人教版九年级数学上册 24.14 四点共圆（专项练习）

这是一份人教版九年级数学上册 24.14 四点共圆（专项练习），共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ）

A．2B．3C．4D．6
2．如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（ ）

A．10°B．15°C．20°D．25°
3．如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（ ）

A．B．C．D．
4．如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）

A．B．C．D．
5．如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）

A．B．C．D．4
6．如图，在四边形中，、为对角线，点、、、分别为、、、边的中点，下列说法：
①当时，、、、四点共圆．
②当时，、、、四点共圆．
③当且时，、、、四点共圆．
其中正确的是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①②③
7．锐角的三条高、、交于，在、、、、、、七个点中．能组成四点共圆的组数是（ ）
A．组B．组C．组D．组
二、填空题
8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 _____．

9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O半径为4，且∠C＝2∠A，则的长为__．

10．如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 __________．

11．如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么___________________．

三、解答题
12．如图所示，，，求.

13．如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：.
14．如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知．
（1）求证：；
（2）若是四边形外接圆的直径，求证：．

15．如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，连AM．
⑴求证：BE＝CF；⑵求证：BE⊥CF；⑶求∠AMC的度数．
如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME=MF．
（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．
17．如图所示，在平行四边形中，点为，的垂直平分线的交点，若，求.
18．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形是圆美四边形．
（1）求美角的度数；
（2）如图1，若的半径为5，求的长；
（3）如图2，若平分，求证：．
19．如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．
（1）用等式表示线段与的数量关系：______；
（2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、．
①在图2中，依据题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系并证明．
20．如图所示，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，
求证：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．
21．如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC=BC．求证：DC平分∠BDE．
22．如图，已知矩形ABCD．求证：A、B、C、D四点共圆．

23．在正方形中，是边上一点，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若点，，三点共线，求证：，，，四点共圆；
（3）若点，，三点共线，且，求的长．
24．如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：A、D、B、E四点共圆．
25．如图1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．直线BE交直线CD于G点．
(1)小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝ ∠ACB，（填写数量关系）
∴∠AEB＝ °．
(2)如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆；
(3)线段AE最大值为 ，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 ．
26．阅读以下材料，并完成相应的任务：
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上
以下是他们的证明过程：
如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，
则（依据1），
∴E，F，P，C四点共圆．
∴（依据2）．
又∵，
∴．
∵，
∴B，D，P，E四点共圆．
∴（依据3）．
∵，
∴（依据4）．
∴点D，E，F在同一条直线上．
任务：
(1)填空：
①依据1指的的是中点的定义及______；
②依据2指的是______；
③依据3指的是______；
④依据4指的是______．
(2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性．
27．[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）
[思考]如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A， B，C三点的圆上吗？
我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在圆O外，要么在圆O内，以下该同学的想法说明了点D不在圆O外．
请结合图④证明点D也不在⊙O内.
[结论]综上可得结论：如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（点C，D在AB的同侧），那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：点A、B、C、D四点共圆．
[应用]利用上述结论解决问题：
如图⑤，已知△ABC中，∠C=90°，将△ACB绕点A顺时针旋转一个角度得△ADE，连接BE CD，延长CD交BE于点F，
（1）求证：点B、C、A、F四点共圆； （2）求证：BF=EF.

图⑤
28．定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，那么我们把这称为四点共圆．
(1)下列几何图形的四个顶点构成四点共圆的有 ．（填序号）①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤等腰梯形．
(2)已知△ABC中，∠A＝40°，如图1，平面上一点D，使得A、B、C、D四点共圆，试求∠BDC的度数．
(3)若△ABC的外接圆为⊙O，半径为r，平面上有两点E、F，分别与△ABC的三个顶点构成四点共圆（E在AB的左侧，F点在AC的右侧），如图2．①试判断∠E+∠F﹣∠BAC的值是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由；②若BC弦的长度与⊙O的半径r之比为：1，并且边AB经过圆心O，如图3，试求五边形AEBCF的最大面积（用含r的式子表示）．
参考答案
1．D
【分析】
根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
解：如图，

以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选D．
【点拨】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．
2．A
解：
如图，AB=AC=AD
∵
，
故选A．
3．C
【分析】
先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．
解：弧、弧的长度分别为、
圆的周长为
（圆内接四边形的对角互补）
弧所对圆心角的度数为
则弧的长度为
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键．
4．A
【分析】
根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
解：∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴=40°，
故选：A．
【点拨】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．
5．A
【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．
解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在中，，点G是DE的中点，
∴AG=DG=EG
又∵AG=FG
∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径
∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，
∴CF=BF=，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，
∴四边形NAMF是正方形
∴AN=AM=FN=
又∵，
∴
∴△NFD≌△MFE
∴ME=DN=AN-AD=
∴AE=AM+ME=3
∴在Rt△DAE中，DE=
故选：A．

【点拨】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
6．C
【分析】
连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，利用三角形中位线定理可证到四边形ENFM是平行四边形；然后根据条件判定四边形ENFM的形状，就可知道M、E、N、F四点是否共圆．
解：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示．
∵点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，
∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM=NF=BD，EN=MF=AC．
∴四边形ENFM是平行四边形．
①当AC=BD时，
则有EM=EN，
所以平行四边形ENFM是菱形．
而菱形的四个顶点不一定共圆，
故①不一定正确．
②当AC⊥BD时，
由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN=90°．
所以平行四边形ENFM是矩形．
则有OE=ON=OF=OM．
所以M、E、N、F四点共圆，
故②正确．
③当AC=BD且AC⊥BD时，
同理可得：四边形ENFM是正方形．
则有OE=ON=OF=OM
所以M、E、N、F四点共圆，
故③正确．

故选C．
【点拨】本题考查了四点共圆、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识．熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题关键．
7．C
【分析】
根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，完整选择．
解：

如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选C．
【点拨】本题考查四点共圆的判断方法．解题关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．
8．36°##36度
【分析】
先利用正多边形的性质求出∠AED度数、再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴AE=ED，∠AED==108°，
∴∠ADE =∠EAD =（180°-108°）=36°，
故答案为：36°．
【点拨】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住正多边形的内角和公式．
9．4
【分析】
连接OB，OD，利用内接四边形的性质得出∠A=60°，进而得出∠BOD=120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
解：连接OB，OD，过O作OE⊥BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=2∠A，
∴∠C+∠A=3∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
在Rt△BEO中，OB=4，
∴BE=2，
∴AC=4，
故答案为：4．
【点拨】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠A=60°．
10．102.5°
【分析】
先根据旋转的性质得到，，得到点A、N、F、C共圆，再利用，根据平角的性质即可得到答案；
解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，

根据旋转的性质得到：
AC=AF，，，，
∴点A、N、F、C共圆，
∴，
又∵点A、N、F、C共圆，
∴，
∴（平角的性质），
故答案为：102.5°
【点拨】本题主要考查了旋转的性质、平角的性质、点共圆的判定，掌握平移的性质是解题的关键；
11．13
【分析】
先证明A、C、B、D四点共圆，得到∠DCB与∠BAD的是同弧所对的圆周角的关系，得到∠DCB的度数，再证∠ECB=45°，得出结论．
解：∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，E是AB中点，
∴AE=EB=EC=ED，
∴A、C、B、D在以E为圆心的圆上，
∵∠BAD=32°，
∴∠DCB=∠BAD=32°，
又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中点，
∴∠ECB=45°，
∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=13°．
故答案为：13．
【点拨】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强．
12．30°.
【分析】
由AB=AC=AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，继而可得∠CAD=2∠BAC．
解：∵AB=AC=AD，
∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=60°，
∴∠CAD=2∠BAC=120°．
∴∠BDC=30°.
【点拨】此题考查了圆周角定理．注意得到B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解此题的关键．
13．见分析.
【分析】
先根据正方形的性质可得∠CDA=90°，再根据得到∠AEF=90°，从而得证，，，共圆，，继而得出AE=FE.
解：在正方形ABCD中，,∠BDC=45°
∵
∴
∴∠ADC+∠AEF=180°
∴，，，共圆，
∴，
∴
∴.
【点拨】本题考查了正方形的性质，四点共圆，以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键
14．（1）见分析；（2）见分析．
【分析】
（1）根据圆内接四边形对角互补证得∠B＝∠C，从而利用等角对等边证得AB＝AC；
（2）连接AE，将证明弧相等转化为弧相对的圆周角相等来实现．
解：（1）∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADE=180°
又∵∠EDC+∠ADE=180°
∴∠EDC=∠B
又∵∠EDC=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC
（2）连接AE
∵AB是圆的直径
∴∠AEB=90°
又∵AB=AC
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAD
∴
【点拨】本题考查圆内接四边形及圆的有关性质，解题的关键是知道圆内接四边形及圆的有关性质．
15．(1)见分析；（2）见分析；（3）135°
解：试题分析：⑴证△BEA≌△CFA．⑵∠ABE＝∠ACF，∴∠CMB＝∠CAB＝90°．
⑶作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，证△AGB≌△AHC，AG＝AH，∠AMG＝45°，可得∠AMC＝135°
试题解析：（1）∵∠BAC=∠EAF=90°
∴∠BAE=∠CAF
∵AE=AF，AB=AC，
∴三角形BAE 全等于 三角形CAF，
∴ BE=CF
（2）∵∠AEB=∠AFC
设CF与AE相交于点H 则∠MHE = ∠AHF
∵三角形EMH与三角形 HAF的内角和都为180°
∴ ∠EMF = ∠EAF
即BE⊥CF
（3）∵∠ABE=∠ACF
∴ A，B，C，M四点共圆
∴ ∠AMC+∠ABC=180°
∵AB=AC，∠BAC=90°,∠ABC=45°
∴ ∠AMC=180°--∠ABC=135°
也可以作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，证△AGB≌△AHC，AG＝AH，∠AMG＝45°，可得∠AMC＝135.
16．（1）证明见分析（2）80°．
试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME=BC，MF=BC，得到答案；
（2）根据四点共圆的判定得到B、C、E、F四点共圆，根据圆周角定理得到答案．
（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，
∴ME=BC，MF=BC，
∴ME=MF；
（2）解：∵CF⊥AB，∠A=50°，
∴∠ACF=40°，
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴B、C、E、F四点共圆，
∴∠FME=2∠ACF=80°．
【点拨】1．直角三角形斜边上的中线；2．等腰三角形的判定与性质．
17．
【分析】
由点为，的垂直平分线的交点知，，所以，，在以为圆心，为半径的圆上，由圆的性质知，再由平行四边形的性质，问题得解.
解：连结，∵点为，的垂直平分线的交点
∴，∴，，在以为圆心，为半径的圆上，
作出辅助圆，由圆的性质知，
又平行四边形中，
∴
【点拨】作辅助圆，可以将直线型问题转化为曲线型问题，为我们解决问题时提供更开阔思路，更简捷的方法.
18．（1）60°；（2）；（3）见分析
【分析】
（1）根据美角的定义可得，然后根据圆内接四边形的性质即可求出结论；
（2）连接DO并延长，交与点E，连接BE，根据同弧所对的圆周角相等可得∠E=∠A=60°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠DBE=90°，最后利用锐角三角函数即可求出结论；
（3）延长CB至F，使BF=DC，连接AF、BD，先证出△ABD为等边三角形，然后利用SAS证出△ABF≌△ADC，从而得出AF=AC，∠F=∠DCA=60°，再证出△ACF为等边三角形，利用等边三角形的性质和等量代换即可得出结论．
解：（1）根据题意可得：，而∠A＋∠C=180°
∴∠A=60°
（2）连接DO并延长，交与点E，连接BE
∴∠E=∠A=60°
∵DE为的直径，的半径为5，
∴∠DBE=90°，DE=10
在Rt△DBE中，BD=DE·sin∠E=10×=；
（3）延长CB至F，使BF=DC，连接AF、BD
由（1）可知：∠BAD=60°，∠BCD=2∠BAD=120°
∵平分，
∴∠BCA=∠DCA==60°
∴∠ABD=∠DCA=60°
∴∠ADB=180°－∠ABD－∠BAD=60°
∴△ABD为等边三角形
∴AB=AD
根据圆内接四边形的性质可得∠ABF=∠ADC
在△ABF和△ADC中
∴△ABF≌△ADC
∴AF=AC，∠F=∠DCA=60°
∴∠FAC=180°－∠F－∠ACF=60°
∴△ACF为等边三角形
∴CF=AC
∴BC＋BF=AC
∴BC＋CD=AC
【点拨】此题考查的是新定义类问题、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，掌握新定义、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
19．（1）；（2）①画图见分析；②，证明见分析
【分析】
（1）先判断出△AGB≌△CGB，得到∠GBF＝45°，再判断出△EFG≌△CFG，得到∠GFB＝45°，从而得到△BGF为等腰直角三角形，即可．
（2）①画图2即可；②如图2，连接BF、BG，证明△ADF≌△ABF得DF＝BF，根据直角三角形斜边中线的性质得：AG＝EG＝BG＝FG，由圆的定义可知：点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，∠BGF＝2∠BAC＝90°，所以△BGF是等腰直角三角形，可得结论．
解：（1）BF＝，
理由是：如图1，连接BG，CG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，
∵EF⊥BC，FE＝FC，
∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∵点G是AE的中点，
∴EG＝CG＝AG，
∵BG＝BG，
∴△AGB≌△CGB（SSS），
∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，
∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，
∴△EFG≌△CFG（SSS），
∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，
∵∠BFE＝90°，
∴∠BFG＝45°，
∴△BGF为等腰直角三角形，
∴BF＝FG．
故答案为：BF＝FG；
（2）①如图2所示，

②；理由如下：
如图2，连接BF、BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵AF＝AF，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴DF＝BF，
∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，点G是AE的中点，
∴AG＝EG＝BG＝FG，
∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，
∵，∠BAC＝45°，
∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BF＝FG，
∴DF＝FG．
【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，圆的性质，判断△BGF为等腰直角三角形是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点．
20．见分析
解：试题分析：先作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ、OB、OA，证出BE=AF，OE=OF，再证Rt△OPF≌Rt△OQE，得到∠P=∠Q即可得到答案．
证明：作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ、OB、OA，
∵O是△ABC的外心，
∴OE=OF，OB=OA，
由勾股定理得：BE2=OB2﹣OE2，AF2=OA2﹣OF2，
∴BE=AF，
∵AP=BQ，
∴PF=QE，
∵OE⊥AB，OF⊥AC
∴∠OFP=∠OEQ=90°，
∴Rt△OPF≌Rt△OQE，
∴∠P=∠Q，
∴O、A、P、Q四点共圆．
即：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．

【点拨】本题主要考查了四点共圆，勾股定理，全等三角形的性质和判定，确定圆的条件等知识点，作辅助线构造全等三角形证
∠P=∠Q是解此题的关键．
21．证明见分析．
【分析】
根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到∠2=∠1，∠3=∠ABC，由等腰三角形的性质得到∠1=∠ABC，等量代换得到∠2=∠3，于是得到结论．
证明：∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠2=∠1，∠3=∠ABC，
∵AC=BC，
∴∠1=∠ABC，
∴∠2=∠3，
∴DC平分∠BDE．
【点拨】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，角平分线的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
22．见分析
【分析】
连接AC、BD，根据矩形的性质可得OA=OB=OC=OD，即可得结论.
解：连接、交于点，
∵四边形为矩形，
∴.
∴.
∴、、、到点的距离相等，
∴、、、在以为圆心，为半径的圆上．即A、B、C、D四点共圆.

【点拨】本题考查了矩形的性质及圆的认识，熟练掌握矩形的性质，理解四点共圆的意义是解题关键.
23．（1）见分析；（2）见分析；（3）
【分析】
（1）证明即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质以及圆内接四边形对角和为即可得出结论；
（3）证明为等腰直角三角形，得出，然后得出，根据圆周角定理可得点在圆上，结论可得．
解：（1）根据旋转的性质可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵点，，三点共线，
∴，
∴，
∴，，，四点共圆；
（3）∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
以点为圆心，为半径作，
∵，，
∴，
∴点在圆上，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理等知识，熟练掌握基础知识是解本题的关键．
24．（1）10°；（2）见分析
【分析】
（1）由三角形内角和定理和已知条件求得∠C的度数，由旋转的性质得出AC＝AD，即可得出∠ADC＝∠C，最后由外角定理求得∠BAD的度数；
（2）由旋转的性质得到∠ABC＝∠AED，由四点共圆的判定得出结论．
解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠C＝50°，
∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠C＝50°，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°，
∴∠BAD＝50°－40°＝10°
证明（2）∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，
∴∠ABC＝∠AED，
∴A、D、B、E四点共圆．
【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理解旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等．
25．(1)，45；(2)见分析；(3)8，
【分析】
（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答；
（2）由题意知，CD垂直平分BE，连接BF，则BF=EF，求得∠EBF=∠AEB＝45°，利用外角的性质得到∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°，即可得到结论；
（3）当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为4+4=8，当MF⊥BC时线段MF最小，根据BC的中点M，得到CF=BF，设BG=FG=x，则CF=BF=x，CG=(+1)x，由勾股定理得，求出，根据，即可求出．
(1)解：∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝∠ACB，
∴∠AEB＝45°．
故答案为：，45；
(2)解：由题意知，CD垂直平分BE，
连接BF，则BF=EF，
∴∠EBF=∠AEB＝45°．
∴∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴A、B、F、C在以AB为直径的圆上，即A、B、F、C四点共圆；
(3)解：当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为4+4=8，
当MF⊥BC时线段MF最小，
∵BC的中点M，
∴CF=BF，
设BG=FG=x，则CF=BF=x，CG=(+1)x，
∵，
∴，
得，
∵，
∴，
得，
故答案为：8， ．
．
【点拨】此题考查了圆周角定理，四点共圆的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．
26．(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④等量代换(2)见分析
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质，圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等进行求解即可；
（2）如图，连接PA，PB，PC，只需要证明即可证明结论．
(1)解：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
②圆内接四边形对角互补；
③同弧或等弧所对的圆周角相等；
④等量代换；
(2)证明：如图，连接PA，PB，PC．
∵点P是的中点，
∴．
∴，．
又∵，，
∴．
∴（HL）．
∴．
【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的性质与判定，弧，弦，圆周角的关系，同弧或等弧所对的圆周角相等等等，正确作出辅助线和熟知相关知识是解题的关键．
27．【思考】证明见分析；【应用】（1证明见分析；（2）证明见分析
试题分析：【思考】假设点D在⊙O内，利用圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D不在⊙O内；
[应用]
（1）由旋转的性质可得∠ACD=∠ABE，故B、C、A、F四点共圆，
（2）由圆内接四边形的性质得∠BCA+∠BFA=180°即可证明．
【思考】
【证】如图，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE；则∠AEB=∠ACB

∵∠ADB是△DBE的一个外角
∴∠ADB＞∠AEB
∴∠ADB＞∠ACB
这与条件∠ACB=∠ADB矛盾
∴点D不在⊙O内
【证】（1）∵AC=AD，AB=AE，
∴∠ACD=∠ADC，∠ABE=∠AEB，
∵∠CAB=∠DAE，
∴∠CAD=∠BAE，
∵2∠ACD+∠CAD=180°，2∠ABE+∠BAE=180°，
∴∠ACD=∠ABE，
∴B、C、A、F四点共圆，
（2）∵B、C、A、F四点共圆，
∴∠BFA+∠BCA=180°，
∵∠ACB=90°，∴∠BFA=90°，
∴AF⊥BE，
∵AB=AE，
∴BF=EF．
【点拨】本题综合考查了圆周角定理、反证法、三角形外角的性质、点和圆的位置关系等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．
28．(1)③④⑤；(2)∠BDC的度数为140°或 40°；(3)
【分析】
（1）由“对角互补的四边形是圆的内接四边形”，即可得出答案；
（2）分点D在 上和点D在、上两种情况讨论，即可求出∠BDC的度数；
（3）①由圆内接四边形的性质可得∠E+∠AFB＝180°，由∠BAC＝∠BFC，可得∠E+∠AFC＝∠E+∠AFB+∠BFC＝∠E+∠AFB+∠BAC＝180°+∠BAC，进而可得∠E+∠AFC﹣∠BAC＝180°；
②由AB经过圆心O，BC弦的长度与⊙O的半径r之比为：1，可得△ABC为等腰直角三角形，S五边形AEBCF＝S△ABE+S△ABC+S△ACF，当△ABE及△ACF面积最大时，五边形AEBCF的最大面积，E为中点时，△ABE面积最大，F为中点时，△ACF面积最大，求出△ABE及△ACF面积最大值，最后把三个三角形的面积相加，即可求出五边形AEBCF的最大面积．
(1)解：∵矩形、正方形、等腰梯形的对角互补，
∴矩形、正方形、等腰梯形的四个顶点构成四点共圆，
故答案为：③④⑤；
(2)解：如图4，当点D在上时，
∵A、B、D、C四点共圆，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠BAC＝40°，
∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°，
如图5和图6，当点D在或上时，
∵∠BAC＝40°，
∴∠BDC＝∠BAC＝40°，
综上所述，∠BDC的度数为140°或 40°；
(3)解：①如图7，连接BF，
∵四边形AEBF是圆内接四边形，
∴∠E+∠AFB＝180°，
又∵∠BAC＝∠BFC，
∴∠E+∠AFC
＝∠E+∠AFB+∠BFC
＝∠E+∠AFB+∠BAC
＝180°+∠BAC，
∴∠E+∠AFC﹣∠BAC＝180°，
即∠E+∠F﹣∠BAC＝180°；
②∵AB经过圆心，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC：OB＝：1，OB＝r，
∴BC＝r，
∵AB＝2r，
∴AC＝ ＝r，
∴BC＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵S五边形AEBCF＝S△ABE+S△ABC+S△ACF，
∴当△ABE及△ACF面积最大时，五边形AEBCF的最大面积，
此时，E为中点时，△ABE面积最大，F为中点时，△ACF面积最大，
如图8，连接OE，连接OF交AC于H，

∴OE⊥AB，OF⊥AC，
∴AH＝CH，
∴OH＝BC＝r，
∴S△ABE的最大值为：•AB•OE＝×2r×r＝r2，
S△ACF的最大值为：•AC•FH＝×r×（r﹣r）＝r2﹣×r2，
∴S五边形AEBCF的最大值为：r2+r2+r2﹣×r2＝．
【点拨】本题考查了四点共圆，掌握四点共圆及圆周角的性质是解决问题的关键．