专题1.29 通过作辅助线证明三角形全等方法与技巧（分层练习）（综合练）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

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1．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
2．（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）
（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若，求证：AD平分.
【方法二】作平行线法
3．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
4．已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：
(1) 如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
(2) 如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3) 如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．
【方法三】作垂线法
5．如图，在中，，，，，延长交于.求证：.
6．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．
【方法四】倍长中线法
7．如图，为的中线，在上，交于，且．求证：．
8．如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接）
【方法五】截长补短法
9．如图，在中，平分交于点D，若，求的度数．
10．已知：如图所示，四边形中，是上一点，且平分平分，若 ，求四边形的面积．
【方法六】补全图形法
11．在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________；
（2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．
12．求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【方法七】旋转法
13．已知，如图1，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)在图1中，连接，为了证明结论“ ”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
(2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？
14．已知：，，．
(1)如图1当点在上，______．
(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）
参考答案
1．（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．
【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交AN于点C，得出,因此有BM⊥AN；
(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；
(3) 取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.
解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN
∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，
∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，
∵∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，
又∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．
【点拨】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.
2．（1）详见分析；（2）详见分析.
【分析】（1）已知点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P分别作三边的垂线，分别交三边于点D、点E、点F.求证为定长,即可完成证明；
（2）（面积法）过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F.因为，所以，因此，得到.进而，得到，因此，即AD平分.
解：（1） 已知：等边如图三角形ABC，P为三角形ABC内任意一点，PD⊥AB, PF⊥AC, PE⊥BC,
求证：PD+PE+PF为定值.
证明：如图：过点A作，垂足为点G，分别连接AP、BP、CP.
∵，
∴
又∵BC=AB=AC
∴AG=PE+PF+PD,即定长.
∴等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.
（2）
过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F.
∵，
∴，
又∵AD=AD
∴，
∴
∴，
∴，
∴，即AD平分.
【点拨】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，其中做出辅助线是解答本题的关键．
3．见详解
【分析】过点D作DE∥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDE=∠MEC，DE=CE，从而证明∆EMD≅∆CME，进而即可得到结论．
解：过点D作DE∥AC，交BC于点E，
∵是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，
∴是等边三角形，
∴BD=DE，
∵，
∴DE=CE，
又∵∠EMD=∠CME，
∴∆EMD≅∆CME，
∴．
【点拨】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．
4．(1)DM=EM．理由见详解；(2)成立，理由见详解；(3)MD=ME．
【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（3）MD=ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论；
解：DM=EM；
证明：过点E作EF//AB交BC于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF//AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中
，
∴△DBM≌△EFM，
∴DM=EM．
（2）解：成立；
证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF//AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中
∴△DBM≌△EFM；
∴DM=EM；
（3）解：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，
∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF
∴△DBM∽△EFM，
∴BD：EF=DM：ME，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠F=∠ABC，
∴∠F=∠C，
∴EF=EC，
∴BD：EC=DM：ME=1：2，
∴MD=ME．
【点拨】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键．
5．详见分析
【分析】如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案.
解：如图，过点D作的延长线于点G，
，
，
，
又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，
∴，
，
又∵BC=BE，
，
又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，
∴，
∴EF=DF.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
6．见分析
【分析】方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G，先证明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再证明△ABF≌△DCG即可；
方法二：如图2中，作CF∥AB交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明△ABE≌△FCE即可．
解：证明：方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G．
∴∠F=∠CGE=90°，
在△BFE和△CGE中，，
∴△BFE≌△CGE（AAS），
∴BF=CG，
在△ABF和△DCG中，，
∴△ABF≌△DCG（AAS），
∴AB=CD；
方法二：如图2，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
∴∠F=∠BAE．
又∵∠BAE=∠D，
∴∠F=∠D，
∴CF=CD，
在△ABE和△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB=CF，
∴AB=CD．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
7．见分析
【分析】延长至P，使，连接，利用全等三角形的判定和性质证明即可．
解：证明：延长至P，使，连接，
在与中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．
8．见分析
【分析】延长至，使，连接．先证明．得到，，再利用外角性质及等式的性质得到，进而得到，最后即可得到．
解：证明：如图，延长至，使，连接．
∵是的中线，
∴．
在与中，
，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵，，
，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
9．
【分析】在上截取，连接，证明，再证明，设，再得到，证明 然后利用内角和定理求解即可．
解：如图，在上截取，连接．
∵平分，
．
∵，
，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，
则．
∵在中，，
解得，
∴．
【点拨】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
10．12.
【分析】在AB上截，根据SAS易证，∠AOD=∠AOE，根据平行线和角平分线的性质可得出∠AOB=90°，则 ，可得 ，继而证明△BOE≌△BOC，可得S四ABCD =2S△AOB，即可得出答案．
解：在AB上截，
∵AO平分∠BAD，
∴∠DAO=∠EAO，
在△AOD和△AOE中,
∴，
，
，平分，平分，
∴∠AOB=90°，
，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
在△BOC和△BOE中,
∴，
四边形ABCD的面积的面积= =12.
故答案为12.
【点拨】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，由全等三角形的性质得出S四ABCD =2S△AOB是解题的关键．
11．（1）30°；（2）30°；（3）为或或．
【分析】（1）由，，可以确定，旋转角为，时是等边三角形，且，知道的度数，进而求得的大小；
（2）由，，可以确定，连接、．，，，由案．依次证明，．利用角度相等可以得到答案．
（3）结合（1）（2）的解题过程可以发现规律，是等边三角形时，在内部时，在外部时，求得答案．
解：（1）解（1）∵，，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴．
又∵，
∴为等腰三角形，
∴，
∴．
（2）方法1：如图作等边，连接、．
，．
，，
．
，
．
．①
，，
．②
，③
由①②③，得，
，．
，，
．
，，
．
．
．④
，，
．⑤
，⑥
由④⑤⑥，得．
．
．
．
．
方法2 如下图所示，构造等边三角形ADE，连接CE．
∵在等腰三角形ACD中，，
∴，
∵，
∴．
可证．
结合角度，可得，．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
方法3 如下图所示，平移CD至AE，连接ED，EB，则四边形ACDE是平行四边形．
∵，
∴四边形ACDE是菱形，
∴，．
∴，
∴，
∴是等边三角形，是等腰三角形，
∴，，
∴．
∴．
（3）由（1）知道，若，时，则；
①由（1）可知，设时可得，，
，
．
②由（2）可知，翻折到△，则此时，
，
，
③以为圆心为半径画圆弧交的延长线于点，连接，
，
．
综上所述，为或或时，．
【点拨】本题是一道几何结论探究题，解答这类题目的关键是要善于从探究特殊结论中归纳出一般性解题方法，并灵活运用这种方法解答一般性的问题，真正达到举一反三的目的．
12．(1)见分析；(2)见分析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可．
解：如图所示，线段为所求作的线段；
（2）已知：如图，是直角三角形，，．
求证：．
解法一：如图，在上截取一点，使得，连接．
∵，，∴．
∵，∴是等边三角形．
∴，．
∵，∴．
∴．∴．
∵，∴．
解法二：如图，延长至点，使，连接．
∵，，
∴，，
∵，，，
∴．∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，∴．
【点拨】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题的关键．
13．(1)见分析；(2)．
【分析】（1）利用旋转的性质，证明即可．
（2）把绕点逆时针旋转，使 与 重合，点 与点 对应到 ，证明 即可求得 ．
解：（1）证明：如图1，
由旋转可得 , ,
四边形 为正方形


、 、 三点在一条直线上



在 和 中





（2）结论： ．
理由：如图2，把 绕点 逆时针旋转 ，使 与 重合，点 与点 对应，同（1）可证得
,且

【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形．
14．(1)；(2)，理由见分析
【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可．
（2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可．
解：，
，
又，，
，
在中，，
故答案为：．
（2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知：
，，，
（同角的余角相等），
在与中有：
（），
，
，，
，，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等．