北京市第八十中学2023-2024学年八年级上学期9月月考数学试题

这是一份北京市第八十中学2023-2024学年八年级上学期9月月考数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题。
1．下列结论正确的是（ ）
A．形状相同的两个图形是全等形
B．对应角相等的两个三角形是全等三角形
C．全等三角形的面积相等
D．两个等边三角形全等
2．如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再测得AD的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
3．如图，AB＝DB，∠1＝∠2，欲证△ABE≌△DBC，则补充的条件中不正确的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠E＝∠CC．∠A＝∠CD．BC＝BE
4．已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中与△ABC全等的是（ ）
A．甲、乙B．乙、丙C．只有乙D．只有丙
5．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
6．如图，点C是AB的中点，AD＝BE，CD＝CE，则图中全等三角形共有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
7．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180°B．360°C．270°D．540°
8．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，∠ABC＝∠ACB，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）
A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°
10．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
二、填空题。
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，点D是AB延长线上的一点，则∠CBD的度数是 °．
12．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，测量工件内槽宽AB＝A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是 ．
13．如图，∠MAB为锐角，AB＝a，使点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ．
14．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 ．
15．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，请你添加一个适当的条件 （填写一个即可），使得△ABC≌△DEC．
16．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，
连接BF，CE．下列说法：①△ABD和△ACD面积相等； ②∠BAD＝∠CAD；
③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的有 ．（把你认为正确的序号都填上）
17．如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．
18．如图，△ABC中，AB＝14，AC＝12，沿过B点的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，△CDE的周长为15，则BC长为
19．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 ．
20．如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于 ．
三、解答题。
21．尺规作图：求作一点D，使得△DBC与△ABC全等．
要求：画出所有符合题意的点D，保留作图痕迹．
22．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求证：BE＝CD．
23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．求证：△ABD≌△BCE．
24．如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．
25．如图，已知∠MON＝90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，∠OAB的平分线与∠OBA的外角平分线交于点C．
（1）当OA＝OB时，∠ACB＝ ．
（2）请你猜想：随着A、B两点的移动，∠ACB的度数大小是否变化？请说明理由．
26．问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．
方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题。
1．【分析】根据全等图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为形状相同，大小相等的两个图形是全等形，故本选项错误；
B、应为对应角相等，对应边相等的两个三角形是全等三角形，故本选项错误；
C、全等三角形的面积相等，正确，故本选项正确；
D、应为两个边长相等的等边三角形全等，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了全等图形的定义，以及全等三角形的性质，要注意从形状和大小两个方面考虑求解．
2．【分析】利用∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，加上公共边可根据“SSS”判断△ABC≌△ADC．
【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
3．【分析】从已知看，已经有一边和一角相等，则添加一角或夹这角的另一边即可判定其全等，从选项看只有第三项符合题意，所以其为正确答案，其它选项是不能判定两三角形全等的．
【解答】解：∵∠1＝∠2
∵∠1+∠DBE＝∠2+∠DBE
∴∠ABE＝∠CBD
∵AB＝DB，∠A＝∠D，
在△ABE和△DBC中，
∴△ABE≌△DBC（ASA），A是可以的；
∵∠E＝∠C，
在△ABE和△DBC中，
∴△ABE≌△DBC（AAS），B是可以的；
∵BC＝BE，
在△ABE和△DBC中，
∴△ABE≌△DBC（SAS），D是可以的；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）逐个判断即可．
【解答】解：已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝58°，∠A＝72°，BC＝a，AB＝c，AC＝b，∠C＝58°，
图甲：只有一条边和AB相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和△ABC不全等；
图乙：只有两个角对应相等，还有一条边对应相等，符合三角形全等的判定定理（AAS），即和△ABC全等；
图丙：符合SAS定理，能推出两三角形全等；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
5．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
6．【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：∵点C是以AB的中点，
∴AC＝BC，
∵AD＝BE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠D＝∠E，∠A＝∠B，∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACG＝∠BCH，
∴△ACG≌△BCH（ASA），
∴CG＝CH，
∴EG＝DH，△ECH≌△DCG（ASA），
∵∠EFG＝∠DFH，
∴△EFG≌△DFH（AAS）；
∴图中全等三角形共有4对，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7．【分析】根据三角形外角的性质，可得∠1与∠E、∠F的关系，∠1、∠2、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：如图延长AF交DC于G点，
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠1＝∠E+∠F，∠2＝∠1+∠D，
由等量代换，得∠2＝∠E+∠F+∠D，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠A+∠B+∠2+∠C＝（4﹣2）×180°＝360°．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此题的关键．
8．【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，故①正确；
∠EAF＝∠BAC，
∴∠FAC＝∠EAB≠∠FAB，故②错误；
EF＝BC，故③正确；
∠EAB＝∠FAC，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．
9．【分析】先根据全等三角形的性质得到∠OAB＝∠DAC，AB＝AC，则利用等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝β，再根据平行线的性质得到∠OAB＝∠ABC＝β，∠OAC+∠ACB＝180°，所以∠DAC＝β，从而得到α+β+β＝180°．
【解答】解：∵△AOB≌△ADC，
∴∠OAB＝∠DAC，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣β，
∵BC∥OA，
∴∠OAB＝∠ABC＝β，∠OAC+∠ACB＝180°，
∴∠DAC＝90°﹣β，
∵∠OAD+∠DAC+∠ACB＝180°，
∴α+90﹣β+90﹣β＝180°，
即α＝2β．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了平行线的性质．
10．【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB＝∠DAB，计算即可．
【解答】解：作MN⊥AD于N，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN＝MC，
∵M是BC的中点，
∴MC＝MB，
∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB＝∠DAB＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
二、填空题。
11．【分析】根据三角形外角的性质可直接求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝48°，
∴∠CBD＝∠ACB+∠A＝90°+48°＝138°，
故答案为138．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
12．【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边A′B′上，进而得出答案．
【解答】解：连接AB，A′B′，如图，
∵点O分别是AA′、BB′的中点，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴A′B′＝AB．
答：需要测量A′B′的长度，即为工件内槽宽AB．
其依据是根据SAS证明△AOB≌△A′OB′；
故答案为：根据SAS证明△AOB≌△A′OB′．
【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．
13．【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可．
【解答】解：过B作BD⊥AM于D，
∵点B到射线AM的距离为d，
∴BD＝d，
①如图，
当C点和D点重合时，x＝d，此时△ABC是一个直角三角形；
②如图，
当d＜x＜a时，此时C点的位置有两个，即△ABC有两个；
③如图，
当x≥a时，此时△ABC是一个三角形；
所以x的范围是x＝d或x≥a，
故答案为：x＝d或x≥a．
【点评】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键．
14．【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS定理得到△COD≌△C'O'D'，由全等三角形的对应角相等得到∠A′O′B′＝∠AOB．
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，
在△COD与△C′O′D′中，
，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：SSS．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的对应角相等是正确解答本题的关键．
15．【分析】已知两个三角形的一组对应角相等和已知对应边相等，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．
【解答】解：添加条件是：BC＝EC，
在△ABC与△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
故答案为：BC＝EC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．
【解答】解：∵BD＝CD，点A到BD、CD的距离相等，
∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE，故③正确；
∴∠F＝∠DEC，
∴BF∥CE，故④正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
17．【分析】根据HL证明Rt△BED≌Rt△CDF即可解决问题；
【解答】解：∵FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，
∴∠BED＝∠FDC＝90°，
∵BE＝CD，BD＝CF，
∴Rt△BED≌Rt△CDF（HL），
∴∠BDE＝∠CFD，
∵∠AFD＝145°，
∴∠DFC＝35°，
∴∠BDE＝35°，
∴∠EDF＝90°﹣35°＝55°，
故答案为55°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．【分析】依据折叠可得BE＝AB＝14，AD＝ED，进而得出DE+CD＝12，再根据△CDE的周长为15，可得CE＝3，即可得到BC＝BE+CE＝17．
【解答】解：由折叠可得，BE＝AB＝14，AD＝ED，
∵AC＝12，
∴AD+CD＝12，
∴DE+CD＝12，
又∵△CDE的周长为15，
∴CE＝15﹣12＝3，
∴BC＝BE+CE＝14+3＝17，
故答案为：17．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
19．【分析】直接利用全等图形的性质得出∠1＝∠DEC，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：△ACB≌△ECD，
则∠1＝∠DEC，
∵∠2+∠DEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故答案为：90°．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
20．【分析】延长AD交BC于E，由AAS证明△ABD≌△EBD，得出AD＝ED，得出△ABD的面积＝△EBD的面积，△CDE的面积＝△ACD的面积＝20，即可得出结果．
【解答】解：延长AD交BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD＝ED，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积，△CDE的面积＝△ACD的面积＝20，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积＝△BCD的面积﹣△CDE的面积＝45﹣20＝25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出AD＝ED是解决问题的关键．
三、解答题。
21．【分析】根据“ASA”作图．
【解答】解：如图：
作∠DBC＝∠D′BC＝∠D″CB＝∠BAC，∠DCB＝∠D′CB＝∠D″BC＝∠ABC，
点D、D′、D″即为所求．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
22．【分析】首先证明∠BAE＝∠CAD，再利用SAS证明△BAE≌△CAD即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用SAS证明△BAE≌△CAD，此题难度不大．
23．【分析】根据全等三角形的判定定理ASA证得结论．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠BCE+∠CBD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA），
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
24．【分析】过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE＝PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，则∠PCE＝∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC＝PD．
【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，
∴∠PEC＝∠PFD＝90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF，
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
而∠PDO+∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF，
在△PCE和△PDF中，
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PC＝PD．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．
25．【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义计算即可．
（2）随着A、B两点的移动，∠ACB的度数大小不会变化．根据三角形内角和定理三角形的外角的性质角平分线的定义计算即可．
【解答】解：（1）∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
∴∠OBD＝135°，
∵∠OAB的平分线与∠OBA的外角平分线交于点C，
∴∠OBC＝67.5°，∠CAB＝22.5°，
∴∠ACB＝180°﹣67.5°﹣45°﹣22.5°＝45°
故答案为45°．
（2）随着A、B两点的移动，∠ACB的度数大小不会变化．
理由如下：∵AC平分∠OAB
∴∠BAC＝∠OAC＝∠OAB，
∵BC平分∠OBA的外角∠OBD
∴∠CBD＝∠OBC＝∠OBD，
∵∠OBD是△AOB的一个外角
∴∠OBD＝∠MON+∠OAB＝90°+∠OAB
∴∠CBD＝∠OBD＝（90°+∠OAB）
＝45°+∠OAB
∵∠CBD是△ABC的一个外角
∴∠CBD＝∠ACB+∠BAC
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠BAC
＝45°+∠OAB﹣∠OAB
＝45°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．【分析】（1）在AC上截取CD＝AN，连接OD，证明△CDO≌△ANO，根据全等三角形的性质得到OD＝ON，∠COD＝∠AON，证明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，结合图形证明结论；
（2）在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，仿照（1）的方法解答．
【解答】解：（1）CM＝AN+MN，
理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD，
∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴OA＝OC，
在△CDO和△ANO中，
，
∴△CDO≌△ANO（SAS）
∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，
∵∠MON＝60°，
∴∠COD+∠AOM＝60°，
∵∠AOC＝120°，
∴∠DOM＝60°，
在△DMO和△NMO中，
，
∴△DMO≌△NMO，
∴DM＝MN，
∴CM＝CD+DM＝AN+MN；
（2）补全图形如图2所示：
CM＝MN﹣AN，
理由如下：在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，
在△CDO和△ANO中，
，
∴△CDO≌△ANO（SAS）
∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，
∴∠DOM＝∠NOM，
在△DMO和△NMO中，
，
∴△DMO≌△NMO（SAS）
∴MN＝DM，
∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．

【点评】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．