2022年湖南长沙中考数学试题及答案

这是一份2022年湖南长沙中考数学试题及答案，共17页。试卷主要包含了 如图，，则的度数为， 如图，在中，按以下步骤作图等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（）
A. B. C. D. 6
【参考答案】D
2. 如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【参考答案】B
3. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查
B. “太阳东升西落”是不可能事件
C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次
【参考答案】A
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【参考答案】A
5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【参考答案】D
6. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 3，4B. 4，3C. 3，3D. 4，4
【参考答案】A
7. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【参考答案】C
8. 如图，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【参考答案】C
9. 如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【参考答案】B
10. 如图，在中，按以下步骤作图：
①分别过点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；
②作直线PQ交AB于点D；
③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M、连接AM、BM．
若，则AM的长为（ ）
A. 4B. 2C. D.
【参考答案】B
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________．
【参考答案】
【详解】式子在实数范围内有意义，
，
解得，
故答案为：．
12. 分式方程的解是_____________ .
【参考答案】x=2
【详解】解：两边同乘x（x+3），得2（x+3）=5x，
解得x=2，
经检验x=2是原方程的根；
故答案为：x=2．
13. 如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．
【参考答案】7
【详解】解：如图，连接，
A、B、C是上的点，，
，
D为OC的中点，
，
四边形是菱形，，
．
故答案为：7．
14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为___________．
【参考答案】
【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
故答案为：．
15. 为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查．结果显示有95名学生知晓．由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有___________名．
【参考答案】
【详解】解：估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有（名）
故答案为：
16. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
【参考答案】DDDD
【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，
2的乘方的个位数字4个一循环，
，
的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
，，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【参考答案】6
【详解】解：
=
=6
18. 解不等式组：
【参考答案】
【详解】解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以，不等式组的解集为．
19. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
【参考答案】（1）10m（2）20m
【小问1详解】
，
【小问2详解】
C，A，D三点共线，
20. 2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
（1）表中___________，___________，___________；
（2）请补全频数分布直方图：
（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
【参考答案】（1）30，0.3，0.4
（2）见解析（3）选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为
【小问1详解】
，
，
，
故答案为：30，0.3，0.4；
小问2详解】
频数分布直方图如图所示：
【小问3详解】
用分别表示3名女生，用d表示1名男生，列表如下：
共有12种等可能结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
（选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生），
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
21. 如图，AC平分，垂足分别为B，D．
（1）求证：；
（2）若，求四边形ABCD的面积．
【参考答案】（1）见解析（2）12
【小问1详解】
AC平分，
，
，
；
【小问2详解】
，，
，
，
，
四边形ABCD的面积．
22. 电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（ ）
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（ ）
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（ ）
（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．
【参考答案】（1）√，×，×
（2）数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只
【小问1详解】
根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，
刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案，
∵这里的每群狗的数量还需要是正整数，
∴答案不是无数种，
∴①√，②×，③×，
故答案为：√，×，×；
【小问2详解】
设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，由题意得：
，
解得，
（只），
所以，数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只．
23. 如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，．
（1）求证：；
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，，求BD的长及四边形ABCD的周长．
【参考答案】（1）见解析（2），四边形ABCD的周长为
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边，，
四边形是菱形，
；
【小问2详解】
解：点E，F分别为AD，AO的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在中，，，
，
菱形形的周长为．
24. 如图，四边形ABCD内接于，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．
（1）求证：；
（2）当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
（3）①记四边形ABCD，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由．
②当，时，试用含m，n，p的式子表示．
【参考答案】（1）见解析（2）0，1，0
（3）①等腰三角形，理由见解析，②
【小问1详解】
证明：，
，
即，
又，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：0，1，0
【小问3详解】
①记的面积为，
则，
，
①
，
即，
②
由①②可得，
即，
，
，
即，
，
，
，
，
都为等腰三角形；
②，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
则，
，
．
25. 若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数，当时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数（，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数，求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【参考答案】（1）①；②时，，时，
（2）
（3）时，存在
【小问1详解】
解：①当时，则，即，
，，随的增大而增大，
，
②若函数，当时，，
，
，
当时，则，
，
综上所述，时，，时，，
【小问2详解】
解：对于函数，
，，函数在第一象限内，随的增大而减小，
，
解得，
当时，
，
，
∵当时，随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时取得最大值，
最大值为；
【小问3详解】
对于函数，
，抛物线开口向下，
时，随的增大而增大，
时，随的增大而减小，
当时，函数y的最大值等于，
在时，
①当时，即时，，，
，
的最小值为（当时），
若，
解得，
但，故不合题意，故舍去；
②当时，即时，，，
，
的最小值为（当时），
若，
解得，
但，故不合题意，故舍去
③当时，即时，，
i)当时，即时
对称轴为，，抛物线开口向上，在上，
当2时，有最小值，
解得
i i)当 时，即时，，
，
，
对称轴为，，抛物线开口向上，在上，
当2时，有最小值，
解得
综上所述，时，存在．
成绩x/分
频数
频率
15
0.1
a
0.2
45
b
60
c
A
B
C
d
A
BA
CA
dA
B
AB
CB
dB
C
AC
BC
dC
d
Ad
Bd
Cd