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2024池州贵池区高二上学期期中考试数学试卷含解析
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（考试时间：120分钟 满分：150分）
命题单位：池州二中
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3．请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 直线：与直线：平行，则（ ）
A. B. C. 2D.
2. 已知两条直线和的交点为，则过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则的值为（ ）
A. B.
C 2D. 4
4. 如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知四面体的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. D. 4
7. 已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A 当时，三点共线
B. 当时，平面
C. 当时，平面
D. 当时，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 对于空间一点O，下列命题中正确的是（ ）．
A 若，则P，A，B，C四点共面
B. 若，则P，A，B，C四点共面
C. 若，则P，A，B三点共线
D. 若，则B是线段AP的中点
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
B. 曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为
C. 已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过点
11. 已知左、右焦点分别是，的椭圆C：的离心率为e，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则下列说法中正确的有（ ）
A. 的周长为4a
B. 若直线OP的斜率为，AB的斜率为，则
C. 若，则e的最小值为
D. 若，则e的最大值为
12. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若平面与平面的交线为，则AC//l
C. 三棱柱的外接球的表面积为
D. 当该几何体有外接球时，点到平面的最大距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 圆与圆交点为A，B，则弦AB的长为______．
14. 已知点，点，则直线的倾斜角为_______．
15. 如图，已知两个正四棱锥与的高分别为1和2，，则异面直线AQ与BP所成角的余弦值为______．
16. 已知椭圆，、是坐标平面内的两点，且与椭圆的焦点不重合．若关于椭圆的焦点的对称点分别为、，线段的中点在椭圆上，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知圆经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点向圆作切线，求切线方程.
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，点为上顶点，直线交椭圆于点.
（1）若，，求点的坐标；
（2）若，求椭圆的离心率.
19. 如图，四边形与四边形是全等的矩形，.
（1）若P是棱的中点，求证：平面平面；
（2）若P是棱上点，直线BP与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值.
20. 如图，和都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面．
（1）证明：平面；
（2）若点E到平面的距离为，求平面与平面夹角的正切值．
21. 如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.
（1）求证：；
（2）若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上.
（1）设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程；
（2）设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标.
（考试时间：120分钟 满分：150分）
命题单位：池州二中
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3．请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 直线：与直线：平行，则（ ）
A. B. C. 2D.
2. 已知两条直线和的交点为，则过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则的值为（ ）
A. B.
C 2D. 4
4. 如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知四面体的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. D. 4
7. 已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A 当时，三点共线
B. 当时，平面
C. 当时，平面
D. 当时，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 对于空间一点O，下列命题中正确的是（ ）．
A 若，则P，A，B，C四点共面
B. 若，则P，A，B，C四点共面
C. 若，则P，A，B三点共线
D. 若，则B是线段AP的中点
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
B. 曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为
C. 已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过点
11. 已知左、右焦点分别是，的椭圆C：的离心率为e，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则下列说法中正确的有（ ）
A. 的周长为4a
B. 若直线OP的斜率为，AB的斜率为，则
C. 若，则e的最小值为
D. 若，则e的最大值为
12. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若平面与平面的交线为，则AC//l
C. 三棱柱的外接球的表面积为
D. 当该几何体有外接球时，点到平面的最大距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 圆与圆交点为A，B，则弦AB的长为______．
14. 已知点，点，则直线的倾斜角为_______．
15. 如图，已知两个正四棱锥与的高分别为1和2，，则异面直线AQ与BP所成角的余弦值为______．
16. 已知椭圆，、是坐标平面内的两点，且与椭圆的焦点不重合．若关于椭圆的焦点的对称点分别为、，线段的中点在椭圆上，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知圆经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点向圆作切线，求切线方程.
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，点为上顶点，直线交椭圆于点.
（1）若，，求点的坐标；
（2）若，求椭圆的离心率.
19. 如图，四边形与四边形是全等的矩形，.
（1）若P是棱的中点，求证：平面平面；
（2）若P是棱上点，直线BP与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值.
20. 如图，和都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面．
（1）证明：平面；
（2）若点E到平面的距离为，求平面与平面夹角的正切值．
21. 如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.
（1）求证：；
（2）若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上.
（1）设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程；
（2）设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标.
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