2023-2024学年陕西省榆林市五校高一上学期11月期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省榆林市五校高一上学期11月期中联考数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∀x∈R,x2+1>0”的否定是
( )
A. ∃x∈R,x2+1≥0B. ∃x∈R,x2+1≤0
C. ∀x∈R,x2+1<0D. ∀x∈R,x2+1≤0
2.下列关系正确的是( )
A. a⊆{a,b,c}B. ⌀∈{0}C. 0,1⫋ ND. 2∈Q
3.对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是
( )
A. 若a>b，则1a<1bB. 若a>b，则ac2>bc2
C. 若a3>b3，则a>bD. 若a>b，则a>b
4.已知p：a>b>0 q：1a2<1b2，则p是q的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.下列说法正确的是( )
A. 当α=0时，y=xα的图象是一条直线
B. 幂函数的图象都经过点0,0，1,1
C. 幂函数的图象有可能出现在第四象限
D. 若幂函数y=xα在区间0,+∞上单调递减，则α<0
6.不等式-x2-x+6>0的解集为
( )
A. x-2C. {x|x<-2或x>3}D. {x|x<-3或x>2}
7.设函数fx=x2+2ax+3,x≤1ax+1,x>1若对∀x1，x2∈R且x1≠x2，都有x1-x2fx1-fx2<0，则实数a的取值范围是
( )
A. -3,-1B. -∞,-1C. -1,0D. -2,0
8.已知函数y=f(x)的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是
( )
A. x2fxB. fxx2C. xfxD. xf2x
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列存在量词命题中，是假命题的是( )
A. ∃x∈Z,2x+ x-1=0
B. 至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C. ∃x∈R,x<0
D. 有些自然数是偶数
10.已知全集U=R，集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的
( )
A. M∩∁RN=⌀B. M∪∁RN=R
C. ∁RM∪∁RN=∁RMD. ∁RM∩∁RN=∁RM
11.已知m2+n2=100，则
( )
A. m+n有最大值10 2B. m+n有最小值10 2
C. mn有最大值50D. mn有最小值50
12.在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数y=fx为奇函数的充要条件是y=fx的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数y=fx+a-b为奇函数的充要条件是y=fx的图象关于点Pa,b成中心对称.已知函数fx=x3+mx2+2nx-4的图象关于2,0成中心对称，则下列结论正确的是
( )
A. f2=1B. f4=4
C. m+n=-1D. f2+x+f2-x=0
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数y= x3-1的定义域是__________．
14.如图，坐标系中矩形OABC及其内部的点构成的集合可表示为__________．
15.已知f(1x)=1x-1，则f(x)= ．
16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-1)=0，若对任意的x1,x2∈-∞,0，当x1≠x2时，都有x1⋅f(x1)-x2⋅f(x2)x1-x2<0成立，则不等式f(x)<0的解集为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A=x|x+28-x≥0,B=x∣-3≤x≤6．
(1)求A∪∁RB
(2)若C=x|m+1≤x≤2m-1，C⊆A∩B，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知p:∀x∈x∣-1≤x≤1,x2+x-k≤0,q:∃x∈R,x2+2kx+3k+4≤0．
(1)若¬p成立，求实数k的取值范围，
(2)若p和q中至多有一个成立，求实数k的取值范围．
19.(本小题12分)
已知对∀x∈R，都有f-x+fx=0，且当x>0时，fx=4-x2．
(1)求函数fx的解析式，并画出fx的简图(不必列表)；
(2)求ff3的值；
(3)求fx>f1的解集．
20.(本小题12分)
紫砂花盆在明清时期出现后，它的发展之势如日中天，逐渐成为收藏家的收藏目标，随着制盆技术的发展，紫砂花盆已经融入了寻常百姓的生活，某紫砂制品厂准备批量生产一批紫砂花盆，厂家初期投入购买设备的成本为10万元，每生产一个紫砂花盆另需27元，当生产x千件紫砂花盆并全部售出后，厂家总销售额Px=5.7x+19,010.(单位：万元)．
(1)求总利润rx(单位：万元)关于产量x(单位：千件)的函数关系式；(总利润=总销售额-成本)
(2)当产量x为多少时总利润最大？并求出总利润的最大值．
21.(本小题12分)
已知函数fx=3x2-2ax+a2a∈R．
(1)若fx+1为偶函数，求a的值；
(2)若fx在0,1上有最小值9，求a的值．
22.(本小题12分)
已知x>0,y>0,x+y-2=axy-3．
(1)当a=0时，求xy的最大值；
(2)当a=1时，求：
①x+2y的最小值
②1x-1+1y-1的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求．
解：命题“ ∀x∈R,x2+1>0 ”为全称量词命题，其否定为： ∃x∈R,x2+1≤0 ．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断．
解：选项A：因为 a 是集合 {a,b,c} 中的元素，所以 a∈{a,b,c} ，所以选项A错误；
选项B：因为 ⌀ 是任何集合的子集，所以 ⌀⊆{0} ，所以选项B错误；
选项C：因为 N 中含有元素0，1，而且还有其他元素，所以 0,1 Ü N ，所以选项C正确；
选项D：因为 2 是无理数，而 Q 是有理数集，所以 2∉Q ，所以选项D错误；
故选：C
3.【答案】C
【解析】【分析】由不等式的性质进行证明或举例判断即可．
解：对于A，若 a>b ，令 a=2 ， b=-1 ，则 1a=12 ， 1b=-1 ， 1a>1b ，故选项A是假命题；
对于B，若 a>b ，令 c=0 ，则 ac2=bc2 ，故选项B是假命题；
对于C，若 a3>b3 ，则 a3-b3=a-ba2+ab+b2>0 ，
∵ a2+ab+b2=a+b22+3b24>0 ，∴ a-b>0 ，∴ a>b ，故选项C是真命题；
对于D，若 a>b ，令 a=-2 ， b=-1 ，则 a故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据 a>b>0 与 1a2<1b2 的互相推出情况判断出属于何种条件．
解：当 a>b>0 时， a2>b2>0 ，所以 1a2<1b2 ，所以充分性满足，
当 1a2<1b2 时，取 a=-2,b=1 ，此时 a>b>0 不满足，所以必要性不满足，
所以 p 是 q 的充分不必要条件，
故选：A．
5.【答案】D
【解析】【分析】根据幂函数的性质，结合零指数幂的性质逐一判断即可，
解：当 α=0 时， y=xα=1 此时要求 x≠0 ，所以 y=xα 的图象是一条直线是错误的，因此选项A不正确；
幂函数 y=1x 的图象不经过点 0,0 ，所以选项B不正确；
当 x>0 时，幂函数 y=xα>0 ，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，所以选项C不正确；
当幂函数 y=xα 在区间 0,+∞ 上单调递减，则有 α<0 ，所以选项D正确，
故选：D
6.【答案】B
【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求解．
解：不等式可化为 |x|2+x-6<0 ，即 -3故选：B
7.【答案】A
【解析】【分析】由分段函数 fx 在 R 上单调递减可得关于 a 的不等式组，进而可得 a 的取值范围．
解：因为函数 fx 对 ∀x1 ， x2∈R 且 x1≠x2 ，都有 x1-x2fx1-fx2<0 ，
可得 fx 是 R 上的减函数，
所以有 -2a2≥1a<012+2a+3≥a+1 解得 -3≤a≤-1 ．
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】对于ABD，可得到当 x<0 时， x2fx<0 ， fxx2<0 ， xf2x<0 ，从而ABD错误，C满足要求．
解：对于A，由图1可得，当 x<0 时， fx<0 ，
所以当 x<0 时， x2fx<0 ，故 A 错误；
对于B，由图1可得当 x<0 时， fx<0 ，所以当 x<0 时， fxx2<0 ，故 B 错误；
对于C，由图1可得当 x<0 时， fx<0 ，当 x>0 时， fx>0 ，
所以当 x<0 时， xfx>0 ；当 x>0 时， xfx>0 ，选项C正确；
对于D，由图1可得当 x<0 时， fx<0 ，则当 x<0 时， f2x>0 ， xf2x<0 ，
选项D错误．
故选：C．
9.【答案】AC
【解析】【分析】计算出x=14∉Z即可判断A；举例即可判断BD；根据x≥0即可判断C．
解：对于A，2x+ x-1=0，即2 x-1 x+1=0，解得x=14∉Z，所以A是假命题；
对于B，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；
对于C，因为所有实数的绝对值非负，即x≥0，所以C是假命题；
对于D，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题．
故选：AC．
10.【答案】BD
【解析】【分析】根据集合的的运算与韦恩图即可求解．
解：由图可知， M∩∁RN=∁MN≠⌀ ，A错误；
M∪∁RN=R ，B正确；
∁RM∪∁RN=∁RM∩N=∁RN ，C错误；
∁RM∩∁RN=∁RM∪N=∁RM ，D正确，
故选：BD．
11.【答案】AC
【解析】【分析】利用基本不等式计算即可，需要检验等号成立的条件．
解：由 m2+n22≥m+n22 ， m2+n2=100 ，得 m+n22≤50 ，所以 m+n≤10 2 ，当且仅当 m=n=5 2 时，等号成立，所以 m+n 有最大值 10 2 ，故A正确，B错误；由 m2+n2≥2mn ，得 mn≤50 ，当且仅当 m=n=5 2 时，等号成立，， mn 有最大值50，故C正确，D错误．
故选：AC
12.【答案】BCD
【解析】【分析】函数 fx 的图象关于 2,0 成中心对称，可得所以 fx+2 的图象关于原点对称，令 x=0 ，可求得 m+n=-1 ，故 A 错误， C 正确；又 f2+x+f2-x=0 ，故 D 正确，令此式中 x=2 ，可求得 f4 ，判断出选项 B.
解：函数 fx 的图象关于 2,0 成中心对称，且由函数可得定义域为 R ，
所以 fx+2 的图象关于原点对称，
则 f0+2=f2=8+4m+4n-4=0 ，
所以 m+n=-1 ，故 A 错误， C 正确；
所以对任意 x∈R ，都有 f2+x+f2-x=0 ，故 D 正确；
在 f2+x+f2-x=0 中令 x=2 得
f4+f0=0 ，且 f0=-4 ，
所以 f4=4 ，故 B 正确．
故选：BCD．
13.【答案】1,+∞
【解析】【分析】根据解析式建立不等式求解即可．
解由 x3-1≥0 ，即 x3≥1 ，解得 x≥1 ，
即函数 y= x3-1 的定义域是 1,+∞ ．
故答案为： 1,+∞
14.【答案】x,y∣-2≤x≤0,0≤y≤1
【解析】【分析】根据阴影部分的点构成的集合求解即可．
解：易知阴影部分的点构成的集合为 x,y∣-2≤x≤0,0≤y≤1 ．
故答案为： x,y∣-2≤x≤0,0≤y≤1 ．
15.【答案】x1-x(x≠0)(x1-x(x≠0且x≠1)也对)
【解析】【分析】
本题考查了求函数的解析式，属于基础题．
【解答】
解：由f(1x)=1x-1=1x1-1x，得f(x)=x1-x(x≠0)．
16.【答案】-∞,-1∪0,1
【解析】【分析】
本题考查了函数单调性、奇偶性的综合应用，属于较难题．
本题需要构造函数，利用奇偶性和单调性求解．
【解答】
解：根据题意，设g(x)=xf(x)，若函数f(x)是定义在R上的奇函数，即
f(-x)=-f(x)，则g(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=g(x)，则g(x)为R上的偶函数，
若f(-1)=0，则g(-1)=g(1)=0，
又由对任意的x1，x2∈(-∞,0)，当x1≠x2时，都有
x1⋅f(x1)-x2⋅f(x2)x1-x2<0成立，则g(x)在(-∞,0)上为减函数，
则在(-∞,-1)上，g(x)=xf(x)>0，在(-1,0)上，g(x)=xf(x)<0，
又由x∈(-∞,0)，则在(-∞,-1)上，f(x)<0，在(-1,0)上，f(x)>0，
又由f(x)为奇函数，在(0,1)上，f(x)<0，(1,+∞)上f(x)>0，
综合可得：f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1)．
故答案为：(-∞,-1)∪(0,1)．
17.【答案】解：(1) A=x∣x+28-x≥0=x∣-2≤x≤8 ， ∁RB=x|x<-3或x>6 ，
则 A∪∁RB={x∣x<-3或x≥-2} ．
(2)∵ 集合 A=x∣-2≤x≤8 ， B=x∣-3≤x≤6 ，
∴ A∩B=x∣-2≤x≤6 ．
若 C=⌀ ，则 m+1>2m-1 ，即 m<2 ；
若 C≠⌀ 则 m+1≤2m-1,m+1≥-2,2m-1≤6, 解得 2≤m≤72 ．
综上，实数 m 的取值范围为 m|m≤72 ．

【解析】【分析】(1)先化简集合A，然后根据补集运算求出 ∁RB ，最后再求 A∪∁RB ．
(2)由题意可知 -2≤m+1≤2m-1≤6 或 m+1>2m-1 ，解不等式即可
18.【答案】解：(1)若 ¬p:∃x∈x∣-1≤x≤1,x2+x>k 成立，
因为 x∈x∣-1≤x≤1 时， x2+x∈x∣-14≤x≤2 ，可得 k<2 ，
所以实数 k 的取值范围为 {k|k<2} ．
(2)p 和 q 中至多有一个成立，考虑其反面： p 和 q 均成立，
若 p:∀x∈x∣-1≤x≤1,x2+x≤k 成立，
因为 x∈x∣-1≤x≤1 时， x2+x∈x∣-14≤x≤2 ，可得 k≥2 ；
若 q 成立时， Δ=4k2-43k+4≥0 ，解得 k≤-1 或 k≥4 ；
若 p､q 均成立时，可得 k≥4 ，
所以 p､q 至多有一个成立时，则 k<4 ．
综上上述：实数 k 的取值范围为 {k|k<4} ．

【解析】【分析】(1)根据题意可得 ¬p:∃x∈x∣-1≤x≤1,x2+x>k ，根据存在性问题分析求解；
(2)取反面：当 p 和 q 均成立时，求参数的取值范围，进而可得结果．
19.【答案】解：(1)因为 ∀x∈R,f-x+fx=0 ，则 fx 为奇函数，
令 x=0 ，可得 f0=0 ，
当 x<0 时， -x>0 ，则 f-x=4-(-x)2=4-x2 ，
又 f-x=-fx ，所以 fx=-f-x=x2-4 ，
故 fx=4-x2,x>00,x=0x2-4,x<0 ，
故函数 fx 的简图为
．
(2)因为 f3=4-32=4-9=-5 ，
所以 ff3=f-5=52-4=21 ．
(3)因为 f1=3 ， fx>f1 ，所以 fx>3 ，
当 x>0 时，得 4-x2>3 ，解得 0当 x=0 时，显然不成立；
当 x<0 时， x2-4>3 ，解得 x<- 7 ．
故 fx>f1 的解集为 -∞,- 7∪0,1 ．

【解析】【分析】(1)利用奇函数的性质即可求得 fx 的解析式，从而根据 fx 的解析式作出图象，由此得解；
(2)利用(1)中结论即可得解；
(3)利用(1)中结论，分类讨论 x 的取值情况，从而得解．
20.【答案】解：(1)当 0当 x>10 时， rx=108-10003x-2.7x+10=98-10003x-2710x ，
∴rx=3x+9,010.
(2)当 0当 x>10 时， rx=98-10003x-2710x=98-10003x+2710x≤98-2 10003x×2710x=38 (万元)，当且仅当 x=1009 时等号成立，
又 1000x 为整数，所以此时 rx<38 (万元)．
综上，当产量 x 为10千件时总利润最大，且总利润的最大值为39万元．

【解析】【分析】(1)根据题意，由总利润 = 总销售额 - 成本即可得到函数关系式；
(2)根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果．
21.【答案】解：(1)因为 fx=3x2-2ax+a2 ，
所以 fx+1=3(x+1)2-2ax+1+a2=3x2+6-2ax+3-2a+a2 ．
因为函数 fx+1 为偶函数，所以 -6-2a2×3=0 ，解得 a=3 ．
(2)函数 fx=3x2-2ax+a2 图象的对称轴方程为 x=a3 ，开口向上，
①当 a3≤0 ，即 a≤0 时，函数 fx 在 0,1 上为增函数，
所以 f(x)min=f0=a2=9 ，解得 a=3 (舍)或 a=-3 ；
②当 0所以 f(x)min=fa3=23a2=9 ，解得 a=±3 62 (舍去)；
③当 a3>1 ，即 a>3 时，函数 fx 在 0,1 上为减函数，
所以 f(x)min=f1=3-2a+a2=9 ，解得 a=1+ 7 或 a=1- 7 (舍去)．
综上， a 的值为 -3 或 1+ 7 ．

【解析】【分析】(1)求得 fx+1 的解析式，根据二次函数的对称轴，列出等式，即可求得结果；
(2)根据 fx 的对称轴与区间之间的位置关系，分类讨论，即可求得结果．
22.【答案】解：(1)当 a=0 时， x+y=2 ，则 x+y≥2 xy ，
得 2≥2 xy ，则 xy≤1 ，
当且仅当 x=y=1 时等号成立．
故 xy 的最大值为1．
(2)①当 a=1 时， x+y=xy-1 ，即 xy-1=y+1 ，
当 y=1 时显然不合题意，故 y≠1 ，
则 x=y+1y-1>0 ，则 y>1 或 y<-1 (舍去)．
则 x+2y=y+1y-1+2y=1+2y-1+2y=3+2y-1+2y-1≥3+2 2y-1⋅2y-1=7 ，
当且仅当 2y-1=2y-1 ，即 y=2 ，此时 x=3 时等号成立，故 x+2y 的最小值为7．
②解法一：令 m=x-1n=y-1 ，则 x=m+1y=n+1 ，
代入 x+y=xy-1 ，得 m+1+n+1=m+1n+1-1 ，整理得 mn=2 ．
由①的解答知 m>0,n>0 ，所以 1x-1+1y-1=1m+1n≥2 1m⋅1n= 2 ．
当且仅当 m=n= 2 ，即 x=y= 2+1 时等号成立．
故 1x-1+1y-1 的最小值为 2 ．
解法二：由 x+y=xy-1 ，得 x-1y-1=2 ．
由①的解答可知 y>1 ，则 x>1 ．
所以 1x-1+1y-1≥2 1x-1×1y-1= 2 ，
当且仅当 1x-1=1y-1 且 x-1y-1=2 ，即 x=y= 2+1 时，等号成立．
故 1x-1+1y-1 的最小值为 2 ．

【解析】【分析】(1)由基本不等式求解即可；
(2)①当 a=1 时，由 x=y+1y-1>0 解出 y 的范围，再由 x+2y=y+1y-1+2y=3+2y-1+2y-1 结合基本不等式求解即可；②解法一：令 m=x-1n=y-1 ，解出 x=m+1y=n+1 ，代入结合基本不等式即可得出答案；解法二：由题意可得出 x-1y-1=2 ，直接由基本不等式即可得出答案；