高考物理一轮复习第4章第4节万有引力与宇宙航行课时学案

这是一份高考物理一轮复习第4章第4节万有引力与宇宙航行课时学案，共16页。学案主要包含了开普勒行星运动定律，万有引力定律，宇宙速度等内容，欢迎下载使用。


一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2．开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3．开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：eq \f(a3,T2)＝k。
二、万有引力定律
1．内容
(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。
(2)引力的方向在它们的连线上。
(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式
F＝Geq \f(m1m2,r2)
其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪什扭秤实验测定。
3．适用条件
(1)两个质点之间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时物体可视为质点。
(2)对质量分布均匀的球体，r为两球心间的距离。
(3)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引力的计算，r为质点到球心间的距离。
三、宇宙速度
1．三种宇宙速度比较
2．第一宇宙速度的计算方法
(1)由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(\f(GM,R))。
(2)由mg＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(gR)。
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(×)
(2)只有天体之间才存在万有引力。(×)
(3)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq \f(m1m2,r2)计算物体间的万有引力。(×)
(4)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(×)
(5)第一宇宙速度与地球的质量有关。(√)
(6)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。(×)
二、教材习题衍生
1．(粤教版必修第二册改编)两个质量均匀的球形物体，两球心相距r时它们之间的万有引力为F，若将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为( )
A．2F B．4F C．8F D．16F
D [由M＝eq \f(4,3)πR3ρ可知，两球半径加倍后，其质量M′＝8M，又r′＝2r，由万有引力定律F＝eq \f(GM·M,r2)，F′＝eq \f(GM′·M′,r′2)，可得F′＝16F，选项D正确。]
2．(鲁科版必修第二册改编)一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R。则飞船所在处的重力加速度大小( )
A．eq \f(Hg,R) B．eq \f(Rg,H＋R) C．eq \f(R2g,H＋R2) D．eq \f(H2g,R2)
C [忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力，则在地球表面eq \f(GMm,R2)＝mg，在离地面的高度为H处eq \f(GMm,R＋H2)＝mg′，解得g′＝eq \f(gR2,R＋H2)，选项C正确。]
3．(人教版必修第二册改编)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”约为( )
A．2 km/sB．4 km/s
C．16 km/sD．32 km/s
C [设地球质量为M，某行星质量为6M，地球半径为r，某行星半径为1.5r，由万有引力提供向心力做匀速圆周运动得Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(mv2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，分别代入地球和某行星的各物理量得v地球＝eq \r(\f(GM,r))，v行星＝eq \r(\f(6GM,1.5r))＝2eq \r(\f(GM,r))＝2v地球＝16 km/s，故C正确。]
开普勒行星运动定律
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2．微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知eq \f(1,2)va·Δt·a＝eq \f(1,2)vb·Δt·b，可得va＝eq \f(vbb,a)。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
[题组突破]
1．(开普勒定律内容的理解)对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法正确的是( )
A．开普勒通过自己长期观测，记录了大量数据，通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律
B．根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨迹是圆，太阳处于圆心位置
C．根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大；距离太阳越远，其运动速度越小
D．根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
C [第谷进行了长期观测，记录了大量数据，开普勒通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律，选项A错误；行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，选项B错误；根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大，距离太阳越远，其运动速度越小，选项C正确；根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方成正比，选项D错误。]
2．(开普勒第二定律的应用)(多选)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于eq \f(T0,4)
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
CD [由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为eq \f(1,2)T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于eq \f(1,4)T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确。]
3．(开普勒第三定律的应用)太阳系中有一颗绕太阳公转的行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的4倍，则该行星绕太阳公转的周期是( )
A．10年 B．2年 C．4年 D．8年
D [设地球半径为R，则行星的半径为4R，根据开普勒第三定律得eq \f(R3,T2)＝eq \f(4R3,T\\al( 2,行))，解得T行＝eq \r(43)T＝8T，故D正确。]
万有引力定律的理解及应用
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：
mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2)。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2)。
3．估算天体质量和密度的两种方法
(1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G)。
②天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)。
(2)“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)。
[典例1] 卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运动周期为T，地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．卫星的线速度大小为v＝eq \f(2πR,T)
B．地球的质量为M＝eq \f(4π2R3,GT2)
C．地球的平均密度为ρ＝eq \f(3π,GT2)
D．地球表面重力加速度大小为g＝eq \f(4π2r3,T2R2)
D [卫星的线速度大小为：v＝eq \f(2πr,T)，故A错误；根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，故B错误；地球密度为ρ＝eq \f(M,V)，其中V＝eq \f(4,3)πR3，联立以上可得ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)，故C错误；在地球表面根据万有引力等于重力Geq \f(Mm,R2)＝mg，又M＝eq \f(4π2r3,GT2)，联立解得：g＝eq \f(4π2r3,R2T2)，故D正确。]
[跟进训练]
1．(万有引力定律的理解及简单计算)(2021·山东卷)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1
B [悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝Geq \f(Mm,R2)，可得eq \f(F祝融,F玉免)＝Geq \f(M火m祝融,R\\al( 2,火))∶Geq \f(M月m玉免,R\\al( 2,月))＝eq \f(9,22)×2＝eq \f(9,2)，故选B。]
2．(重力与万有引力的关系)(多选)如表格中列出一些地点的重力加速度，表中数据的规律可表述为：随着地面上地点纬度的增大，该处的重力加速度增大。已知地面不是标准球面，纬度越大的地点半径越小，是形成表格所示规律的原因，以下说法正确的有( )
A．地面物体的重力等于所受地球引力的大小与随地球自转所需向心力大小之差
B．地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大
C．地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而增大
D．地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大
BD [地面物体的重力等于所受地球引力的大小与随地球自转所需向心力矢量之差，故A错误；由题可知，地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大，故B正确；由F向＝mω2r可得地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而减小，故C错误；如图所示，可得出地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大，故D正确。]
3．[天体质量(密度)的估算]1789年英国物理学家卡文迪什测出引力常量G，因此卡文迪什被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是( )
A．地球的质量m地＝eq \f(GR2,g)
B．太阳的质量m太＝eq \f(4π2L\\al(3,2),GT\\al( 2,2))
C．月球的质量m月＝eq \f(4π2L\\al( 2,1),GT\\al( 2,1))
D．由题中数据可求月球的密度
B [若不考虑地球自转，根据地球表面物体所受的万有引力等于重力，有Geq \f(m地m,R2)＝mg，则m地＝eq \f(gR2,G)，故A错误；根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有Geq \f(m太m地,L\\al( 2,2))＝m地eq \f(4π2,T\\al( 2,2))L2，则m太＝eq \f(4π2L\\al(3,2),GT\\al( 2,2))，故B正确；由题中数据无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，故C、D错误。]
宇宙速度及卫星运行参数的分析与计算
1．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星在地球附近绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
2．物理量随轨道半径变化的规律
3．同步卫星的六个“一定”
[典例2] (2022·广东卷)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
D [由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r可得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可得v＝eq \r(\f(GM,r))，火星的公转线速度小于地球的公转线速度，故A错误；根据ω＝eq \f(2π,T)可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq \f(GM,r2)，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。]
利用万有引力定律解决卫星运动的技巧
(1)一个模型：天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。
(2)两条思路：
①万有引力提供向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝ma。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg或GM＝gR2(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式GM＝gR2应用广泛，被称为“黄金代换”。
(3)一个注意：a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较。
[跟进训练]
1．(宇宙速度的理解与计算)(2020·北京卷)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
A [当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，故A正确；第二宇宙速度是探测器脱离地球的引力到太阳系中的临界条件，当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球运动，故B错误；万有引力提供向心力，则有：eq \f(GMm,R2)＝eq \f(mv\\al( 2,1),R)，解得第一宇宙速度为：v1＝eq \r(\f(GM,R))，所以火星的第一宇宙速度为：v火＝eq \r(\f(10%,50%))v地＝eq \f(\r(5),5)v地，因此火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；万有引力近似等于重力，则有：eq \f(GMm,R2)＝mg，解得火星表面的重力加速度g火＝eq \f(GM火,R\\al( 2,火))＝eq \f(10%,50%2)g地＝eq \f(2,5)g地，所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。故选A。]
2．(卫星运行参量的分析与比较)(2022·山东省济南市高三一模)2021年10月14日，我国成功发射首颗太阳探测科学技术试验卫星“羲和号”，实现我国太阳探测零的突破，这标志着我国正式步入“探日”时代。“羲和号”卫星运行于离地高度h＝517公里的太阳同步轨道，该轨道是经过地球南北极上空且圆心在地心的圆周。“羲和号”卫星与离地高度H＝357 86公里的地球静止轨道同步卫星相比，下列说法正确的是( )
A．“羲和号”卫星的轨道平面可能与同步卫星的轨道平面重合
B．“羲和号”卫星绕地球做匀速圆周运动的周期小于同步卫星的周期
C．“羲和号”卫星绕地球做匀速圆周运动的加速度小于同步卫星的加速度
D．“羲和号”卫星的线速度与同步卫星的线速度大小之比等于eq \r(\f(H,h))
B [“羲和号”卫星的轨道经过地球南北极上空；而同步卫星轨道是与地球赤道共面，则“羲和号”卫星轨道平面不可能与同步卫星的轨道平面重合，选项A错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r可得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，“羲和号”卫星轨道半径小于同步卫星的轨道半径，可知“羲和号”卫星绕地球做匀速圆周运动的周期小于同步卫星的周期，选项B正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq \f(GM,r2)，可知“羲和号”卫星绕地球做匀速圆周运动的加速度大于同步卫星的加速度，选项C错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可得v＝eq \r(\f(GM,r))，“羲和号”卫星的线速度与同步卫星的线速度大小之比等于eq \r(\f(H＋R,h＋R))，选项D错误。]
3．(同步卫星规律及特点)我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉卫星发射中心成功发射，将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信。“墨子”将由火箭发射至高度为500 km的预定圆形轨道。此前在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7，G7属于地球静止轨道卫星(高度约为36 000 km)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高。关于卫星以下说法中正确的是( )
A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/s
B．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方
C．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7的周期小
D．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7的小
C [根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，知轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度的轨道半径为地球的半径，所以第一宇宙速度是绕地球做匀速圆周运动最大的环绕速度，所以北斗G7和量子科学实验卫星“墨子”的线速度均小于地球的第一宇宙速度，故A错误；北斗G7即地球静止轨道卫星，只能定点于赤道正上方，故B错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，所以量子科学实验卫星“墨子”的周期小，故C正确；卫星的向心加速度a＝eq \f(GM,r2)，半径小的量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7的大，故D错误。]
4．(地面物体、同步卫星与其他卫星的比较)(2022·山东省枣庄市八中高三月考)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近的轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有( )
A．c在4个小时内转过的圆心角是eq \f(π,3)
B．a的向心加速度等于重力加速度g
C．线速度大小关系为va>vb>vc>vd
D．d的运动周期有可能是20小时
A [c是同步卫星，运动周期为24 h，因此在4 h内转过的圆心角θ＝eq \f(2π,24)×4＝eq \f(π,3)，A正确；由于卫星a还未发射，与同步卫星具有相同角速度，根据an＝rω2可知，a的向心加速度小于同步卫星的向心加速度，卫星c是地球同步卫星，有Geq \f(Mm,R＋h2)＝mac，卫星b是近地轨道卫星，因此有Geq \f(Mm,R2)＝mg＝mab，由以上计算分析可知，卫星b的向心加速度大于卫星c的向心加速度，也大于卫星a的向心加速度，因此卫星a的向心加速度小于重力加速度g，故B错误；由于a、c的角速度相等，根据v＝ωr可知va数值(km/s)
意义
第一宇宙速度
7.9
地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也是最小发射速度(最大环绕速度)
第二宇宙速度
11.2
物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度(脱离速度)
第三宇宙速度
16.7
物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度(逃逸速度)
地点
纬度
重力加速度
赤道海平面
0°
9.780 m/s2
马尼拉
14°35′
9.784 m/s2
广州
23°06′
9.788 m/s2
上海
31°12′
9.794 m/s2
东京
35°43′
9.798 m/s2
北京
39°56′
9.801 m/s2
莫斯科
55°45′
9.816 m/s2
北极
90°
9.832 m/s2