人教版九年级下册27.1 图形的相似巩固练习

这是一份人教版九年级下册27.1 图形的相似巩固练习，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）已知，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·河南郑州·九年级期末）已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）下列各组线段中，成比例的一组是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）下图中是相似图形的一组是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，四边形四边形，，，，则边的长是（ ）
A．10B．12C．D．
7．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（ ）
A．相似
B．平移
C．轴对称
D．旋转
8．（2022秋·河南南阳·九年级期末）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（ ）
A．各边的长度B．各内角的度数C．五边形的周长D．五边形的面积
9．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如图，中，，，，，则的长为（ ）
A．12B．10C．8D．6
11．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，，，，则长为（ ）
A．B．C．2D．
12．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，已知，，，那么的长等于（ ）
A．B．C．D．
13．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，且，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
14．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
15．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（ ）
A．B．C．D．
16．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，AE＝1，则EC等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
17．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在△ABC中， AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN，分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（ ）
A．2B．4C．6D．8
18．（2022秋·河南焦作·九年级统考期末）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割
二、填空题
19．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）已知，则 ．
20．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）若2a＝3b，且ab≠0，则 ．
21．（2022秋·河南洛阳·九年级期末）已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，AB＝2，则A'B'＝ ．
22．（2022秋·河南焦作·九年级统考期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段 ．
23．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，直线a∥b∥c，则图中x的值为 ．
24．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连接交于点．则= ．
25．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）若线段AB＝cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ cm．
三、解答题
26．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
角平分线分线段成比例定理：
如图1，在△ABC中，AD平分，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作，交BA的延长线于点E．
(1)任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)任务二：如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是的平分线，交AC于F．若，，直接写出线段FC的长．
27．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图：
(1)如图1，边长为的正方形对角线与相交于点，且正方形绕点旋转时，交边于点，交边于点．则图中阴影部分（四边形）的面积为______；（用含的代数式表示）
(2)如图2，已知中，，，平分，点为的中点．正方形绕点旋转时，交边于点，交边于点．求图中阴影部分（即四边形）的面积；
(3)如图3，与均为等腰直角三角形，，，．是斜边上的中线，点为的中点，交边于点，交边于点．设两三角形重叠部分（阴影部分）的面积为，已知，当两三角形的空白部分（除去阴影部分）的面积差为2时，直接写出阴影部分面积的值．
参考答案：
1．D
【分析】把原式变形为，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴

故选：D
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，根据题意，把原式变形为是解题的关键．
2．A
【分析】由，结合比例的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴a=b，c=d，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，关键是根据比例的性质解答．
3．A
【分析】因为点是线段的黄金分割点，且，可得，再利用 即可求得的长．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，
∴，即，
又∵，
∴，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割的问题，理解掌握黄金分割的概念是解题的关键．
4．B
【分析】根据比例线段的定义：（a、b、c、d分别是4条线段的长）就称这组线段成比例，进行判断求解即可.
【详解】解：A、，，，，不成比例，故此选项错误；
B、，，，，可以得到，成比例，故此选项正确；
C、，，，，不成比例，故此选项错误；
D、，，，，不成比例，故此选项错误；
故选B.
【点睛】本题主要考查了比例线段的定义，解题的关键在于能够熟练掌握比例线段的定义.
5．A
【分析】根据相似的定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中两图形相似，正确，符合题意；
B中一个正方形一个矩形，两图形不相似，错误，不符合题意；
C中一个圆一个椭圆，两图形不相似，错误，不符合题意；
D中两三角形一个钝角三角形，一个锐角三角形，两图形不相似，错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了相似图形的定义．解题的关键在于对相似定义的熟练掌握．
6．C
【分析】由四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将AB=12，CD=15，A1B1=9代入，计算即可求出边C1D1的长．
【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴，
∵AB=12，CD=15，A1B1=9，
∴C1D1==．
故选C．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式是解题的关键．
7．A
【详解】根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的特点，结合图形即可得出答案．
解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换.
故选A.
点睛：本题主要考查相似的概念.熟记各种图形变换的概念是解题的关键.
8．B
【详解】解：∵用一个放大镜去观察一个三角形，∴放大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的对应边成比例，∴各边长都变大，故此选项错误；
∵相似三角形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B正确；．
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴C选项错误；
∵相似三角形的周长得比等于相似比，∴D选项错误．
故选B．
点睛：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长得比等于相似比．
9．C
【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵、两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴点的纵坐标为6，故C正确．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键．
10．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理及推论求解即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴AD∶BD=AE∶CE=5∶2，
∵EF∥AB，
∴CE∶AE=CF∶BF=2∶5，
∵CF=4，
∴BF=10，
∴BC=14，
∵DE∶BC=AD∶AB=5∶7，
∴DE=10，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理（推论）：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（平行于三角形一边的直线，截其他两边或两边延长线所得的对应线段成比例）；掌握定理是解题关键．
11．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，构建方程即可解决问题．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理写出比例式是解题的关键．
12．C
【分析】利用平行线分线段成比例可求得的长，则由线段的差即可求得结果．
【详解】，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键．
13．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．
14．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，根据题意，，进而求解．
【详解】∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关键．
15．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，同理得到，计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
同理可得：，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
16．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入计算即可．
【详解】∵DE∥BC，∴，即，解得：AC＝3，∴EC=AC－AE=3-1=2．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17．D
【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可．
【详解】∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴
∵BD=6，AE=4，CD=3，
∴
∴BE=8，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
18．D
【分析】根据黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．
故选：D
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．
19．/0.6
【分析】把化成，再代值计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
20．
【分析】根据比例的基本性质进行转化可求解．
【详解】解：∵2a=3b，且ab≠0，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．
21．2
【分析】利用相似多边形的性质解决问题即可．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，
∴，
∵AB＝2，
∴A′B′＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型．
22．/1.5
【分析】如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，
所以．
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
23．
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
24．
【分析】连接CE，设CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x，AC=2x，BC=x，AB=3，再由已知证得CE∥AB，则有，由角平分线的性质得，进而求得的值.
【详解】连接CE，设CD=2x，
在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30º，
∴∠D=60º，AD=4x，AC=，
BC==x，AB=x，
∵点E为AD的中点，
∴CE=AE=DE==2x，
∴ΔCED为等边三角形，
∴∠CED=60º，
∵∠BAD=∠BAF+∠CAD=30º+30º=60º，
∴∠CED=∠BAD，
∴AB∥CE，
∴，
在ΔBAE中，∵∠BAF=∠CAD=30º
∴AF平分∠BAE，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了含30º的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算.
25．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段，则AC＝AB，代入数据即可得出AC的长度．
【详解】解：∵线段AB＝cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝AB＝×＝（cm）．
故答案为：．
【点睛】此题考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割比的值是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)13
【分析】（1）根据得到，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，根据∠1＝∠2，∴得到∠ACE＝∠E，AE＝AC，得到；
（2）根据AD平分∠BAC，AB=11，AC=15得到，得到，根据E是BC的中点，得到，根据EF∥AD，得到，
CF=13．
【详解】（1）证明：证明的剩余部分，
∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，
∴，
即．
（2）解：∵AD平分∠BAC，AB=11，AC=15,
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是BC的中点，
∴，
∵EF∥AD，
∴，
∴CF=13．
【点睛】本题考查了角平分线性质的证明和应用，解决问题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，线段的和差倍分关系．
27．(1)；
(2)；
(3)或
【分析】（1）根据正方形的性质证明△AOH≌△BOR，即可得到S阴影=，由此得到答案；
（2）方法一：过点作分别与，交于点，，连接，．得到，推出点，，分别为，，的中点，证得四边形为正方形．根据（1）求出阴影部分的面积．
方法二：过点作，分别与，交于点，．证明．由求出答案；
（3）先求出OE=OF=3，根据面积差为2列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线与，
∴OA=OB，，
∵∵四边形OEFG是正方形，
∴，
∴，
∴,
∴△AOH≌△BOR，
∴S阴影==，
故答案为：；
（2）解：方法一：
如图，过点作分别与，交于点，，连接，．
∴，
又∵，平分，
∴，．
由上可知，点，，分别为，，的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
又∵，，
∴四边形为正方形．
由（1）可得：．
方法二：过点作，分别与，交于点，．
∴，又，∴
又∵，平分，
∴，，．
，
∴，∴．
所以．
（3）解：∵，，，
∴OE=OF=3，
设，
由（2）可知
当S△ABC-S△EOF=2时，
，
解得=13，
∴=；
当S△EOF- S△ABC = 2时，
，
解得=5，
∴=；
综上，阴影部分面积S的值为或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的实际应用，正确理解正方形的性质是解题的关键．