不共线可得，λ+μ=-1．
解：选取AB、AD为基底，则DE=AE-AD=12AB-AD，
由DF=12FC知，DF=12FC，所以DF=13DC．
由向量加法法则可得，AC=AB+AD，AF=AD+DF=AD+13DC=AD+13AB，
又DE=λAC+μAF=λAB+AD+μAD+13AB=λ+μ3AB+λ+μAD，
所以12AB-AD=λ+μ3AB+λ+μAD，
又向量AB，AD不共线，所以λ+μ=-1．
故选：D．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查求椭圆的离心率(或取值范围)，属于基础题．
根据长轴长与短轴长的定义，结合a,b,c的等量关系以及离心率的计算公式，通过比较大小，可得答案．
【解答】
解：设椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则c2=a2-b2，
可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为ab，
故离心率e=ca= c2a2= a2-b2a2= 1-ba2，
则e1= 1-11122= 2312，e2= 1-10112= 2111，e3= 1-9102= 1910，
由 2312< 2111< 1910，则e1故选：C．
8.【答案】B
【解析】【分析】作出辅助线，得到P的轨迹为以B1为圆心， 33为半径，位于平面A1B1C1D1内的圆的14，求出轨迹长度．
解：直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面A1B1C1D1所成角，
连接B1P，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，PB1⊂平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥PB1，故∠BPB1为直线BP与上底面A1B1C1D1所成角，
则∠BPB1=60∘，
因为BB1=1，所以PB1=BB1tan60∘= 33，
故点P的轨迹为以B1为圆心， 33为半径，位于平面A1B1C1D1内的圆的14，
故轨迹长度为14×2π× 33= 36π．

故选：B
9.【答案】AD
【解析】【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解．
解：由双曲线C:x29-y216=1，可得a=3,b=4，则c= a2+b2=5，
可得双曲线的实轴长为2a=6，焦距为2c=10，离心率为e=ca=53，
所以A正确，B、C不正确；
又由双曲线的渐近线方程为y=±43x，即4x±3y=0，且焦点F1(-5,0),F2(5,0)，
不妨设右焦点F2(5,0)，渐近线为4x+3y=0，则焦点到渐近线的距离为4×5 42+32=4，所以 D正确．
故选：AD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
利用空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
【解答】
解：空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，
对于A，AB=(2,1,0)，AC=(-1,2,1)，
∴AB与AC不是共线向量，故A错误；
对于B，AB=(2,1,0)，AB|AB|=(2 55, 55,0)，故B正确；
对于C，AB=(2,1,0)，BC=(-3,1,1)，
∴AB和BC夹角的余弦值是：
cs=AB⋅BC|AB|⋅|BC|=-5 5⋅ 11=- 5511，故C错误；
对于D，AB=(2,1,0)，AC=(-1,2,1)，
设平面ABC的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅AB=2x+y=0n⋅AC=-x+2y+z=0，取x=1，得n=(1,-2,5)，故D正确．
故选：BD．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，注意将原问题转化为两圆相交的问题，属于一般题．
根据题意，设以A为圆心，半径为2的圆为圆A，分析圆O的圆心、半径，求出圆心距，分析可得圆O与圆A相交，据此可得r-2<5【解答】
解：根据题意，设以A为圆心，半径为2的圆为圆A，
圆O：x2+y2=r2(r>0)，其圆心为(0,0)，半径为r，
则|OA|= 32+42=5，
若圆O：x2+y2=r2(r>0)上存在两点到A的距离为2，则圆O与圆A相交，
则有r-2<5故选BCD．
12.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了空间向量线性运算，立体几何线面位置关系，棱锥的体积和直线与平面所成的角，属于较难题．
A利用空间向量运算求解判断；B利用空间向量运算求解判断；C利用等体积法求解判断；D利用线面角的求解判断．
【解答】
解：
对于A，AF=AB+BF=AB+12(BC+BB1)=AB+12(AC-AB)+12AA1=12AB+12AC+12AA1，故A正确；
对于B，假设存在E，设A1E=λA1B1，0≤λ≤1，
所以BE=AE-AB=AA1+A1E-AB=AA1+λA1B1-AB=AA1+(λ-1)AB，
因为AF⊥BE，
所以AF⋅BE=(12AB+12AC+12AA1)⋅[AA1+(λ-1)AB]=12(λ-1)AB2+12AA12+
12(λ-1)AC⋅AB=12(1-λ)+12×22+12(λ-1)×1×1×12=0，
解得λ=9，故B错误；
对于C，因为正三棱柱ABC-A1B1C1，
所以AB//A1B1，
所以VE-ABF=VB1-ABF=VF-ABB1=12VC-ABB1=12VB1-ABC=12×12×1×1× 32×2×13= 312，
所以VB-AEF=VE-ABF= 312，故C正确；
对于D，设BC中点为O，在正三角形△ABC中，AO⊥BC，又三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，BB1⊥面ABC，AO⊂面ABC，∴BB1⊥AO，BB1∩BC=B，BB1,BC⊂面BB1CC1所以AO⊥平面BB1C1C，
所以∠AFO即AF与平面BB1C1C所成的角，
cs∠AFO=OFAF=1 72=2 77，故D错误；
故选：AC．
13.【答案】12【解析】【分析】根据双曲线的性质即可求解．
解：由题意可得2m-1>05-m>0，解得12故答案为：1214.【答案】-3
【解析】【分析】利用平面法向量的定义以及面面平行的性质可知a//b，再由向量平行的坐标表示即可得mn=-3．
解：根据题意可知，若α//β则可知a//b，
又a=0,1,m,b=0,n,-3可得1n=m-3，即可得mn=-3．
故答案为：-3
15.【答案】(x-4)2+(y-2)2=9或(x-2)2+y2=9
【解析】【分析】设所求的圆的方程，根据弦心距和弦的中点，建立方程，即可求得圆C的方程．
解：由题意设所求的圆的方程为：(x-a)2+(y-b)2=9．
圆心到直线的距离为d= 9-7= 2=a+b-4 2，
∵圆C被直线l：x+y-4=0截得的弦AB的中点为P3,1，∴1-b3-a=1，
解得a=4,b=2或a=2,b=0，
即所求的圆的方程为：(x-4)2+(y-2)2=9或(x-2)2+y2=9．
故答案为：(x-4)2+(y-2)2=9或(x-2)2+y2=9．
16.【答案】24+12 2
【解析】【分析】根据两变量满足的方程，求解关于两变量解析式的范围或最值的题型，关键在于对方程的理解，如果满足熟知的点的轨迹，则可以利用定义得出轨迹方程，再通过参数方程求出x,y，将其转化为单变量问题求解．
先根据方程判断点(x,y)的轨迹方程，再将其转化为参数方程，代入所求式，利用正弦型函数的有界性求解即得．
解：因实数x，y满足 x+ 72+y2+ x- 72+y2=8，8>2 7，
故可知点(x,y)的轨迹是以(- 7,0),( 7,0)为两焦点的椭圆，轨迹方程为：x216+y29=1，
故可设该椭圆的参数方程为：x=4csθy=3sinθ,(θ为参数)
则3x-4y-24=|12csθ-12sinθ-24|=12| 2sin(θ-π4)+2|，
故当sin(θ-π4)=1时，3x-4y-24取得最大值为24+12 2.
故答案为：24+12 2
17.【答案】解：(1)
∵四边形ABCD为菱形，BD//x轴，∴AC⊥x轴，∴可设C(-1,t)，
∵|AD|=|CD|，∴ (-3+1)2+(1-0)2= (-3+1)2+(1-t)2，
解得：t=0(舍)或t=2，∴C(-1,2)．
∴A，C中点坐标为(-1,1)，
由于D-3,1，且(-1,1)是B,D中点，∴B点坐标为(1,1)，
(2)
A-1,0，B(1,1)，由中点坐标公式得E(0,12)，
又D-3,1，∴kDE=-16，
则过点A且与直线DE垂直的直线斜率为：6，
∴所求直线方程为：y=6x+6，即6x-y+6=0．

【解析】【分析】(1)根据题意可设C(-1,t)，利用|AD|=|CD|，求C的坐标，利用中点坐标公式求出B，
(2)先求得kDE=-16，再利用两直线垂直，斜率之积为-1求出直线DE斜率，进而可得到答案．
18.【答案】解：(1)
AB=2BC=2，所以得AD=BC=1，
又AD2+PA2=1+4=5= 52=PD2，所以PA⊥AD，
又PA⊥AB，AD∩AB=A，AD,AB⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，
(2)
知PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD
以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则B(2,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，E(0,12,1)，C(2,1,0)
则BP=(-2,0,2)，BC=(0,1,0)，EB=(2,-12,-1)，
设平面PBC的一个法向量n=(x,y,z)，
则有-2x+2z=0y=0，令x=1，则有y=0，z=1，
∴平面PBC的一个法向量n=(1,0,1)，
设直线EB与平面PBC所成角为θ，
所以sinθ=cs=1 2× 4+14+1= 4221，
所以直线EB与平面PBC所成角的正弦值为 4221．

【解析】【分析】(1)利用勾股定理得PA⊥AD，进而证PA⊥平面ABCD，
(2)以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，以及EB的方向向量，可求直线EB与平面PBC所成角的正弦值．
19.【答案】解：(1)
由题知，ab=122a2-12b2=1解得，a= 3b= 3
所以双曲线C的方程为：x23-y23=1
(2)
∵PF1⊥PF2∴PF12+PF22=F1F22=2c2=24
根据双曲线的定义得，PF1-PF2=2a=2 3
∴PF1-PF2=2 3PF12+PF22=24解方程得，PF1⋅PF2=6
S▵PF1F2=12PF1⋅PF2=12×6=3

【解析】【分析】考查双曲线方程求解及焦点三角形的面积求解，属基础题．
(1)根据双曲线渐近线方程得ab=1，根据点M2,1在双曲线上列方程22a2-12b2=1，最后解方程组得出双曲线的方程；
(2)根据双曲线定义和PF1⊥PF2列方程组求解PF1⋅PF2，再根据三角形面积公式计算面积可得出答案．
20.【答案】(1)
解：以点D为坐标原点，AB、DC所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点C0,4、B8,0，由圆的对称性可知，圆心在y轴上，
设圆心坐标为0,b，设圆的半径为r，则圆弧AB⌢所在圆的方程为x2+y-b2=r2，
因为点C、B在圆上，则0+4-b2=r282+0-b2=r2，解得b=-6，r=10。
所以，圆弧AB⌢所在圆的方程为x2+y+62=100，
因此，圆弧AB⌢的方程为x2+y+62=1000≤y≤4．
(2)
解：此火车不能通过该路口，
由题意可知，隔墙在y轴右侧1米，车宽2米，车高3.6米，
所以货车右侧的最高点的坐标为3,3.6，
因为32+3.6+62>100，因此，该货车不能通过该路口．

【解析】【分析】(1)以点D为坐标原点，AB、DC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在y轴上，设圆心坐标为0,b，设圆的半径为r，将点B、C的坐标代入圆的方程，求出b、r的值，结合图形可得出圆弧AB⌢的方程；
(2)求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧AB⌢的方程，可得出结论．
21.【答案】解：(1)证明：取PB中点M，连接AM，EM，
∵E为PC的中点，∴ME//BC,ME=12BC，
又∵AD//BC,AD=12BC，
∴ME//AD，ME=AD，
∴四边形ADEM为平行四边形，∴DE//AM，
∵DE⊄平面PAB，AM⊂平面PAB，
∴DE//平面PAB；
(2)∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
取AB中点G，连接FG，PG，则PG⊥AB，FG//BC,∴FG⊥平面PAB，
∴∠GPF=60 ∘，GF=12(AD+BC)=3，
∴tan60∘=3PG,∴PG= 3，
又PA=PB=2，PG⊥AB，
∴AG=GB= 4-3=1，AB=2，
如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，
∴P(0,0, 3)，C(1,4,0)，D(-1,2,0)，
∴PC=(1,4,- 3)，CD=(-2,-2,0)，
设平面PCD的一个法向量n1=(x,y,z)，
∴n1⋅PC=0n1⋅CD=0，∴x+4y- 3z=0-2x-2y=0，
取y=1，则n1=(-1,1, 3)，
平面PAB的一个法向量可取n2=(0,1,0)，
设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为θ，
∴csθ=n1⋅n2|n1||n2|=1 5= 55，
即平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 55．

【解析】本题主要考查平面与平面所成角的向量求法，以及线面平行判定，线面角的几何求法，利用向量法是解决本题的关键，是中档题．
(1)取PB中点M，证明DE/​/AM，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
(2)建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面PCD和平面PAB的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案．
22.【答案】解：(1)
由题意可得：c=1a2-b2=c23a2+34b2=1，解得a=2,b= 3c=1,
所以椭圆的方程为：x24+y23=1；
(2)
因为左焦点F1(-1,0)，
由题意可得直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为x=my-1(m为不等于0的实数)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x24+y23=1x=my-1，可得(3m2+4)y2-6my-9=0，
则Δ=(-6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0，y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，
所以x1+x2=m(y1+y2)-2=-83m2+4，
所以AB 的中点为(-43m2+4,3m3m2+4)，
所以线段AB的中垂线方程为：y-3m3m2+4=-m(x+43m2+4)，
令x=0，则y=-43m2+4，即Q点纵坐标为-m3m2+4，
又因为是与y轴交于负半轴，所以-43m2+4<0，m>0，
又因为点Q的纵坐标的最大值为-18，
所以-m3m2+4≤-18，解得23≤m≤2，
又因为|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= 1+m2⋅|y1-y2|= 1+m2⋅ (y1+y2)2-4y1y2
= 1+m2⋅ (6m3m2+4)2-4⋅(-93m2+4)= 1+m2⋅ 144(m2+1)3m2+4=12(m2+1)3m2+4=4(1-13m2+4)，
因为23≤m≤2，
令g(m)=4(1-13m2+4)，23≤m≤2，由于函数y=3m2+4在23≤m≤2单调递增，
所以g(m)在[23,2]上单调递增，
所以g(m)min=g(23)=134，g(m)max=g2=154，
所以g(m)∈[134,154]，
即|AB|的取值范围为：[134,154]．

【解析】【分析】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
(1)由题意列出方程组，求解即可；
(2)设直线l的方程为x=my-1(m为不等于0的实数)，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得AB中点坐标，进而得线段AB的中垂线方程，求出Q的纵坐标，结合题意求得23≤m≤2，由弦长公式可得|AB|=4(1-13m2+4)，令g(m)=4(1-13m2+4)，23≤m≤2，根据函数g(m)的单调性求出其值域即得答案．