2023-2024学年河北省唐山市十县一中联盟高一上学期期中数学试题(含解析)
展开1.设集合A={-1,1,2,3,4},B={x|1≤x<3},则A∩B=( )
A. {2}B. {1,2}C. {2,3}D. {-1,1,2,3,4}
2.下列各组中的函数f(x)和g(x),表示同一函数的是( )
A. f(x)=x2x,g(x)=x
B. f(x)= x2,g(x)=3x3
C. f(x)= (x+3)2,g(x)=|x+3|
D. f(x)= x2-1,g(x)= x+1 x-1
3.已知f(x)=-x+6,x≥0,x2+1,x<0,则f[f(7)]的值为( )
A. 2B. 5C. 7D. 50
4.若a>b>0,则下列不等式中不成立的是( )
A. 1a<1bB. 1a-b>1aC. a2>b2D. a+1a5.命题p:∀x∈A,x∈B,则¬p为( )
A. ∀x∉A,x∉BB. ∀x∈A,x∉BC. ∃x∈A,x∉BD. ∃x∉A,x∉B
6.若f(x)是定义在R上的函数,则下列选项中一定是偶函数的是( )
A. |f(x)|B. f(|x|)C. 1f(x)D. f(x)-f(-x)
7.不等式x2-2ax+1<0的解集不为空集,则a的取值范围是( )
A. [-1,1]B. (-1,1)
C. (-∞,-1]∪[1,+∞)D. (-∞,-1)∪(1,+∞)
8.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1.5]=-2,[4.9]=4,[π]=3,已知函数f(x)=x-[x],则( )
A. f(x)的图象关于y轴对称B. f(x)的最大值为1,没有最小值
C. f( 6)+f( 13)>1D. f(x)在R上是增函数
9.已知集合A={1,2},集合B={0,2},设集合C={z|z=xy,x∈A,y∈B},则下列结论中正确的是
( )
A. A∩C=⌀B. A∪C=CC. B∩C=BD. A∪B=C
二、多选题(本大题共3小题,共15分。在每小题有多项符合题目要求)
10.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费办法如下表:
则下列说法正确的是( )
A. 若某户居民某月用水量为10m3,则该用户应缴纳水费30元
B. 若某户居民某月用水量为16m3,则该用户应缴纳水费96元
C. 若某户居民某月缴纳水费54元,则该用户该月用水量为15m3
D. 若甲、乙两户居民某月共缴纳水费93元,且甲户该月用水量未超过12m3,乙户该月用水量未超过18m3,则该月甲户用水量为9m3(甲,乙两户的月用水量均为整数)
11.已知集合A={x|0
12.下列选项正确的是( )
A. 若0
C. 若x,y>0且x+2y+xy=6,则xy的最大值为2
D. 若x,y>0且x+4y+4=xy,则2x+y的最小值为17
三、填空题(本大题共4小题,共20分)
13.若幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则f(3)= .
14.函数f(x)= 3-x+1x-2的定义域为[空1]x.(请用集合形式作答)
15.正数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y
四、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题10分)
已知全集U=R,集合A={x|2≤x<7},B={x|3
(2)(∁RA)∪(∁RB).
18.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在[-5,5]上的偶函数,且当0≤x≤5时,f(x)=x2-4x.
(1)求f(-3)的值及f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[-5,5]的值域.
19.(本小题12分)
已知集合A={x|4
(2)设p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
20.(本小题12分)
关于x的不等式kx2+(k-2)x-2<0.
(1)当k=3时,求不等式的解集;
(2)当k<0时,求不等式的解集.
21.(本小题12分)
冬奥会期间,冰墩墩成热销商品,一家冰墩墩生产公司为加大生产,计划租地建造临时仓库储存货物,若设仓库到车站的距离为x(单位:km),经过市场调查了解到:每月土地占地费y1(单位:万元)与x+1成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与3x+1成正比;若在距离车站5km处建仓库,则y1与y2分别为8万元和16万元,记两项费用之和为ω=y1+y2.
(1)求ω关于x的解析式;
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少km处,才能使两项费用之和最小?并求出最小值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+4x-a为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断并证明函数f(x)在区间[2,+∞)的单调性;
(3)当x∈[2,4]时,不等式[f(x)]2-3f(x)+m≤0恒成立,求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算,属于基础题.
根据交集的定义直接求解即可.
【解答】
解:因为A={-1,1,2,3,4},B={x|1≤x<3},
则A∩B={1,2},
故选B.
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查函数的定义域、对应法则,是基础题.
通过对各选项的函数求出定义域、对应法则,若相同是同一个函数.解:对于A,f(x)=x2x的定义域为{x|x≠0},g(x)=x的定义域为R,故不是同一个函数,故A错;
对于B,f(x)= x2=|x|,g(x)=3x3=x,对应法则不同,故不是同一个函数,故B错;
对于C,f(x)= (x+3)2=|x+3|,g(x)=|x+3|,定义域、对应法则都相同,是同一函数,故C正确;
对于D,f(x)= x2-1定义域(-∞,-1]∪[1,+∞),而g(x)= x+1⋅ x-1的定义域为[1,+∞),故不是同一个函数,故D错.
故选C.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值:据自变量所属范围,分段代入求值.
根据分段函数的解析式求函数值,即可得结果.
【解答】
解:∵f(x)={ -x+6,x⩾0, x2+1,x<0,
∴f(7)=-7+6=-1,
∴f(f(7))=f(-1)=1+1=2.
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质,属于基础题.
根据不等式的性质判断ABC,取a=2,b=1判断D.
【解答】
解:对于A,因为a>b>0,所以1b>1a>0,故A正确;
对于B,因为a>b>0,所以a>a-b>0,所以1a-b>1a,故B正确;
对于C,因为a>b>0,所以a2>b2,故C正确;
对于D,取a=2,b=1,满足a>b>0,
a+1a=2+12=52,b+1b=1+1=2,此时a+1a>b+1b,故D错误.
故选D.
5.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查含有一个量词的命题的否定,属于基础题.
含有量词的命题的否定方法是先改变量词,然后再否定结论.
【解答】解:∵全称量词命题的否定为存在量词命题,先改变量词,然后再否定结论即可.
∴命题p:∀x∈A,x∈B,则命题p的否定是“∃x∈A,x∉B”.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查偶函数的定义,以及偶函数的判断,属于基础题.
根据偶函数的定义,f(|-x|)=f(|x|),从而得出f(|x|)一定是偶函数.
【解答】解:由偶函数的定义对各选项逐一验证,
∵f(|-x|)=f(|x|),且函数的定义域为R,
∴f(|x|)是偶函数,
故选:B.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次不等式的求解.
由已知可得Δ>0即可求解.
【解答】
由已知可得Δ>0,
即4a2-4>0
解得a<-1或a>1
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题函数的新定义,考查函数的周期性、单调性,属于中档题.
由高斯函数的定义绘制函数图象,结合图象可判断A、B、D选项,再由f( 6)+f( 13)= 6-2+ 13-3即可判断C.
【解答】
解:由高斯函数的定义可得:
当0≤x<1时,[x]=0,则x-[x]=x,
当1≤x<2时,[x]=1,则x-[x]=x-1,
当2≤x<3时,[x]=2,则x-[x]=x-2,
当3≤x<4时,[x]=3,则x-[x]=x-3,
很明显所给的函数具有周期性,
绘制函数图象如图所示,
则f(x)的图象不关于y轴对称,故A错误;
观察可得函数有最小值0,没有最大值,故B错误;
显然f(x)在R上不是增函数,故D错误;
对于C,易得f( 6)+f( 13)= 6-2+ 13-3>2.5-2+3.5-3=1,故C正确.
故选C.
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的表示及运算,属于基础题.
根据题意表示集合C,得到集合B与集合C的关系,可知正确选项.
【解答】
解:由题设,集合A={1,2},集合B={0,2},
可得C={0,2,4},则B⊆C,即B∩C=B,
A∩C={2}≠⌀,A∪C={0,1,2,4}≠C,A∪B=={0,1,2}≠C.
故选C.
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查利用分段函数模型解决实际问题,属于基础题.
由题可得水费y与用水量x的解析式,逐项验证即可.
【解答】
解:依题意,设此户居民月用水量为xm3,月缴纳的水费为y元,
则y=3x,0⩽x⩽1236+6(x-12),12
整理得:y=3x,0⩽x⩽126x-36,12
对于A,当x=10m3时,y=30元,故A正确;
对于B,当x=16m3时,y=60元,故B错误;
对于C,当y=54元时,应有6x-36=54,解得x=15(元),故C正确;
对于D,当甲用水量是7m3,乙用水量是18m3时,他们共缴纳水费是21+72=93(元),故D错误.
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查补集运算,考查集合关系中的参数问题,属于基础题.
由非空集合的定义可得a>0,根据补集的运算可得∁RA=xx⩽0或x⩾a,再根据B⊆∁RA可得a>0a⩽1,求解即可.
【解答】
解:因为集合A={x|0
又∁RA=xx⩽0或x⩾a,B⊆∁RA,
所以a>0a⩽1,即0故a的可能取值为1,13.
故选BD.
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查基本不等式及对勾函数的图像与性质,属于中档题.
对于A,直接利用ab⩽a+b22即可判断;对于B,令t=x2+3,t⩾3,利用对勾函数的图像与性质即可判断;对于C,根据基本不等式可得6-xy=x+2y⩾2 2xy,再解关于 xy的一元二次不等式即可判断;对于D,消元可得x=4y+1y-1,故2x+y=16y-1+y-1+9,利用基本不等式即可判断.
【解答】
解:对于A,x6-x⩽x+6-x22=9,
当且仅当x=6-x,即x=3时等号成立,
所以x(6-x)的最大值为9,故A正确;
对于B,x2+1x2+3=x2+3+1x2+3-3,
令t=x2+3,t⩾3,
则x2+1x2+3=t+1t-3,t⩾3,
因为y=t+1t-3在3,+∞上单调递增,
所以t+1t-3min=3+13-3=13,
所以x2+1x2+3的最小值为13,故B错误;
对于C,因为x+2y+xy=6,
所以6-xy=x+2y⩾2 2xy,当且仅当x=2y时等号成立,
即 xy2+2 2· xy-6⩽0,解得-3 2⩽ xy⩽ 2,
所以0
因为x,y>0,所以4y+1=xy-1>0,得y>1,
所以x=4y+1y-1.
所以2x+y=8y+8y-1+y=8y-8+16y-1+y
=8+16y-1+y=16y-1+y-1+9
⩾2 16y-1·y-1+9=17,
当且仅当y=5,x=6时等号成立,
所以2x+y的最小值为17,故D正确.
故选ACD.
13.【答案】 3
【解析】【分析】本题考查幂函数的定义和函数值,属于基础题.
根据幂函数的定义求出解析式,进而求出函数值.
【解答】解:设f(x)=xα,则有2=4α,α=12,即f(x)=x12,所以f(3)= 3.
14.【答案】{x|x≤3且x≠2}
【解析】【分析】本题考查函数的定义域的求法,属于基础题.
根据解析式写出不等式组,解不等式组即可.
【解答】解:∵函数f(x)= 3-x+1x-2,
应满足3-x⩾0x-2≠0,即x≤3且x≠2;
∴定义域为{x|x≤3且x≠2}.
15.【答案】(-∞,-1)∪(9,+∞)
【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值,考查二次不等式的解法,属于中档题.
先利用基本不等式求出最小值,再解二次不等式即可.
【解答】解:∵x+y=(x+y)(1x+4y)=yx+4xy+5≥2 4+5=9,
当且仅当yx=4xy,即x=3,y=6时,等号成立,
∵不等式x+y
故实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(9,+∞);
16.【答案】(2,+∞)
【解析】【分析】本题考查函数的单调性的判断和利用单调性解不等式,属于较易题.
根据题意判定函数y=f(x)-3x的单调性,再利用单调性解不等式即可.
【解答】解:根据题意,若对任意的x1,x2∈(-∞.+∞)且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>3,不妨设x1>x2,则不等式可变为f(x1)-f(x2)>3(x1-x2),设g(x)=f(x)-3x,则g(x)在(-∞.+∞)上为增函数,
又g(2)=f(2)-3×3=0,所以x>2时,g(x)>0,所以不等式f(3x-1)>9x的解集为(2,+∞).
17.【答案】≤解:(1)∵A={x|2≤x<7},B={x|3
则(∁RA)∪(∁RB)={x|x≤3或x≥7}.
【解析】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
(1)由A与B,求出两集合的交集及并集即可;
(2)根据全集R求出A的补集与B的补集,找出两补集的并集即可.
18.【答案】解:(1)因为函数f(x)是偶函数,
所以f(-3)=f(3)=32-4×3=-3,
当-5≤x<0时,则0<-x≤5,
因为f(x)在[-5,5]上为偶函数,
所以f(x)=f(-x)=x2+4x.
所以f(x)=x2-4x,0⩽x⩽5x2+4x,-5⩽x<0;
(2)因为f(x)在[-5,5]上为偶函数,
所以只需求f(x)在[0,5]的值域即可,
f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,
由二次函数的性质可知f(x)在[0,2]上单调递减,在[2,5]上单调递增,
又f(0)=0,f(5)=5,
所以当x=2时,f(x)取得最小值-4,
当x=5时,f(x)取得最大值5,
所以f(x)在[-5,5]的值域为[-4,5].
【解析】本题考查利用函数的奇偶性求函数值,利用函数的奇偶性求函数解析式,考查二次函数的性质和最值,属于中档题.
(1)由函数f(x)是偶函数并结合已知条件即可求出f(-3)的值和f(x)的解析式;
(2)由函数f(x)是偶函数,则只需求f(x)在[0,5]的值域即可,再结合二次函数的性质即可求解.
19.【答案】解:(1)当m=2时,B={x|1≤x≤9},
所以∁BA={x|1≤x≤4或8
显然集合B不是空集,
只需5-m2>4,5+m2≤8.解得-1
(1)由补集运算即可求解;
(2)由题意可得B⫋A,从而有5-m2>4,5+m2≤8.求解即可.
20.【答案】解:(1)k=3时,不等式可化为3x2+x-2<0,
即(x+1)(3x-2)<0,
解得-1
因为k<0,
所以有(x-2k)(x+1)>0,
①当2k=-1,即k=-2时,
不等式为(x+1)2>0,
解得x≠-1;
②当2k>-1,即k<-2时,
解得x<-1或x>2k;
③当2k<-1,即-2
综上:当k<-2时,不等式的解集为{x|x<-1或x>2k};
当k=-2时,不等式的解集为{x|x≠-1};
当-2
【解析】本题考查解不含参的一元二次不等式,考查解含参的一元二次不等式,属于中档题.
(1)k=3时,不等式可化为(x+1)(3x-2)<0,解不等式即可.
(2) k<0,不等式可化为(x-2k)(x+1)>0,再分2k=-1,2k>-1,2k<-1三类分别讨论不等式的解集即可.
21.【答案】解:(1)∵每月土地占地费y1(单位:万元)与(x+1)成反比,
∴可设y1=k1x+1,
∵每月库存货物费y2(单位:万元)与(3x+1)成正比,
∴可设y2=k2(x+1),
∵在距离车站5km处建仓库,则y1与y2分别为8万元和16万元,
∴k1=6×8=48,k2=163×5+1=1,
∴ω=y1+y2=48x+1+3x+1x>0.
(2)∴ω=y1+y2=48x+1+3x+1=48x+1+3(x+1)-2⩾2 48x+1·3x+1-2=22,
当且仅当48x+1=3(x+1),即x=3时,等号成立,
故这家公司应该把仓库建在距离车站3千米处,才能使两项费用之和最小,最小值为22万元.
【解析】本题主要考查函数的实际应用,掌握基本不等式的公式是解本题的关键,属于中档题(1)先设出y1,y2,根据已知条件,即可求出y1,y2的方程,即可求解.
(2)根据已知条件,结合基本不等式的公式,即可求解.
.
22.【答案】解:(1)由题意可知f(x)的定义域为{x|x≠a},
因为函数为奇函数,所以a=0.
经检验,a=0时函数f(x)为奇函数.
(2)f(x)在[2,+∞)上是增函数.
证明:在[2,+∞)上任取x1,x2,且x1
f(x1)-f(x2)=(x1+4x1)-(x2+4x2)
=(x1-x2)+(4x1-4x2)=(x1-x2)x1x2-4x1x2.
由2≤x1
于是f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
(3)由(2)可知f(x)在[2,4]上单调递增,
所以f(2)≤f(x)≤f(4),即f(x)∈[4,5].
不等式[f(x)]2-3f(x)+m≤0恒成立,令f(x)=t,t∈[4,5].
则有m≤-t2+3t对于t∈[4,5]恒成立,
所以m≤(-t2+3t)min,t∈[4,5],
令-t2+3t=-(t-32)2+94,t∈[4,5],
当t=5时,-t2+3t有最小值-10,所以m≤-10.
因此实数m的取值范围为(-∞,-10].
【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性,考查不等式恒成立问题及二次函数的最值,属于中档题.
(1)由定义域为{x|x≠a}可得a=0,再验证即可;
(2)利用单调性的定义即可证明;
(3)由f(x)的单调性可得x∈[2,4]时,f(x)∈[4,5].换元,参变分离即可求解.每户每月用水量x(m3)
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3
2023-2024学年河北省唐山市十县一中联盟高二上学期期中数学试题(含解析 ): 这是一份2023-2024学年河北省唐山市十县一中联盟高二上学期期中数学试题(含解析 ),共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023-2024学年河北省唐山市十县一中联盟高二上学期期中数学试题含答案: 这是一份2023-2024学年河北省唐山市十县一中联盟高二上学期期中数学试题含答案,共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题,未知等内容,欢迎下载使用。
河北省唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二上学期期中数学试题: 这是一份河北省唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二上学期期中数学试题,文件包含核心素养人教版小学数学五年级下册27奇偶性课件pptx、核心素养人教版小学数学五年级下册《奇偶性》教案docxdocx、核心素养人教版小学数学五年级下册27奇偶性导学案docx等3份课件配套教学资源,其中PPT共23页, 欢迎下载使用。