甘肃省顶级名校2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理）试题

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一．选择题(共12小题，每小题5分，共60分)
二．填空题(共4小题，每小题5分，共20分，)
13． [4，+∞)； 14．(1) y＝±x 、(2) ；15．4 、 ；16． 2 ．
三．解答题(共6小题，共70分)
17．(10分)【解答】解：（Ⅰ）因为时，所以．
且向量，，．
因为向量与垂直，
所以．
即．
所以实数和的值分别为0和．分
（Ⅱ）因为向量与向量，共面，所以设．
因为，2，，，，1，，
则：解得
所以实数的值为．分
18．(10分)已知命题p：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a+7≥m+2恒成立；命题q：方程tx2+ay2＝1表示焦点在x轴上的椭圆．
(Ⅰ)若t＝1，(￢p)∨q为假命题，求a的取值范围；
(Ⅱ)若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．
解：∵命题p：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a+7≥m+2恒成立，
即a2﹣5a+7≥3，解得：a≥4或a≤1，故p为真时，a∈(﹣∞，1]∪[4，+∞)；
方程tx2+ay2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，故q为真时，0＜t＜a； ………… 4分
(Ⅰ)t＝1时，q为真时：a＞1，
∵(￢p)∨q为假命题，∴￢p假且q假，即p真且q假，
则，即a∈(﹣∞，1]． ……………………………… 8分
(Ⅱ)若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，
(t，+∞)⫋(﹣∞，1]∪[4，+∞)，∴t≥4；
故实数t的取值范围是：[4，+∞)． ……………………………… 12分
19．(12分)求下列曲线的标准方程．
(1)求焦点在x轴上，焦距为2，过点的椭圆的标准方程；
(2)求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．
解：(1)由题意焦点在x轴上，焦距为2，过点的椭圆，
知c＝1，2a＝，解得a＝2，
所以b＝．故椭圆C的方程为+＝1． ……………………………… 6分
(2)双曲线双曲线的焦点为，
设双曲线的方程为，可得a2+b2＝3，
将点代入双曲线方程可得，，解得，
所求双曲线的方程为：． ……………………………… 12分
20．(12分)在平面直角坐标系xOy中有曲线Γ：x2+y2＝1(y＞0)．
(1)如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A(2，0)，求线段AB的中点的轨迹方程；
(2)如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A(2，0)，求三角形OAB的面积最大值，并求出对应B点的坐标；
(3)如图2，点B为曲线Γ上的动点，点A(2，0)，将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC，求线段OC长度的最大值．
18题图2
18题图1
解：(1)设点B的坐标为(x0，y0)，则y0＞0，设线段AB的中点为点M(x，y)，
由于点B在曲线Γ上，则 x02+y02＝1，①
因为点M为线段AB的中点，则2x＝x0+2，2y＝y0，得 x0＝2x﹣2，y0＝2y，
代入①式得(2x﹣2)2+y2＝1，化简得(x﹣1)2+y2＝，其中y＞0； …………… 4分
(2)设B(x0，y0)，0＜y0≤1，三角形OAB的面积为•2y0＝y0，可得面积的最大值为1，且B(0，1)； ……………………………… 8分
(3)如下图所示，易知点D(2，2)，
结合图形可知，点C在右半圆D：(x﹣2)2+(y﹣2)2＝1上运动，问题转化为，原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值，
连接OD并延长交右半圆D于点C'，当点C与点C'重合时，|OC|取最大值，
且|OC|max＝|OD|+1＝2+1． ……………………………… 12分
21．(12分)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
图2
图1
(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．
(1)证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D＝D，
∴DE⊥平面A1CD，
又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE
又A1C⊥CD，CD∩DE＝D，∴A1C⊥平面BCDE．……………………………… 4分
(2)解：如图建系，则C(0，0，0)，D(﹣2，0，0)，A1(0，0，2)，B(0，3，0)，E(﹣2，2，0)，∴，
设平面A1BE法向量为
则∴∴
∴
又∵M(﹣1，0，)，∴＝(﹣1，0，)
∴
∴CM与平面A1BE所成角的大小45°． ……………………………… 8分
(3)解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为(0，a，0)，则a∈[0，3]
∴，
设平面A1DP法向量为
则∴
∴
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，
∴3a+12+3a＝0，6a＝﹣12，a＝﹣2
∵0≤a≤3
∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直． …………… 12分
22．(12分)已知圆，动圆M与圆F外切，且与直线相切，该动圆圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，抛物线在点A的切线与y＝﹣1交于点N，求△ABN面积的最小值．
解：(1)由已知可得圆F的圆心为F(0，1)，半径为，设M(x，y)，动圆M半径r，因为动M与圆F外切，所以|MF|＝r+，
又动M与直线y＝﹣相切，所以由题意可得y+＝r，
所以|MF|＝y+1，即x2+(y﹣1)2＝(y+1)2，整理得x2＝4y，
所以曲线C的方程为x2＝4y； ……………………………… 6分
(2)设A(x1，y1)B(x2，y2)，依题意可知，直l的斜率存在，故设直l的方程为y＝kx+1，
联立消y可得x2﹣4kx﹣4＝0．则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
所以|AB|＝＝
＝＝4(1+k2)，由y＝，得y′＝，
所以过A点的切线方程为y﹣y1＝(x﹣x1)，又y，
所以切线方程可化为y＝，令y＝﹣1，可得x＝＝2k，
所以点N(2k，﹣1)，所以N到直l的距离为d＝＝2，
所以S△ABN＝|AB|•d＝4≥4，当k＝0时，等号成立，
所以三角形ABN面积的最小值为4． ……………………………… 12分
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