河南省信阳市信阳高级中学2023-2024学年高三上学期11月第一次模拟数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省信阳市信阳高级中学2023-2024学年高三上学期11月第一次模拟数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．
1．若集合,则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是单位向量，若,则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．设,则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知,则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
6．尼知的数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在四棱雉中，底面是直角梯形，．若,且三棱雉的外接球的表面积为，则当四棱雉的体积最大值时，长为（ ）
A． B．2 C． D．
8．已知则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．己知复数，下列命题正确的是（ ）
A． B．若,则 C． D．
10．己知等比数列的公比为,前项积为,若,则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直角梯形中，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．则下列说法正确的有（ ）
A．平面 B．四棱雉外接球的体积为
B．二面角的大小为 D．与平面所成角的正切值为
12．定义在的函数满足,且都有，若方程的解构成单调递增数列,则下列说法中正确的是（ ）
A． B．若数列为等差数列，则公差为6
C．若,则 D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知等差数列满足,则公差__________．
14．己知函数（,且），曲线在点处的切线与直线平行，则__________．
15．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具，为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味如今也成为了一种颇具意趣的藏品，如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的倲棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是__________．
16．己知函数,不等式对任意的恒成立，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）己知函数,
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围
18．（2分）已知函数的图象相邻两条对称轴间的距离为，函数的最大值为2，且__________．
请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上，①为奇函数；②当时；③是函数的一条对称轴并解答下列问题：
（1）求函数的解析式；
（2）在中，分别是角的对边，若的面积,求的值．
19．（12分）己知数列中，
（1）令,求证：数列是等比数列；
（2）令,当取得最大值时，求的值．
20．（12分）如图，在梯形中，．
（1）若，求梯形面积；
（2）若,求．
21．（12分）如图，五面体中，平面，为直角梯形，，．
（1）若为的中点，求证：平面
（2）求的余弦值．
22．（12分）（1）证明：当时，;
河南省信阳高级中学2023-2024学年高三上期11月一模
数学答案
一、选择题：
8．因为，
所以；令,所以在上单调递增，
因为，所以,即,
所以．
所以；同理，所以,即,也即,
所以,所以．
综上，,故选：D．
11．解：对于A,为中点，,∴四边形为平行四边形，
又,∴四边形为矩形，；，,又平面,
平面,A正确；
对于B,,即平面平面,
,又平面平面；
∵矩形的外接圆半径，∴四棱锥的外接球半径，∴四棱锥外接球的体积，B正确；对于C,平面平面，
；又,∴二面角的平面角为,
，∴二面角的大小为,C正确；
对于D,平面即为直线与平面所成角，，，即直线直线与平面所成角的正切值为，D错误．故选：ABC．
12．解：都有,关于对称，令,则,即．∵在的函数满足的周期为6，作出函数在内的图象如图：
A．,故A正确．
B．由图象可知：若数列为等差数列，则,此时与在内有且仅有一个交点，周期是6，即,即数列的公差为6，故B正确，
C．若,即,可得,则,即与在内有且仅有2个交点，结合图象可得，故C错误；
D．若,则与在内有且仅有3个交点，且,则,∴数列是以7为首项，公差的等差数列，可得,,故D正确．故选：ABD．
二、填空题：
13．2 14． 15． 16．1
16．解：因为,
所以为上的奇函数，
又，
所以在上单调递增．
因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．令,所以,
所以当时，在上为增函数；
当时，在上为减函数．
所以,设,显然为上的增函数，因为，所以存在，使得,所以,此时,
所以，即的最大值为1．故答案为：1．
三、解答题
17．解：（1）由得,
令,得,
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为． （5分）
（2）由即在上恒成立，
得令，
则．
故实数的取值范围是 10分
18．解：（1）由题意得，∴最小正周期，则，
．若选①，为奇函数，则，
，即，
，即，，即，
．
若选②，当时，即，
．
若选③，是函数的一条对称轴，
，即，
． 6分
（2），即，
即，即，
又的面积得，
在中，由余弦定理得，解得． 12分
19．（1）证明：由题意，当时，,
则,又
，
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列．5分
（2）解：由（1）可知，,则，
即,各项相加，可得
,
∵当时，也满足上式，，
,则，
, 9分
令,则,
,
∵当时，，此时,
当时，，此时,
，
，
∴当或2时，,当时，,
即当或2时，，
当时，，
∴当时，数列取得最大值，故． 12分
20．解：（1）设，在中，由余弦定理可得，整理可得：,解得,
所以，则，因为，所以，所以； 5分
（2）设,则，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
两式相除可得，展开可得，所以可得,
即,解得或，
又因为，所以，即． 12分
21．（1）证明：取的中点,连接,
分别是的中点，且；
且；．又平面平面平面； 5分
（2）解：方法一、以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设,
则，．
设平面的一个法向量为,则，取,得．同理可求平面的一个法向量为．．
平面和平面为同一个平面，∴二面角的余弦值为；
方法二、以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设,则，，，
设平面的一个法向量为,
则，取，得．
易知平面的一个法向量为．
．
∴二面角的余弦值为．
22．（12分）（1）证明：当时，；
（2）已知函数,若为的极大值点，求的取值范围．
（1）证明：设，
则，
在上单调递减，在上单调递减，,即，
,设,
则在上单调递增，
,即,
综合可得：当时，；
（2）解：，
且,
①若,即时，
易知存在，使得时，，
在上单调递增，，
在上单调递增，这显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去；
②若,即或时，
存在，使得时，，
在上单调递减，又，
∴当时，单调递增；
当时，单调递减，满足为的极大值点，符合题意；
③若,即时，为偶函数，
∴只考虑的情况，
此时时，
，
在上单调递增，与显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
C
D
C
D
D
AC
AC
ABC
ABD