河北省石家庄市晋州市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份河北省石家庄市晋州市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分；7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．把一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为2，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．把方程转化成的形式，则m，n的值是（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．甲、乙两人在相同条件下，各射击10次，经计算，甲射击成绩的平均数是8环，方差是；乙射击成绩的平均数是8环，方差是．下列说法不一定正确的是（ ）
A．甲、乙成绩的总环数相同B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．甲、乙成绩的中位数可能相同D．甲、乙成绩的众数一定相同
5．若数据2，3，4，5，6，存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．如图，在矩形中，若，，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
7．如图，一壁厚均匀的容器外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量容器的内部直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（ ）

A．B．C．D．
8．如图所示，是一座建筑物的截面图，高，坡面的坡度为，则斜坡的长度为（ ）

A．B．C．D．
9．某厂家今年一月份的口罩产量是50万个，三月份的口罩产量是80万个，若设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为，则所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图所示，四边形和是以点O为位似中心的位似图形．若，四边形的面积是，则四边形的面积是（ ）

A．B．C．D．
11．如图所示，在平面直角坐标系中有四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（ ）

A．点B．点C．点D．点
12．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形的周长不变B．四边形的面积不变
C．D．
13．骐骥中学规定，学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．若嘉淇同学的三项成绩（百分制）依次是96分，92分，97分，则嘉淇这学期的体育成绩是（ ）
A．95分B．分C．分D．分
14．在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m，n是常数，）的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，坡角为的斜坡上有一棵大树（垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上树影的长为30米，则大树的高为（ ）
A．米B．米C．米D．米
16．如图所示，在中，，点P在边上（点P不与B，C重合，且，将沿翻折变为，交于点M，交于点N．则下列结论中，不一定正确的是（ ）

A．平分B．
C．D．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分．请把答案写在题目中的横线上）
17．古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶的影子处直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图所示，木杆长米．它的影长是米，同一时刻测得是米，则金字塔的高度是 米．
18．如果关于的方程的一个根是，则 ，方程的另一个根是 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点在双曲线上，顶点B在双曲线（，且）上，边在x轴上．

①若，则的长度为 ；
②若的面积是7，则k的值是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（1）计算：．
（2）解方程：．
21．已知，，是的三边长，且．
(1)求的值；
(2)若的周长为，求三边，，的长．
22．骐骥中学举办国庆歌咏比赛，共有十位评委老师现场打分．赛后，对嘉嘉、淇淇和欧欧三位参赛同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
①嘉嘉和淇淇两位同学10个得分的折线图
②欧欧10个得分的数据（单位：分）：
10，10，9，9，9，7，4，9，10，8．
③三位同学10个得分的平均数
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中的m是多少？
(2)嘉嘉同学10个得分的中位数是_________分，欧欧同学10个得分的众数是_________分；
(3)对于参赛同学，若某位同学10个得分数据的方差越小，则认为评委对该同学参赛的评价越一致．通过观察折线图或做相关计算，可以推断：在嘉嘉和淇淇两位同学中，评委老师们对_________的评价更为一致；
(4)如果把每位同学的10个得分先去掉一个最高分和一个最低分，再取剩余8个得分的平均分，最后得分越高，就认为该同学表现越优秀，据此推断：在嘉嘉、淇淇和欧欧三位同学中，表现最优秀的是_________．
23．如图所示，点B在的边上（点B不与点O，C重合），连接，设，，．已知．

(1)①若，，则_________；
②若，则_________；
(2)求证：关于x的方程必有两个不相等的实数根．
24．如图所示，矩形中，，，以点为圆心作半径的圆，交于点，点在线段上，过点作，交圆于两点，，连接，的延长线交于点．设（）．
(1)当时，=________；
(2)在从减少到的过程中，求点下降的高度；
(3)设的中点为，当点在线段上时，请直接写出的取值范围．
25．如图，在矩形中，，t为正数，点E是的中点，点P是线段上的一个动点（不与点A重合），点Q是的延长线上的一个动点（不与点C重合），且，连接，，与交于点O．设，的面积为，的面积为，并设．
(1)嘉淇认为，能用含有x的式子表示S，她的推理过程如下，请你补充完整：
∵,
且_________（用含x和t的式子表示），
_________（用含x和t的式子表示），
∴=_________（用含x的式子表示）．
(2)若，当时，求的长度（即x的值）；
(3)若，请结合t值的不同范围，写出的长度是多少？（结合表格进行分析，直接填写表格下面的三个空即可）
①_________；②▲1处填写：__________________；③▲2处填写：__________________．
26．数学课上，老师给出题目：如图所示，在中，，点，分别是边和边上的动点，且，连接，．请探究是否存在最小值？
并说明理由．
嘉淇的想法是把和转移到某处，并使它们“接在一起”，然后利用“两点之间，线段最短”尝试探索，并成功解决了问题．以下是她的探索思路，请你按要求补充具体解题过程．

(1)在射线上取点，使，把绕点顺时针旋转，使点落在点处，点落在点处．
①请你运用尺规作图（保留作图痕迹，不用给出证明），作出，并连接；
②求证：．
(2)在（1）的基础上，请你通过探索，求出的最小值，并直接写出此时的长度．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，先化为一般形式，进而根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】解：由题意得：，即，
∴若二次项系数为2，则一次项系数和常数项分别是，，
故选：B．
2．B
【分析】根据判别式即可判断求解．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
3．C
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再利用完全平方公式进行配方即可．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故m，n的值是，，
故选C．
4．D
【分析】本题考查了平均数、方差的意义．根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：各射击10次，甲射击成绩的平均数是8环，乙射击成绩的平均数是8环，甲、乙的总环数相同，故A正确，不符合题意；
，
故甲的成绩比乙的成绩稳定，乙的成绩比甲的成绩波动大，故B正确，不符合题意；
甲、乙成绩的中位数不能确定，可能相同，故C正确，不符合题意；
由已知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故D不一定正确，符合题意．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了众数和平均数，根据2，3，4，5，6各出现一次，数据2，3，4，5，6，存在唯一众数，得出为众数，再根据该组数据的平均数等于众数建立方程，解方程即可得到答案，熟练掌握众数的定义是解此题的关键．
【详解】解：2，3，4，5，6各出现一次，数据2，3，4，5，6，存在唯一众数，
为众数，
该组数据的平均数等于众数，
，
解得：，
故选：C．
6．C
【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，根据矩形可得，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，由勾股定理得：，
∴，即，
∴，
故选：．
7．B
【分析】本题考查相似三角形的应用，先根据条件证明，求出，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴零件的厚度x为，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度求得，解即可求解，求得是解题的关键．
【详解】解：∵坡面的坡度为，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：．
9．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为，则二月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，由此即可得出一元二次方程．
【详解】解：设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为，
由题意得：，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求出边形的面积，解题的关键是正确理解如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似比等于相似比，位似图形的面积比等于位似比的平方．
【详解】∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，，
∴，
∴，
∵四边形的面积为，
∴四边形的面积是，
故选：．
11．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据在第二象限内随的增大而增大 ，用平滑的曲线连接发现点不在函数的图象上，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：在第二象限内随的增大而增大 ，用平滑的曲线连接发现点不在函数的图象上，
，
故选：B．
12．D
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．
【详解】解：由题意可知，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，故符合题意，
随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，
故不符合题意，
故选：．
13．D
【分析】本题考查了加权平均数的计算，根据加权平均数的计算公式，用95分，90分，91分别乘以它们的百分比，再求和即可．熟练掌握公式是解题关键．
【详解】解：依题意得：
（分），
则嘉淇这学期的体育成绩是分，
故选D
14．C
【分析】本题考查的知识点是一次函数及反比例函数图像与性质，解题关键是结合函数解析式及选项图像判断m，n的取值范围是否相符．先根据一次函数图像判断m，n的取值范围，确定的取值范围后，即可判断反比例函数图像中的m，n的取值范围是否一致，从而判断选项是否正确．
【详解】A选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，A选项错误；
B选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，B选项错误；
C选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像相符，C选项正确；
D选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像不符，D选项错误．
故选：C．
15．C
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键，过点作，交的延长线于，根据余弦的定义求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于，
，
则，
米，
米，米，
在中，，
米，
米，
故选：C．
16．D
【分析】先根据翻折的性质可得，，，再根据三角形外角的性质得，即可得，判断A；然后根据两个角相等的两个三角形相似判断B；根据三角形内角和定理判断C；最后根据和的关系判断D即可．
【详解】根据翻折的性质可得，，．
∵是的外角，是的外角，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
可知A正确；
∵，
∴．
∵，
∴∽.
则B正确；
∵，，且，，
∴．
可知C正确；
无法确定和的关系，
∴无法确定和的关系．
可知D不正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定，三角形内角和等，理解翻折的性质是解题的关键．
17．
【分析】本题考查同一时刻物高和影长成正比．解题的关键是理解：如果光源是太阳，光线是平行照射的，此时物体的高度和影子的长度成正比例．据此列式解答即可．
【详解】解：根据题意知：相同时刻的物高与影长成正比，
设金字塔的高度为米，则：
∴，
解得：，
∴金字塔的高度是米．
故答案为：．
18． 2
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，将代入方程即可求出的值，再解方程即可得出方程的另一个根．
【详解】解：关于的方程的一个根是，
，
，
原方程为，
解得：，，
方程的另一个根是，
故答案为：2，．
19． 3
【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质以及反比例函数定义是解决本题的关键．
①先求出点A、B的坐标，则可求，然后根据平行四边形的性质求解即可；
②根据平行四边形的性质和点A的坐标可求，进而求出点B的坐标，即可求出k的值．
【详解】解：①∵在上，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴点B的纵坐标为2，
又点B在上，
∴点B的横坐标为，
∴，
∴；
②∵的面积是7，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3，．
20．（1）；（2），
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，解一元二次方程——配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程——配方法，进行计算即可解答．
【详解】（1）；
（2）
解移项，得
配方，得．
即
两边开平方，得
所以，方程的解为，．
21．(1)
(2)，，
【分析】本题考查了分式化简求值的运用，熟练掌握其方法，利用已知的比例关系，合理设出未知数，代入求值是解答本题的关键．
（1）由已知条件，确定了三边，，的比例关系，因此设，则，，代入，计算结果；
（2）由（1）设，则，，代入，求出的值，分别代入，，，求出三边，，的长．
【详解】（1）解：由已知条件知：
，
设，则，
（2）由（1）设，则，
，
得
，，．
22．(1)
(2)9；9
(3)淇淇
(4)欧欧
【分析】本题主要考查了求平均数，求中位数，求众数，利用方差判断稳定性等等，熟知平均数，中位数，众数的定义，方差与稳定性之间的关系是解题的关键．
（1）根据平均数等于10个得分之和除以10进行求解即可；
（2）根据中位数是一组数据中处在最中间的那个数或处在最中间的两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解即可；
（3）由折线图可得嘉嘉得分的波动比淇淇得分的波动大，即嘉嘉得分的方差比淇淇的大，据此可得答案；
（4）同（1）计算出三人的平均分即可得到答案．
【详解】（1）解：由折线图可知，淇淇同学的十个得分依次为：9，8，9，8，9，9，7，9，8，9
∴．
（2）解：由折线图可知，嘉嘉的十个得分从小到大排列为6，7，7，8，9，9，9，10，10，10，
∴嘉嘉十个得分中处在最中间的两个得分分别为9分，9分，
∴嘉嘉同学10个得分的中位数是分，
欧欧10个得分分别为4，7，8，9，9，9，9，10，10，10，
∴欧欧同学10个得分的众数是9分，
故答案为：9；9；
（3）解：由折线统计图可知，嘉嘉得分的波动比淇淇得分的波动大，即嘉嘉得分的方差比淇淇的大，
∴评委老师们对淇淇的评价更为一致，
故答案为：淇淇；
（4）解：嘉嘉的平均分为分，
淇淇的平均分为分，
欧欧的平均分为分，
∵，
∴表现最优秀的是欧欧，
故答案为：欧欧．
23．(1)①18；②
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式，证明是解题的关键．
（1）根据两组对角相等证明，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解；
（2）结合（1）中结论判断一元二次方程的根的判别式是否大于0即可．
【详解】（1）解：在和中，
∵，且共用，
∴，
∴，
∴，即，
①若，，则；
②若，则，
∴，
∴；
（2）证明：对于一元二次方程，
∵根的判别式，
∴方程必有两个不相等的实数根．
24．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）由，，得到，即可求出的长；
（）分别求出和时的长度，相减即可求出点下降的高度；
（）利用相似三角形分别求出点在点时的值，即可求出的取值范围；
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质和运算是解题的关键．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）在矩形中，，
∵，，
∴，
当时，，，
则，
∴，
当时，，，
则，
∴，
∴在从减少到的过程中，点下降的高度为；
（3）当点与点重合时，过点作于，如图所示，
∵，，
∴，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
解得；
当点与点重合时，如图所示，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴．
25．(1)；；
(2)
(3)①；②2；③2或6
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程在几何中的应用．注意计算的准确性，结合实际情况进行检验．
（1）根据题意分别表示出，即可求解；
（2）令求出，根据“点P是线段上的一个动点”进行检验即可；
（3）令求出，分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
；
；
故答案为：；；
（2）解：当时，有，
解得，．
即或
∵E是的中点，
∴，
故．
∴．
（3）解：令，解得：，
∵E是的中点，
∴，
，即时，的长度不存在；
，即时，；
，即时，或；
故答案为：①；②2；③2或6
26．(1)①见解析；②见解析
(2)，
【分析】（1）①根据题目的描述，完成作图即可；②利用“”证明，根据全等三角形的性质，即可证明；
（2）由旋转的性质可知，，，由（1）可知，，易知，，连接，交于点，根据“两点之间，线段最短”可知当与重合时，取最小值，在中利用勾股定理可解得，即的最小值为；此时，过点作，垂足为， ，则，证明，由相似三角形的性质列式求得的值，即可求得此时的长度．
【详解】（1）解：①尺规作图的结果如图所示；

②证明：∵，
∴，
又∵，，
∴
∴；
（2）∵，，
∴，，
由旋转的性质可知，，，
由（1）可知，，
∴，，
如下图，连接，交于点，
∵点，均为固定点，

则，
当与重合时，取最小值，
此时，
∴的最小值为，
当与重合时，过点作，垂足为，
则，即为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，熟练运用旋转的性质和全等三角形的性质是解题关键．
同学
嘉嘉
淇淇
欧欧
平均数（分）
m
t的取值范围
的长度（x）
不存在
▲1
▲2