陕西省榆林市“府、靖、绥、横、定“五校2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题

这是一份陕西省榆林市“府、靖、绥、横、定“五校2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题，共4页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，黑水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．以为圆心，且经过点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．若，，则（ ）
A．B．C．22D．29
3．已知直线经过点，，则下列不在直线上的点是（ ）
A．B．C．D．
4．在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为（ ）
A．B．C．D．45
5．已知是空间的一个基底，，，若，则（ ）
A．B．0C．5D．6．
6．已知圆经过点，，且圆心在直线上，若为圆上的动点，则线段（为坐标原点）长度的最大值为（ ）
A．B．C．10D．
7．在四棱柱中，四边形是正方形，，，，则的长为（ ）
A．B．7C．6D．
8．已知圆和点，，若点在圆上，且，则实数的取值范目是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
11．已知圆和圆相交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．到直线的距离与到直线的距离之比为
12．如图，在长方体中，，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．异面直线和所成角的余弦值为
D．若为线段上的动点，则点到平面的距离不是定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．直线的倾斜角为__________．
14．已知是平面的一个法向岳，点，在平面内，则_________．
15．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为_______．
16．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知三条直线，和．
（1）若，求实数的值；
（2）若三条直线相交于一点，求实数的值．
18．（本小题满分12分）
在空间直角坐标系中，已知点，，，设，．
（1）若与互相垂直，求的值；
（2）求点到直线的距离．
19．（本小题满分12分）
已知，，，圆是的外接圆．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程．
20．（本小题满分12分）
在四棱锥中，平面，底面是正方形，，分别在棱，上且，．
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）
已知曲线C上任意一点到点的距离与到点的距离之比为．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，若圆过，，三点，证明圆恒过定点，并求出所有定点的坐标．
22．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，为棱的中点．
（1）求证：；
（2）棱（除两端点外）上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．
2023年秋季学期高二期中考试试题·数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 由题意知，圆心是，圆的半径，所以圆的方程为．故选B．
2．A 由，，得，，所以．故选A．
3．D 由直线的两点式方程，得直线的方程为，即，所以点，，都在直线上，点不在直线上．故选D．
4．B 由，知，所以梯形的高即为直线和间的距离，所以梯形的面积为．故选B．
5．D ，因为，所以存在实数，使得，所以，所以解得所以．故选D．
6．A 线段中点的坐标为，，所以线段的中垂线的斜率为，所以线段，，．故选A．
7．D 由题意知，所以，所以，即的长为．故选D．
8．C 设，由，得，即点在圆上，圆心为，半径．圆的圆心为，半径，又点在圆上，故圆与圆有公共点，所以，解得，即的取值范围是．故选C．
9．BC 当截距为0时，过点和原点，所以的方程为，即；当截距不为0时，设的方程为，由过点，得，解得，所以的方程为．故选BC．
10．AB 因为，，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故A正确；，，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；因为，所以，，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误；因为，所以，，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误．故选AB．
11．ABC 对于A项，若两个圆相交，则圆心，所在直线垂直平分两圆的公共弦，故A正确；对于B项，因为圆和圆相交于，两点，所以两圆相减得到，即，故B正确；对于C项，圆化为标准方程是，圆心到直线的距离为，所以，故C正确；对于D项，因为圆化为标准方程是，圆心到直线的距离为，所以到直线的距离与到直线的距离之比为，故D错误．故选ABC．
12．ACD 以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，对于，因为，，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，，，，设平面的法向量为，则即令，则，，所以平面的一个法向量为，因为与不平行，所以平面不成立，故B错误；对于C，，，设异面直线和所成的角为，则，故C正确；对于D，设，其中，所以，又平面的一个法向量为，所以点到平面的距离，不是定值，故D正确．故选ACD．
13． 由题意得该直线的斜率为，故其倾斜角为．
14．9 由，，得，因为是平面的一个法向量，点，在平面内，所以，所以，解得．
15．2 由题意知直线过定点，当直线和直线垂直时，圆心到直线的距离最大，最小，此时．根据弦长公式得的最小值为．
16． 由题可知，在的同侧，设点关于直线的对称点为，则解得即．将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，所以直线的方程为，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点，所以．
17．解：（1）因为，且，所以，解得．经检验，时，．
（2）由解得即与的交点为，
因为三条直线相交于一点，所以点在上，
所以，解得．
18．解：（1）由题意知，
，
所以，．
又与互相垂直，
所以，解得．
（2）由（1）知，，
所以，
所以点到直线的距离．
19．解：（1）设圆的一般方程为，
因为圆过，，三点，所以解得
所以圆的一般式方程为．
（2）由（1）可知圆心为，半径，又被圆截得的弦长为6，
所以由垂径定理可得圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，过点，
所以的方程为，圆心到直线的距离，故满足要求．
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，
又过点，所以直线的方程为，
由点到直线的距离公式可得，
解得，直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或．
20．（1）证明：如图，在棱上取点，使得，连接，，
因为，所以且，
由正方形，，得且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）解：若，则可设，所以．
以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则
由得
令，得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
21．（1）解：设曲线上一点坐标为，由已知得，
化简可得，即曲线的轨迹方程为．
（2）证明：由（1）知曲线是以为圆心，半径为的圆，
过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，
则，，所以，，，四点共圆，
即圆为的外接圆，圆心为的中点，半径为．
设，则，的中点为，，
所以圆的方程为，
即．
将变形，得，
所以解得或
所以圆恒过定点和．
22．（1）证明：取棱的中点，连接，．
因为四边形是菱形，所以，
又，所以为等边三角形，所以．
因为四边形为正方形且，分别是，的中点，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以．
（2）解：因为平面平面，平面平面，
且，平面，所以平面．
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则点，，，．
，，
设为平面的一个法向量，
则由及，得
不妨取，则．假设棱上（除端点外）存在点满足题意，
令，得，，，
设为平面的一个法向量，则由及，
得不妨取，得．
设，，
设为平面的一个法向量，
则由及，得
不妨取，得．
设平面与平面的夹角为，
则，解得或．
因为，，
所以在棱（除两端点外）上不存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为．