江苏省扬州市广陵区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省扬州市广陵区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分 考试时间：120分钟）
友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卷上作答，在本卷中作答无效。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确答案的序号填入答题纸的相应表格中）
1．下列方程中，不是一元二次方程的是
A．=0 B．x2 ++3=0 C．x2 + 2x +1=0 D．3x2 +x +1=0
2．已知a，b，c为常数，点P( a，c )在第二象限，则方程ax2+bx+c＝0根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
3．以为根的一元二次方程可能是
A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0
4.下面轴对称图形中对称轴最多的是
A．矩形 B．正六边形 C．等边三角形 D．圆
5. 一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是
A. B. C. D.
6. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则
A. B. C. D.
（第6题）
（第7题）
（第8题）
（第7题）

7．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为
A．10 B．12 C．15 D．20
8．欧几里得被称为“几何之父”，其著作《几何原本》中记载了方程的图形解法：如图，在⊙O中，为直径，⊙O的切线与的延长线交于点B，切点为A，连接，使，，则该方程的一个正根是
A. 长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上）
9. 方程的解为 ▲ .
10. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ▲ ．
11．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是 ▲ .
12. 为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为 ▲ ．
13．如图，在一幅长80cm、宽50 cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则宽x需满足的方程是 ▲ .（方程可以不化简）
（第13题）
（第17题）
（第18题）
14. 若⊙O的半径为5，圆心到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是 ▲ ．
15．一圆锥母线长为6，侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径r为 ▲ ．
16．已知△ABC的面积是54cm2，周长是36cm，则△ABC的内切圆半径是 ▲ cm．
17．如图，正九边形的对角线AF、CH相交于点P，则∠CPF＝ ▲ °．
18. 如图，在中，，，是中线，分别为边上的动点，且，直线与相交于点，连接．若，则线段的最小值为 ▲ ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明或演算步骤）
19．(本题满分8分) 解方程：
（1）；
（2）．
20．（本题满分8分）判断关于x的一元二次方程的根的个数．
21．（本题满分8分）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（-4，4），C（-6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 ▲ ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为 ▲ ，∠ADC的度数为 ▲ ；
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为 ▲ ．
（结果保留根号）
22．（本题满分8分）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法：
（1）在图①中，已知⊙O1，点P在⊙O1上，过点P作⊙O1切线l1；
（2）在图②中，已知⊙O2，点Q在⊙O2外，过点Q作⊙O2的切线l2．


23．（本题满分10分）为美化市容，某广场要在人行雨道上用灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
图1
图2
图3
（1）图4灰砖有 ▲ 块，白砖有 ▲ 块；图n灰砖有 ▲ 块，白砖有 ▲ 块；
（2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
24.（本题满分10分）如图，四边形内接于，为的直径，．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
25．（本题满分10分）国家5A级景区“瘦西湖”以20元的批发价进了一批纪念品予以元旦假期间销售，经第一天销售调查可知：每个定价30元，每天可以能卖出5000件．若定价每上涨5元，其销售量将减少500件．
（1）当每个纪念品定价为36元时，每天可卖出 ▲ 件，日销售利润为 ▲ 元；
（2）若每个纪念品售价上涨m元，商店每天能卖出 ▲ 件（用含m的代数式表示）；
（3）为了实现平均每日80000元的销售利润，并使消费者得到实惠，售价应定为多少元？
26．（本题满分10分）如图，在中，是的直径，是的切线，切点是A，连接，过点作，与交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若半径为3，，求的长度．
27．（本题满分12分）如图1，平面直角坐标系中，OT为第一象限的角平分线，A(8，0)，B(0，6)，点P为线段OA上一动点，Q为y轴上一动点，AP＝OQ，以PQ为直径的圆与OT相交于点C．
（1）若∠OCQ＝45°，则点P坐标为 ▲ ；
（2）求证：CP＝CQ；
（3）判断OP、OQ、OC之间的数量关系并证明；
（4）如图2，将题设条件“AP＝OQ”更换为“PQ＝6”，以PQ为直径的圆与AB相交于M、N两点，则MN的最大值为 ▲ ．
（图2）
y
x
O
Q
P
A
N
M
B
（图1）
O
x
P
C
Q
y
T
B
A
28．（本题满分12分）【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（−b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0）、N（n，0），则m、n为方程两个实数根．

【探究】
（1）由勾股定理得，AM2＝12+m2，BM2＝c2+(−b−m)2，AB2＝(1−c)2+b2，在Rt△ABM中，AM2+BM2＝AB2，所以12+m2+c2+(−b−m)2＝(1−c)2+b2．化简得：m2+bm+c＝0，同理可得： ▲ ．所以m、n为方程的两个实数根．
【运用】
（2）在图2中的x轴上画出以方程x2−3x−2＝0两根为横坐标的点M、N．
（3）已知点A（0，1）、B（6，9），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展】
（4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（−b，c），若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程为 ▲ ．