湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷及答案

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.用分层抽样的方法，从某中学人(其中高一年级人，高二年级人，高三年级人)中抽取若干人.已知从高一抽取了人，则从高二和高三年级共抽取的人数为( )
A.B.
C.D.
2.是虚数单位，复数满足：，则( )
A.B.
C.D.
3.曲线在点处的切线方程为( )
A.B.
C.D.
4.对一批产品的长度(单位：)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间上的为一等品，在区间和区间上的为二等品，在区间和上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )
A.B.
C.D.
5.中国的华为公司是全球领先的ICT(信息与通信)基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖店的销售状况，统计了年月到月甲、乙两店每月的营业额(单位：万元)，得到如下的折线图，则下列说法错误的是( )
A.根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在内
B.根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势
C.根据甲、乙两店的营业额折线图可知乙店的月营业额极差比甲店小
D.根据甲、乙两店的营业额折线图可知、、月份的总营业额甲店比乙店少
6.龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数中随机抽取个，则被抽到的个数的数字之和超过的概率为( )
A.B.C.D.
7.为驰援河北石家庄抗击新冠肺炎，决定从某医院5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A.种B.种C.种D.种
8.已知过双曲线的右焦点，且与双曲线的渐近线平行的直线交双曲线于点，交双曲线的另一条渐近线于点(，在同一象限内)，满足，则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分).
9.已知曲线，则下列结论正确的是( )
A.若，，则是两条直线
B若，则是圆，其半径为
C.若，则是椭圆，其焦点在轴上
D.若，则是双曲线，其渐近线方程为
10.已知复数在复平面上对应的点为，则( )
A.B.C.D.是纯虚数
11.如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，则下列说法中正确的是( )
A.异面直线与所成的角为
B.三棱锥的体积为定值
C.平面与平面所成的二面角大小为
D.直线与平面所成的角为
12.已知直线分别与函数和y=In(2x)的图象交于点，，则( )
A.B.
C.D.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.抛物线的准线方程为__________.
14.在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项是__________.
15.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现.如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为__________.
16.过点作圆的切线，己知，分别为切点，直线恰好经过椭圆(中心在坐标原点，焦点在轴上)的右焦点和下顶点，则椭圆的标准方程是__________.
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.
18.(12分)在中，，，________，求边上的高.
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.(12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对照数据.
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
(2)已知该厂技改前吨甲产品的生产能耗为吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值：)
(参考公式：，其中，)
20.(12分)如图，四边形是正方形，与均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.
(1)求证：；
(2)求二面角的平面角的正弦值.
21(12分)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过，分别作轴的垂线，，椭圆的一条切线与，分别交于，两点，求证：为定值.
22.(12分)已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若在上恒成立，求整数的最大值.
3
4
5
6
2.5
3
4
4.5