2023-2024学年河北省唐山市十县一中联盟高一上学期期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省唐山市十县一中联盟高一上学期期中数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={-1,1,2,3,4}，B={x|1≤x<3}，则A∩B=( )
A. {2}B. {1,2}C. {2,3}D. {-1,1,2,3,4}
2.下列各组中的函数f(x)和g(x)，表示同一函数的是( )
A. f(x)=x2x，g(x)=x
B. f(x)= x2，g(x)=3x3
C. f(x)= (x+3)2，g(x)=|x+3|
D. f(x)= x2-1，g(x)= x+1 x-1
3.已知f(x)=-x+6,x≥0,x2+1,x<0,则f[f(7)]的值为( )
A. 2B. 5C. 7D. 50
4.若a>b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A. 1a<1bB. 1a-b>1aC. a2>b2D. a+1a5.命题p:∀x∈A，x∈B，则¬p为( )
A. ∀x∉A，x∉BB. ∀x∈A，x∉BC. ∃x∈A，x∉BD. ∃x∉A，x∉B
6.若f(x)是定义在R上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是( )
A. |f(x)|B. f(|x|)C. 1f(x)D. f(x)-f(-x)
7.不等式x2-2ax+1<0的解集不为空集，则a的取值范围是( )
A. [-1,1]B. (-1,1)
C. (-∞,-1]∪[1,+∞)D. (-∞,-1)∪(1,+∞)
8.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[-1.5]=-2，[4.9]=4，[π]=3，已知函数f(x)=x-[x]，则( )
A. f(x)的图象关于y轴对称B. f(x)的最大值为1，没有最小值
C. f( 6)+f( 13)>1D. f(x)在R上是增函数
9.已知集合A={1,2}，集合B={0,2}，设集合C={z|z=xy,x∈A,y∈B}，则下列结论中正确的是
( )
A. A∩C=⌀B. A∪C=CC. B∩C=BD. A∪B=C
二、多选题（本大题共3小题，共15分。在每小题有多项符合题目要求）
10.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费办法如下表：
则下列说法正确的是( )
A. 若某户居民某月用水量为10m3，则该用户应缴纳水费30元
B. 若某户居民某月用水量为16m3，则该用户应缴纳水费96元
C. 若某户居民某月缴纳水费54元，则该用户该月用水量为15m3
D. 若甲、乙两户居民某月共缴纳水费93元，且甲户该月用水量未超过12m3，乙户该月用水量未超过18m3，则该月甲户用水量为9m3(甲，乙两户的月用水量均为整数)
11.已知集合A={x|0A. 0B. 1C. 2D. 13
12.下列选项正确的是( )
A. 若0B. 若x∈R，则x2+1x2+3的最小值为-1
C. 若x，y>0且x+2y+xy=6，则xy的最大值为2
D. 若x，y>0且x+4y+4=xy，则2x+y的最小值为17
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2)，则f(3)= ．
14.函数f(x)= 3-x+1x-2的定义域为[空1]x.(请用集合形式作答)
15.正数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y16.已知f(x)的定义域为R，对任意的x1≠x2都有f(x1)-f(x2)x1-x2>3且f(5)=18，则不等式f(3x-1)>9x的解集为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知全集U=R，集合A={x|2≤x<7}，B={x|3(1)A∩B:A∪B;
(2)(∁RA)∪(∁RB)．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在[-5,5]上的偶函数，且当0≤x≤5时，f(x)=x2-4x．
(1)求f(-3)的值及f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[-5,5]的值域．
19.(本小题12分)
已知集合A={x|4(1)若m=2，求∁BA;
(2)设p:x∈A，q:x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
关于x的不等式kx2+(k-2)x-2<0．
(1)当k=3时，求不等式的解集;
(2)当k<0时，求不等式的解集．
21.(本小题12分)
冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若设仓库到车站的距离为x(单位：km)，经过市场调查了解到：每月土地占地费y1(单位：万元)与x+1成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与3x+1成正比;若在距离车站5km处建仓库，则y1与y2分别为8万元和16万元，记两项费用之和为ω=y1+y2．
(1)求ω关于x的解析式;
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少km处，才能使两项费用之和最小?并求出最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+4x-a为奇函数．
(1)求实数a的值;
(2)判断并证明函数f(x)在区间[2,+∞)的单调性;
(3)当x∈[2,4]时，不等式[f(x)]2-3f(x)+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
根据交集的定义直接求解即可．
【解答】
解：因为A={-1,1,2,3,4}，B={x|1≤x<3}，
则A∩B={1,2}，
故选B．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查函数的定义域、对应法则，是基础题．
通过对各选项的函数求出定义域、对应法则，若相同是同一个函数．解：对于A，f(x)=x2x的定义域为{x|x≠0}，g(x)=x的定义域为R，故不是同一个函数，故A错；
对于B，f(x)= x2=|x|，g(x)=3x3=x，对应法则不同，故不是同一个函数，故B错；
对于C，f(x)= (x+3)2=|x+3|，g(x)=|x+3|，定义域、对应法则都相同，是同一函数，故C正确；
对于D，f(x)= x2-1定义域(-∞,-1]∪[1,+∞)，而g(x)= x+1⋅ x-1的定义域为[1,+∞)，故不是同一个函数，故D错．
故选C．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值：据自变量所属范围，分段代入求值．
根据分段函数的解析式求函数值，即可得结果．
【解答】
解：∵f(x)={ -x+6,x⩾0, x2+1,x<0,
∴f(7)=-7+6=-1，
∴f(f(7))=f(-1)=1+1=2．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，属于基础题．
根据不等式的性质判断ABC，取a=2，b=1判断D．
【解答】
解：对于A，因为a>b>0，所以1b>1a>0，故A正确；
对于B，因为a>b>0，所以a>a-b>0，所以1a-b>1a，故B正确；
对于C，因为a>b>0，所以a2>b2，故C正确；
对于D，取a=2，b=1，满足a>b>0，
a+1a=2+12=52，b+1b=1+1=2，此时a+1a>b+1b，故D错误．
故选D．
5.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题．
含有量词的命题的否定方法是先改变量词，然后再否定结论．
【解答】解：∵全称量词命题的否定为存在量词命题，先改变量词，然后再否定结论即可．
∴命题p:∀x∈A，x∈B，则命题p的否定是“∃x∈A，x∉B”．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查偶函数的定义，以及偶函数的判断，属于基础题．
根据偶函数的定义，f(|-x|)=f(|x|)，从而得出f(|x|)一定是偶函数．
【解答】解：由偶函数的定义对各选项逐一验证，
∵f(|-x|)=f(|x|)，且函数的定义域为R，
∴f(|x|)是偶函数，
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次不等式的求解．
由已知可得Δ>0即可求解．
【解答】
由已知可得Δ>0，
即4a2-4>0
解得a<-1或a>1
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题函数的新定义，考查函数的周期性、单调性，属于中档题．
由高斯函数的定义绘制函数图象，结合图象可判断A、B、D选项，再由f( 6)+f( 13)= 6-2+ 13-3即可判断C．
【解答】
解：由高斯函数的定义可得：
当0≤x<1时，[x]=0，则x-[x]=x，
当1≤x<2时，[x]=1，则x-[x]=x-1，
当2≤x<3时，[x]=2，则x-[x]=x-2，
当3≤x<4时，[x]=3，则x-[x]=x-3，
很明显所给的函数具有周期性，
绘制函数图象如图所示，
则f(x)的图象不关于y轴对称，故A错误；
观察可得函数有最小值0，没有最大值，故B错误；
显然f(x)在R上不是增函数，故D错误；
对于C，易得f( 6)+f( 13)= 6-2+ 13-3>2.5-2+3.5-3=1，故C正确．
故选C．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的表示及运算，属于基础题．
根据题意表示集合C，得到集合B与集合C的关系，可知正确选项．
【解答】
解：由题设，集合A={1,2}，集合B={0,2}，
可得C={0,2,4}，则B⊆C，即B∩C=B，
A∩C={2}≠⌀，A∪C={0,1,2,4}≠C，A∪B=={0,1,2}≠C．
故选C．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查利用分段函数模型解决实际问题，属于基础题．
由题可得水费y与用水量x的解析式，逐项验证即可．
【解答】
解：依题意，设此户居民月用水量为xm3，月缴纳的水费为y元，
则y=3x,0⩽x⩽1236+6(x-12),1218,
整理得：y=3x,0⩽x⩽126x-36,1218,
对于A，当x=10m3时，y=30元，故A正确；
对于B，当x=16m3时，y=60元，故B错误；
对于C，当y=54元时，应有6x-36=54，解得x=15(元)，故C正确；
对于D，当甲用水量是7m3，乙用水量是18m3时，他们共缴纳水费是21+72=93(元)，故D错误．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查补集运算，考查集合关系中的参数问题，属于基础题．
由非空集合的定义可得a>0，根据补集的运算可得∁RA=xx⩽0或x⩾a，再根据B⊆∁RA可得a>0a⩽1，求解即可．
【解答】
解：因为集合A={x|00，排除A．
又∁RA=xx⩽0或x⩾a，B⊆∁RA，
所以a>0a⩽1，即0故a的可能取值为1，13．
故选BD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查基本不等式及对勾函数的图像与性质，属于中档题．
对于A，直接利用ab⩽a+b22即可判断；对于B，令t=x2+3,t⩾3，利用对勾函数的图像与性质即可判断；对于C，根据基本不等式可得6-xy=x+2y⩾2 2xy，再解关于 xy的一元二次不等式即可判断；对于D，消元可得x=4y+1y-1，故2x+y=16y-1+y-1+9，利用基本不等式即可判断．
【解答】
解：对于A，x6-x⩽x+6-x22=9，
当且仅当x=6-x，即x=3时等号成立，
所以x(6-x)的最大值为9，故A正确；
对于B，x2+1x2+3=x2+3+1x2+3-3，
令t=x2+3,t⩾3，
则x2+1x2+3=t+1t-3,t⩾3，
因为y=t+1t-3在3,+∞上单调递增，
所以t+1t-3min=3+13-3=13，
所以x2+1x2+3的最小值为13，故B错误；
对于C，因为x+2y+xy=6，
所以6-xy=x+2y⩾2 2xy，当且仅当x=2y时等号成立，
即 xy2+2 2· xy-6⩽0，解得-3 2⩽ xy⩽ 2，
所以0对于D，因为x+4y+4=xy，所以4y+1=xy-1，
因为x，y>0，所以4y+1=xy-1>0，得y>1，
所以x=4y+1y-1．
所以2x+y=8y+8y-1+y=8y-8+16y-1+y
=8+16y-1+y=16y-1+y-1+9
⩾2 16y-1·y-1+9=17，
当且仅当y=5,x=6时等号成立，
所以2x+y的最小值为17，故D正确．
故选ACD．
13.【答案】 3
【解析】【分析】本题考查幂函数的定义和函数值，属于基础题．
根据幂函数的定义求出解析式，进而求出函数值．
【解答】解：设f(x)=xα，则有2=4α，α=12，即f(x)=x12，所以f(3)= 3．
14.【答案】{x|x≤3且x≠2}
【解析】【分析】本题考查函数的定义域的求法，属于基础题．
根据解析式写出不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：∵函数f(x)= 3-x+1x-2，
应满足3-x⩾0x-2≠0，即x≤3且x≠2;
∴定义域为{x|x≤3且x≠2}．
15.【答案】(-∞,-1)∪(9,+∞)
【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，考查二次不等式的解法，属于中档题．
先利用基本不等式求出最小值，再解二次不等式即可．
【解答】解：∵x+y=(x+y)(1x+4y)=yx+4xy+5≥2 4+5=9，
当且仅当yx=4xy，即x=3，y=6时，等号成立，
∵不等式x+y∴9解得m<-1或m>9;
故实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(9,+∞);
16.【答案】(2,+∞)
【解析】【分析】本题考查函数的单调性的判断和利用单调性解不等式，属于较易题．
根据题意判定函数y=f(x)-3x的单调性，再利用单调性解不等式即可．
【解答】解：根据题意，若对任意的x1，x2∈(-∞.+∞)且x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2>3，不妨设x1>x2，则不等式可变为f(x1)-f(x2)>3(x1-x2)，设g(x)=f(x)-3x，则g(x)在(-∞.+∞)上为增函数，
又g(2)=f(2)-3×3=0，所以x>2时，g(x)>0，所以不等式f(3x-1)>9x的解集为(2,+∞).
17.【答案】≤解：(1)∵A={x|2≤x<7}，B={x|3∴A∩B={x|2⩽x<7}，A∪B={x|3(2)∵A={x|2≤x<7}，B={x|3∴∁RA={x|x<2或x≥7}，∁RB={x|x≤3或x≥10}，
则(∁RA)∪(∁RB)={x|x≤3或x≥7}．
【解析】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
(1)由A与B，求出两集合的交集及并集即可；
(2)根据全集R求出A的补集与B的补集，找出两补集的并集即可．
18.【答案】解：(1)因为函数f(x)是偶函数，
所以f(-3)=f(3)=32-4×3=-3，
当-5≤x<0时，则0<-x≤5，
因为f(x)在[-5,5]上为偶函数，
所以f(x)=f(-x)=x2+4x．
所以f(x)=x2-4x,0⩽x⩽5x2+4x,-5⩽x<0；
(2)因为f(x)在[-5,5]上为偶函数，
所以只需求f(x)在[0,5]的值域即可，
f(x)=x2-4x=(x-2)2-4，
由二次函数的性质可知f(x)在[0,2]上单调递减，在[2,5]上单调递增，
又f(0)=0，f(5)=5，
所以当x=2时，f(x)取得最小值-4，
当x=5时，f(x)取得最大值5，
所以f(x)在[-5,5]的值域为[-4,5]．
【解析】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，利用函数的奇偶性求函数解析式，考查二次函数的性质和最值，属于中档题．
(1)由函数f(x)是偶函数并结合已知条件即可求出f(-3)的值和f(x)的解析式；
(2)由函数f(x)是偶函数，则只需求f(x)在[0,5]的值域即可，再结合二次函数的性质即可求解．
19.【答案】解：(1)当m=2时，B={x|1≤x≤9}，
所以∁BA={x|1≤x≤4或8(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B⫋A.
显然集合B不是空集，
只需5-m2>4,5+m2≤8.解得-1综上，实数m的取值范围为-1【解析】本题考查补集的运算，考查集合关系中的参数问题，考查必要不充分条件的应用，属于基础题．
(1)由补集运算即可求解；
(2)由题意可得B⫋A，从而有5-m2>4,5+m2≤8.求解即可．
20.【答案】解：(1)k=3时，不等式可化为3x2+x-2<0，
即(x+1)(3x-2)<0，
解得-1所以原不等式的解集为{x|-1(2)不等式可化为(kx-2)(x+1)<0，
因为k<0，
所以有(x-2k)(x+1)>0，
①当2k=-1，即k=-2时，
不等式为(x+1)2>0，
解得x≠-1;
②当2k>-1，即k<-2时，
解得x<-1或x>2k;
③当2k<-1，即-2解得x<2k或x>-1．
综上：当k<-2时，不等式的解集为{x|x<-1或x>2k};
当k=-2时，不等式的解集为{x|x≠-1};
当-2-1}．
【解析】本题考查解不含参的一元二次不等式，考查解含参的一元二次不等式，属于中档题．
(1)k=3时，不等式可化为(x+1)(3x-2)<0，解不等式即可．
(2) k<0，不等式可化为(x-2k)(x+1)>0，再分2k=-1，2k>-1，2k<-1三类分别讨论不等式的解集即可．
21.【答案】解：(1)∵每月土地占地费y1(单位：万元)与(x+1)成反比，
∴可设y1=k1x+1，
∵每月库存货物费y2(单位：万元)与(3x+1)成正比，
∴可设y2=k2(x+1)，
∵在距离车站5km处建仓库，则y1与y2分别为8万元和16万元，
∴k1=6×8=48，k2=163×5+1=1，
∴ω=y1+y2=48x+1+3x+1x>0．
(2)∴ω=y1+y2=48x+1+3x+1=48x+1+3(x+1)-2⩾2 48x+1·3x+1-2=22，
当且仅当48x+1=3(x+1)，即x=3时，等号成立，
故这家公司应该把仓库建在距离车站3千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为22万元．
【解析】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题(1)先设出y1，y2，根据已知条件，即可求出y1，y2的方程，即可求解．
(2)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
．
22.【答案】解：(1)由题意可知f(x)的定义域为{x|x≠a}，
因为函数为奇函数，所以a=0．
经检验，a=0时函数f(x)为奇函数．
(2)f(x)在[2,+∞)上是增函数．
证明：在[2,+∞)上任取x1，x2，且x1f(x1)=x1+4x1，f(x2)=x2+4x2．
f(x1)-f(x2)=(x1+4x1)-(x2+4x2)
=(x1-x2)+(4x1-4x2)=(x1-x2)x1x2-4x1x2．
由2≤x14，x1x2-4>0，
于是f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以，f(x)在[2,+∞)上是增函数．
(3)由(2)可知f(x)在[2,4]上单调递增，
所以f(2)≤f(x)≤f(4)，即f(x)∈[4,5]．
不等式[f(x)]2-3f(x)+m≤0恒成立，令f(x)=t，t∈[4,5]．
则有m≤-t2+3t对于t∈[4,5]恒成立，
所以m≤(-t2+3t)min，t∈[4,5]，
令-t2+3t=-(t-32)2+94，t∈[4,5]，
当t=5时，-t2+3t有最小值-10，所以m≤-10．
因此实数m的取值范围为(-∞,-10]．
【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式恒成立问题及二次函数的最值，属于中档题．
(1)由定义域为{x|x≠a}可得a=0，再验证即可；
(2)利用单调性的定义即可证明；
(3)由f(x)的单调性可得x∈[2,4]时，f(x)∈[4,5].换元，参变分离即可求解．每户每月用水量x(m3)
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3