专题2.5 对数与对数函数-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练

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知识点总结
知识点一 对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)lga(M·N)＝ ；
(2)lgaeq \f(M,N)＝ ；
(3)lgaMn＝ (n∈R)．
知识点二 换底公式
1．lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论：
(1)lgaN＝eq \f(1,lgNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)＝eq \f(m,n)lgab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)lgab·lgbc·lgcd＝lgad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
知识点三 对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ．
知识点 对数函数的图象和性质
对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
典型例题分析
考向一 对数运算性质的应用
例1 计算下列各式：
(1)lg5eq \r(3,625)；(2)lg2(32×42)；
(3)lg535－2lg5eq \f(7,3)＋lg57－lg5eq \f(9,5).
反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则
对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
考向二 对数换底公式的应用
例2 (1)计算：(lg43＋lg83)lg32＝________.
(2)已知lg189＝a,18b＝5，求lg3645.(用a，b表示)
反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路
考向三 对数函数的概念及应用
例3(1)下列给出的函数：
①y＝lg5x＋1；
②y＝lgax2(a>0，且a≠1)；③
④y＝lg3eq \f(x,2)；⑤y＝lgxeq \r(3)(x>0，且x≠1)；
⑥其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)已知对数函数的图象过点M(8,3)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝________.
反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法
对数函数必须是形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)对数式系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
考向四 对数函数的图象问题
例4 (1)函数y＝x＋a与y＝lgax的图象可能是下图中的( )
反思感悟 现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
考向五 反函数
例5 函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝(x<0)．求函数g(x)的解析式，定义域、值域．
反思感悟 互为反函数的常用结论
(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数．
(2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域．
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
考向六 解对数不等式
例6 解下列关于x的不等式：
(1)
(2)lga(2x－5)>lga(x－1)．
反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如lgax>lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如lgax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝lgaab)，再借助y＝lgax的单调性求解．
(3)形如lgf(x)a>lgg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
基础题型训练
一、单选题
1．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，则和的关系为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，函数与的图像只可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，则的大小关系为( )
A．B．C．D．
4．设，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．函数的最小值为0
三、填空题
9．若，则a=__________.
10．函数的定义域为________.
11．已知函数（且），若对，，都有．则实数a的取值范围是___________．
12．已知，设，则的大小关系为（用“<”号连接）______．
四、解答题
13．已知函数.
(1)若函数的最小值为，求实数的值；
(2)若函数，用定义证明函数在上单调递减.
14．已知，用对数的定义证明公式：．
15．已知，a=，，求的值．
16．设为奇函数，a为常数．
（1）求a的值．
（2）若，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
提升题型训练
一、单选题
1．已知函数且，则函数恒过定点（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．9
3．已知满足则（ ）
A．B．C．D．
4．已知 <1，那么a的取值范围是( )
A．0
C．1
5．已知，，，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．，
C．，
D．命题“，”的否定是“，”
8．下列函数中，值域是的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
9．已知三个式子，，同时成立，则的取值范围为________．
10．______．
11．方程的解为___________.
12．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________
四、解答题
13．求下列各式的值：
（1）；
（2）．
14．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并进行证明；
(2)若实数满足，求实数的取值范围.
15．（1）将根式化为分式指数幂的形式；
（2）若求的值.
16．对于在区间上有意义的函数f(x)，若满足对任意的，有恒成立，则称f(x)在上是“友好”的，否则就称f（x）在上是“不友好”的.现有函数
(1)当a=1时，判断函数f(x)在上是否“友好”；
(2)若函数f(x)在区间(1≤m≤2)上是“友好”的，求实数a的取值范围
(3)若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围.
y＝lgax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点 ，即x＝1时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈ ；
x∈[1，＋∞)时，y∈
x∈(0,1)时，y∈ ；
x∈[1，＋∞)时，y∈
对称性
函数y＝lgax与y＝的图象关于x轴对称