湖南省张家界市2020-2021学年高二上学期期末考试 数学试题

这是一份湖南省张家界市2020-2021学年高二上学期期末考试 数学试题，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试内容为必修三与选修2-1，2-2全部内容，共4页。考试时量120分钟，满分150分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡相应的位置。
考生必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效。
第I卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．双曲线的焦距为
A． B．C． D．
2．已知复数，则
A． B． C． D．
3．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．张家界市为创建文明城市，试进行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，分别记为．设置了厨余垃圾箱、可回收垃圾箱和其他垃圾箱，分别为．为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500kg生活垃圾，数据统计如下表，则估计生活垃圾投放错误的概率为
A． B． C． D．
5．体积为的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为
A． B． C． D．
6．曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
7．已知椭圆：的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若为直角三角形，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
8．函数与的最小值分别为，则
A． B． C． D．的大小不能确定
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分．
9．下列命题中，为真命题的是
A． B． 使
C．有 D．使
10．某教师退休前后各类支出情况如下图，已知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面结论中正确的是
退休前各类支出占比 退休后各类支出占比
A．该教师退休前每月储蓄支出2400元
B．该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍
C．该教师退休工资收入为6000元/月
D．该教师退休后的其它支出比退休前的其它支出少
11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为的中点，则
A．以线段为直径的圆与轴相切 B．当时，
C．以线段为直径的圆与直线相离 D．的最小值为
12．已知函数，则下列结论正确的是
A．是奇函数 B．当时，函数恰有两个零点
C．若为增函数，则 D．当时，函数恰有两个极值点
第II卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上.
13．已知某产品的销售额（万元）与广告费用（万元）之间的关系如下表：
若销售额与广告费用之间的线性回归方程为，预计当广告费用为6万元时的销售额约为 （万元）.
14．若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则 .
15．在三棱锥中，是的重心．设，以为基向量表示，则 ．
16．函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在①；②；③ 在处的切线方程为， 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中求解．
已知函数 ，且 ．
（1）求的值；
（2）求函数的极小值．
18．（本小题满分12分）
某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元，其销售宗旨是当天进货当天销售，若当天未销售完，未售出的全部降价以每千克10元处理完．据以往销售情况，按进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图求该蔬果日需求量的平均数（同组数据用区间中点值代表）；
（2）该经销商某天购进了250千克蔬果，假设当天的日需求量为千克（），利润为元．
①求关于的函数表达式；
②根据频率分布直方图估计利润不小于1750元的概率．
19．（本小题满分12分）
命题：曲线 为双曲线，命题：，不等式恒成立.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若 为真，为假；求实数的取值范围．

20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧棱平面，且，为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2） 若直线：与椭圆交于两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标．
22．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个零点（）．
①求的取值范围；
②证明：．
张家界市2020年普通高中二年级第一学期期末联考
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.
二、多项选择题：本题共小题，每小题5分，共20分.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 48 14.8 15. 16.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．解：(1) 方案一：选择①
∵ …………………………………2分
由可得：
………………………………………3分
解之得： ……………………………………5分
方案二：选择② ，
∵ …………………………………2分
由，可得：
………………………………………3分
解之得： ……………………………………5分
方案二：选择③ 在处的切线方程为8+4
∵ …………………………………2分
由在处的切线方程为8+4得：
………………………………………3分
解之得： ……………………………………5分
(2)由(1)得: ……6分
由得：， ………………………………7分
时，； ………8分
所以， …………………………………………10分
18．解：(1) 50×0.001×100+150×0.002×100+250×0.003×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100=265
故该蔬果日需求量的平均数为265千克.………………………………4分
(2) ① 当日需求量低于250千克时，
利润=（元） ……5分
当日需求量不低于250千克时，
利润（元） ……………………6分
所以 ……………………………8分
② 由，解得 ……………………………9分
所以==++
=0.7 …………………………………………11分
故根据频率分布直方图估计利润不小于1750元的概率为0.7 …12分
19．解：（1）为真命题时，满足 ……………6分
（2），恒成立，即恒成立 …………………7分
，可得………8分
为真，为假，∴一真一假 ……………………………9分
当时，得 ……………………………………………10分
…………………………………………………… 11分
∴实数的取值范围为或 …………………………………12分
20．（1）证明：记的中点为，连，则且.…2分
又平面； ……………6分
以为原点，分别以AB，AD，AS所在直线为，建立空间直角坐标系. …………………………………………………………………7分
， …………………………………………9分
设面的法向量为
由 ………………………………10分
平面的法向量为 …………………………11分
记平面与平面所成锐二面角为
则 ……………………………12分
21．（1）由已知得 又
故所求椭圆的方程为 ……………………………………6分
（2） …………8分
设 ……………9分
由题意：
代入化简得 ……………………………………10分
……………………………………11分
故 …………………………12分
22．(1) 的定义域为， …………………………2分
（ⅰ）当时，在上单调递增； ………………3分
（ⅱ）当时，若 则，在上单调递增；
若 则，在区间上单调递减 ……5分
(2) ①由（1）知，时，单调递增，至多一个零点，不合题意
…………………………6分
当时，若函数有两个零点（），由于，
，所以 得
故所求的取值范围为 …………………………………………8分
②由题意： ……………………9分
要证，只要证
只要证 即证 ………10分
令，…11分
成立，故原不等式成立. …………………………………………………………………………12分

注：如有其它解法，请酌情给分.200kg
10kg
40kg
15kg
120kg
20kg
15kg
50kg
30kg
(单位：万元)
0
1
2
3
4
(单位：万元)
10
15
20
30
35
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
D
B
C
C
A
题号
9
10
11
12
答案
AD
ACD
BC
ACD