八年级上学期期末数学试题 (110)

这是一份八年级上学期期末数学试题 (110)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共16个小题，1~10小题，每小题3分；11~16小题，每小题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的英文字母代码，按题号顺序填在下面的表格里．）
1. 下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的特点即可求解．
【详解】A是轴对称图形，B,C,D均不是轴对称图形
故选A．
【点睛】此题主要考查轴对称图形的识别，解题的关键是熟知轴对称图形的特点．
2. 石墨烯是已知强度最高的材料之一，同时还具有很好的韧性，石墨烯的理论厚度为米，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法表示数的方法，当时，表示形式为，的值为所有整数位减；当时，表示形式为，的值为小数点向右移动的位数的相反数．由此即可求解．
【详解】解：米米，
故选：．
【点睛】本题主要考查用科学记数法表示绝对值大于（或小于）的数，掌握科学记数法表示形式，的取值方法是解题的关键．
3. 若点A（a，3）与B（2，b）关于x轴对称，则点M（a，b）的坐标为（ ）
A. （﹣2，3）B. （2，3）C. （2，﹣3）D. （﹣2，﹣3）
【答案】C
【解析】
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b的值，从而得到点M的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：∵点A（a，3）与B（2，b）关于x轴对称，
∴a=2，b=﹣3，
∴点M坐标为（2，﹣3）．
故选：C．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
4. 若分式的值为零，则x的值为（ ）
A. ±2B. ﹣2C. 2D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件是分子等于零，分母不等于零，即可求得的值．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴
解得：
故选B
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，掌握“分式的值为零的条件是分子等于零，分母不等于零”是解题的关键．
5. 已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为（ ）
A. 70°B. 55°C. 40°D. 40°或70°
【答案】D
【解析】
【分析】题中没有指明该角是顶角还是底角，故应该分两种情况进行分析．
【详解】解：当这个角底角时，其顶角＝180°－70°－70°＝40°；
当这个角是顶角时，顶角＝70°；
故选：D．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的运用．若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6. 下列计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的运算法则判断选项的正确性．
【详解】解：A选项错误，；
B选项正确；
C选项错误，；
D选项错误，．
故选：B．
【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则．
7. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【详解】解：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），
可得方程180（n﹣2）=1080，
解得：n=8．
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据题意列出一元一次方程．
8. 如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2=240°，则∠A等于（ ）
A. 45°B. 60°C. 75°D. 80°
【答案】B
【解析】
【分析】根据四边形内角和为360°，得∠B+∠C的度数，由三角形内角和为180°，得∠A度数.
【详解】∠B+∠C=360－（∠1+∠2）=120°，∠A=180°－（∠B+∠C）=60°.
【点睛】本题考查解三角形，解题的关键是利用多边形内角和的度数求几个角的和，不必单独求角.
9. 如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A. 3cm2B. 4cm2C. 4.5cm2D. 5cm2
【答案】C
【解析】
【分析】证△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出，代入求出即可．
【详解】延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
∠ABP＝∠EBP
BP＝BP
∠APB＝∠EPB，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴，
故答案选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
10. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂的乘方的逆运算可直接进行排除选项．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键．
11. 嘉淇在折幸运星时将一张长方形的纸条折成了如图所示的样子（内部有一个正五边形），则∠1的度数为（ ）
A. 36°B. 54°C. 60°D. 72°
【答案】D
【解析】
【分析】根据正五边形每个内角为108°，根据长方形纸片对边平行，再根据两直线平行，同旁内角互补可求解．
【详解】∵折的图形为正五边形，
∴∠2= =108°，
又∵长方形纸片对边平行，
∴∠1+∠2=180°，
∠1=180°-∠2=180°-108°=72°
故选D．
【点睛】本题考查折纸中角的度数，熟练掌握正五边形每个内角的度数，平行线的性质是解决本题的关键．
12. 如图，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边三角形各内角为60°的性质，可以求得∠ADF=∠CFE=30°，即可求得AD=2AF、CF=2CE，根据BE=BC-CE即可求的BE的长．
【详解】∵D是AB的中点，
∴，
∵等边三角形ABC中∠A=∠C=60°，
且DF⊥AC，
∴∠ADF=180°-90°-60°=30°，
在Rt△ADF中，，
∴，
同理，在Rt△FEC中，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，30°角在直角三角形中运用，本题中根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”求解是解题的关键．
13. 下列命题，正确的是（ ）
A. 三角形三条中线的交点到三角形三个顶点的距离相等
B. 三角形三条高线的交点到三角形三个顶点的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
D. 三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等
【答案】D
【解析】
【分析】据线段的垂直平分线的性质解答．
【详解】解：三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故A、B、C选项错误，D选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14. 如图，，且．、是上两点，，．若，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】如图，
∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3，
即∠A=∠C．
∵BF⊥AD，
∴∠CED=∠BFD=90°，
∵AB=CD，
∴△ABF≌△CDE，
∴AF=CE=a，ED=BF=b，
又∵EF=c，
∴AD=a+b-c．
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键．
15. 如图，将大小相同的四个小正方形按照图①和图②所示的两种方式放置于两个正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的公式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形阴影部分的面积的不同求法可得等式．
【详解】解：阴影部分的面积是四个阴影小正方形的面积和，由拼图可得四个阴影小正方形可以拼成边长为（a-b）的正方形，因此面积为（a-b）2，
由图2可知，阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去之间十字架的面积，即：a2-2ab+b2，
因此有（a-b）2=a2-2ab+b2，
故选：A．
【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同方法表示阴影部分的面积是得出答案的关键．
16. 如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）

A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据可得出 , 利用判定,从而得出.则,即； 再利用判定 , 得出又因为所以 连接.因为等腰直角三角形, 即.又因为,那么垂直平分.即.在中, 是斜边, 是直角边, 所以.即.
【详解】解：∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，故①正确；
在和中，
∵,, 且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
在和中
∵平分，
∴，
又∵,，
∴，
，
又由,知，
∴，故③正确；
连接，

∵是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴垂直平分，
∴，
在中，
∵是斜边，是直角边，
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③．
故选：．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有:.在复杂的图形中有的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点.
二、填空题（本大题有3个小题，每小题3分，共9分．把答案写在题中横线上）
17. 分解因式：a2b﹣9b=_____．
【答案】b（a+3）（a﹣3）
【解析】
【详解】【分析】先提取公因式b，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】a2b﹣9b
=b（a2﹣9）
=b（a+3）（a﹣3），
故答案为b（a+3）（a﹣3）．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
18. 若，则代数式的值为__________.
【答案】0
【解析】
【分析】先计算得到x2+5x=1,原式后两项变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
x2+3x+2x+6=x2+5x+6=7,
x2+5x=1,
∴==2-2=0.
【点睛】此题考查代数式求值，解题关键在于掌握运算法则.
19. 如图所示，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是________．

【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出和，即可求得答案．
【详解】解：如下图，

①当点在上时，
∵和全等，
∴，
由题意可得，
所以（秒）；
②当点在上时，
∵和全等，
∴，
由题意得：，解得（秒）．
所以，当的值为3.5秒或6.5秒时．和全等．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
三、解答题（本大题有7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. （1）计算；
（2）解方程；
（3）先化简再求值：，然后从0，1，2中选择一个合适的数代入求值．
【答案】（1）；（2）；（3），当时，原式=
【解析】
【分析】（1）根据负指数幂、零指数幂以及乘方计算即可；
（2）去分母，化为整式方程，解出整式方程，再检验可得分式方程的解；
（3）先化简，再将有意义的a的值代入计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原方程变形得，
去分母得：，
去括号得：，
，
经检验是分式方程的解；
（3）原式
要使原分式有意义，则，，，，
当时，
原式，．
【点睛】本题考查解实数的混合运算、分式方程和分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质和等式基本性质以及零指数幂及负指数幂的运算法则．
21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．

（1）在图中画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
（2）求的面积；
（3）在轴上有一点，使得的值最小，作出点并写出点的坐标．
【答案】（1），图见解析
（2）
（3），图见解析
【解析】
【分析】（1）先根据轴对称的性质画出点，，，再顺次连接即可得，然后根据点的位置即可得点的坐标；
（2）依据割补法即可求得△ABC的面积；
（3）先作点A关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点P，然后利用待定系数法求出所在直线的函数解析式，最后根据函数解析式即可得点P的坐标．
【小问1详解】
解：即为所求，如图：

点坐标为；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：作点关于x轴对称的点，

则，
由两点之间线段最短得：当点、、共线时，取得最小值，
设所在直线的函数解析式为，
将点和B的坐标代入得：，解得，
则所在直线的函数解析式为，
当时，，解得，
故点P的坐标为．
【点睛】本题考查了画轴对称图形、坐标与轴对称变换、待定系数法求一次函数的解析式、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握轴对称变换是解题关键．
22. 人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值．老师讲解了这道题的两种方法：
请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题．
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】（1）把两边平方，利用完全平方公式化简后将代入计算即可求出值；
（2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值；
【小问1详解】
把两边平方，得，
化简，得
将代入得，解得
【小问2详解】
把两边平方，得
化简，得，即，
则
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．
23. 如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证：

（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）)先根据垂直的定义可得和都是直角三角形，再利用定理证明三角形全等即可；
（2）根据证明，得到再利用直角三角形的两锐角互余得出．
【小问1详解】
，
．
又，，
；
【小问2详解】
为中点，
．
，，
，
．
由（1）得，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
24. 某市教育部门为了落实中共中央《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，确定初中生的体育考试成绩计入毕业升学成绩，考试项目可由学生自行选择．据统计：市内某校九年级选考篮球的学生有350人，选考足球的学生有480人．学校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划选购一批篮球与足球，保证每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格高20元，用480元单独购进篮球的件数与320元单独购进足球的件数相同．
（1）足球与篮球的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这种足球与篮球共40个，且投入的经费不超过2100元，则共有几种购买方案？
【答案】（1）足球单价为40元，篮球的单价为60元
（2）共有1种购买方案，足球购买16个，则篮球购买24个
【解析】
【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，利用数量=总价÷单价，结合用480元单独购进篮球的个数与320元单独购进足球的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出足球的单价，再将其代入（x+20）中即可求出篮球的单价；
（2）设购买足球y个，则购买篮球（40-y）个，根据“每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球，且投入的经费不超过2100元”，即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出购买方案．
【小问1详解】
设足球单价为元，则篮球的单价为（）元．
依题意得： ，
解得： ，
经检验符合题意．
∴足球单价为40元，篮球的单价为60元．
【小问2详解】
设足球购买个，则篮球购买（）个．
依题意得：
解得：
只有一种购买方案为：足球购买16个，篮球购买24个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25. △ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．
（1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BF∥OD；
②若∠F＝35°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）∠AOC＝∠ODC，理由见解析；（2）①见解析；②70°
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠OAC＋∠OCA＝（180°−∠ABC），∠OBC＝∠ABC，由三角形的内角和得到∠AOC＝90°＋∠OBC，∠ODC＝90°＋∠OBD，于是得到结论；
（2）①由角平分线的性质得到∠EBF＝90°−∠DBO，由三角形的内角和得到∠ODB＝90°−∠OBD，于是得到结论；②由角平分线的性质得到∠FBE＝（∠BAC＋∠ACB），∠FCB＝ACB，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】（1）∠AOC＝∠ODC，
理由：∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣∠ABC），
∵∠OBC＝∠ABC，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+∠ABC＝90°+∠OBC，
∵OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠ODC＝90°+∠OBD，
∴∠AOC＝∠ODC；
（2）①∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF＝∠ABE＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO，
∵∠ODB＝90°﹣∠OBD，
∴∠FBE＝∠ODB，
∴BF∥OD；
②∵BF平分∠ABE，
∴∠FBE＝∠ABE＝（∠BAC+∠ACB），
∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠FCB＝∠ACB，
∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF＝（∠BAC+∠ACB）﹣∠ACB＝∠BAC，
∵∠F＝35°，
∴∠BAC＝2∠F＝70°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
26. 在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF＋CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．

【答案】（1）①AE＝BF；②见解析；（2）AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF
【解析】
【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG＝CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论；
（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
【详解】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF＋CD；
（2）如图3，在BE上截取BG＝BD，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，在BE上截取BG＝BD，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF，
故AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF．
方法一
方法二
，，
．
，
．
，
．
，，
．