2022-2023学年上海市普陀区高三上学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年上海市普陀区高三上学期期中数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设全集，若集合，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】解出绝对值不等式，求出集合A，再求.
【详解】或，因此，.
故答案为：.
2. 已知i为虚数单位，复数，则____________．
【答案】5
【解析】
【分析】利用共轭复数概念与复数的乘法运算即可得解.
【详解】因为，所以，
故.
故答案为：.
3. 在的二项展开式中，项的系数为____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】的二项展开式的通项为，
当时，系数为.
故答案为：
4. 已知，则____________．
【答案】2
【解析】
【分析】解出x的值，应用换底公式后根据对数运算即可得到结果.
【详解】由已知得，，则，
所以，.
故答案为：2.
5. 若，则_____；
【答案】
【解析】
【分析】
逆用诱导公式结合二倍角公式得出答案.
【详解】
故答案为：
6. 若，则的最小值是____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据结合基本不等式即可得解.
【详解】解：因为，所以，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值是.
故答案：.
7. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆．如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为____________米（精确到整数）
【答案】28
【解析】
【分析】根据球体的表面积公式，结合题意，直接求解即可.
【详解】设主降落伞展开后所在球体的半径为，由题可得，解得，
故完全展开后伞口的直径约为米.
故答案为：.
8. 某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“上海进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，至少有1名女医生的概率是____________（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】先求出从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合，再求出选出的3名医生中，全是男医生的组合，然后用对立事件的概率能得到至少有1名女医生的概率.
【详解】从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合有种，再求出选出的3名医生中，全是男医生的组合有种， 所以至少有1名女医生的概率.
故答案为：
9. 已知双曲线满足条件：（1）焦点为；（2）离心率为，求得双曲线的方程为．若去掉条件（2），另加一个条件求得的双曲线的方程仍然为．则下列四个条件中，符合添加的条件可以为____________（填序号）
①双曲线上的任意一点P都满足：；
②双曲线的虚轴长为4；
③双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合；
④双曲线的渐近线的方程为：．
【答案】①④
【解析】
【分析】利用双曲线定义及性质求解．
【详解】对于①，∵ ∴
又∵ 焦点为 ∴
∴ 离心率 ，故①符合条件；
对于②，双曲线的虚轴长为4，
∴，
∴离心率，故②不符合条件；
对于③，双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合，
∴ ，，故③不符合条件；
对于④，∵ 近线方程为
∴
又∵
∴离心率，故④符合条件．
故答案为：①④．
10. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，M、N分别为线段AC上的点，若，则三棱锥体积的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，则要求体积的最小值，只要求出面积的最小值即可，在中，作交于，设，分别求出，再根据三角形的面积公式结合三角函数求出的最小值，即可得解.
【详解】解：在中，作交于，则，
因为，则，
因为，所以点在线段上，
设，则，
则，
，
，
因为，所以，
则当，即时，取得最大值，
此时，
，
所以三棱锥体积的最小值为.
故答案为：.
11. 若圆O的半径为2，圆O的一条弦长为2，P是圆O上任意一点，点P满足，则的最大值为_________.
【答案】10
【解析】
【分析】法一、以中点C为原点建系，求出圆O的参数方程，从而设，，根据，求出点坐标，从而得即可求解；
法二、由已知根据向量的线性运算求出，从而得，利用投影的定义即可求解.
【详解】解：法一、如图以中点C为原点建系，则，，，
所以圆O方程为，所以设，
因为，，
，
所以，
所以，
因为，
所以的最大值为10.
法二、连接OA，OB过点O作，垂足为C，则，
∴，
因为，所以，
所以，
，当且仅当且同向时取等号，
所以的最大值为10，
故答案为：10.
【点睛】关键点点睛：法一、建立恰当直角坐标系，求出圆O的参数方程，从而设，，根据，求出点坐标；
法二、将用，，线性表示，根据数量积的运算律求出，再利用投影的定义即可求解.
12. 已知数列{}的前n项和为，若对任意恒成立，则____．
【答案】1011
【解析】
【分析】由题设有，根据的关系得，再应用分组求和求目标式的值.
【详解】由题设，，故，
所以，即，故，
所以
.
故答案为：
二、选择题〔本大题共4题，满分20分）
13. 对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】时，如果，或，方程不是椭圆；当方程曲线是椭圆时，，则成立，即可得出结论.
【详解】当时，方程的曲线不一定是椭圆，
例如：当时，方程的曲线不是椭圆而是圆；
或者是，都是负数，曲线表示的也不是椭圆；
故前者不是后者的充分条件；
当方程的曲线是椭圆时，应有，都大于0，
且两个量不相等，得到；
由上可得：“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
故选:B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判定，考查椭圆的标准方程，属于基础题.
14. 设等差数列的前n项和为，若，则( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由又，可得公差，从而可得结果.
【详解】是等差数列
又，
∴公差，
，故选C．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
15. 设函数，若函数恰有三个零点，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出在的对称轴和，根据图像判断出，关于对称，，关于对称，即可求得.
【详解】函数
令，可得：，.
∵
∴令，可得一条对称轴方程.
∴令，可得一条对称轴方程.
函数恰有三个零点，
可知，关于其中一条对称是对称的，即
，关于其中一条对称是对称的.即
那么.
故选：B.
【点睛】求几个零点的和通常利用对称轴即可求解.
16. 记，已知均是定义在实数集上的函数，设，有下列两个命题：
①若函数都是偶函数，则也是偶函数；
②若函数都是奇函数，则也是奇函数．
则关于两个命题判断正确的是（ ）
A. ①②都正确B. ①正确②错误C. ①错误②正确D. ①②都错误
【答案】B
【解析】
【分析】对于①，根据偶函数的定义判断；对于②，举反例即可.
【详解】对于①，若函数都是偶函数，则，所以 ，所以也是偶函数；命题①正确；
对于②，若函数都是奇函数，如都是R上的奇函数，
而不是定义在R上的奇函数，命题②错误；
故选：B.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 如图，长方体中，，点P为棱的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成的角．（用反三角函数表示）
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，按照空间向量的坐标运算即可求解直线与平面所成的角．
【小问1详解】
解：设AC与BD的交点为O，联结PO
P、O分别是和DB的中点
又因为PO在平面PAC内，不在平面PAC内
平面PAC
【小问2详解】
解：以D为原点，建立空间直角坐标系（如图）
则，，，，，，
设平面PAC的一个法向量为 ，因为
则 ，所以
向量
设直线与平面PAC所成的角为
所以
所以直线与平面PAC所成的角为.
18. 已知函数.
（1）写出函数的最小正周期以及单调递增区间；
（2）在中，角所对的边分别为，若，且，求的值.
【答案】（1）， ；（2）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的最小正周期公式和单调性直接求解即可；
（2）由可以求出，再由平面向量的数量积的定义可由求出的值，结合、余弦定理可以求出的值.
【详解】解：（1），所以的最小正周期，
，
所以的单调递增区间是；
（2），故，所以或，因为是三角形内角，所以；
而，所以，，又，所以，所以，，所以.
【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数的最小正周期和单调性，考查了余弦定理、平面向量数量积的定义，考查了特殊角的三角函数值,考查了数学运算能力.
19. 疫情防控期间，某小微企业计划采用线下与线上相结合的销售模式进行产品销售运作．经过测算，若线下销售投入资金x（万元），则可获得纯利润（万元）；若线上销售投入资金x（万元），则获得纯利润（万元）．
（1）当投入线下和线上的资金相同时，为使线上销售比线下销售获得的纯利润高，求投入线下销售的资金x（万元）的取值范围；
（2）若该企业筹集了用于促进销售的资金共30万元，如果全部用于投入线下与线上销售，问：该企业如何分配线下销售与线上销售的投入资金，可以使销售获得的纯利润最大？并出求最大的纯利润．
【答案】（1）
（2）投入线下销售的资金10万元，投入线上销售的资金为20万元时，纯利润最大，最大值为62.5万元
【解析】
【分析】（1）根据题意分与进行讨论求出即可；（2）设投入线下销售的资金为x（万元），投入线上销售的资金y（万元），结合题意写出总利润的表达式，利用函数的性质求解即可.
【小问1详解】
当时，
由得或，
所以
当时，
由得，
所以
综上所述，投入线下的资金x（万元）的取值范围为
【小问2详解】
设投入线下销售的资金为x（万元），投入线上销售的资金y（万元），
所以
当即时，
总利润
易得在区间上严格递减，在区间上严格递增
又
所以当时，
当即时，
总利润
缘上所运，投入线下销售的资金10万元，投入线上销售的资金为20万元时，
纯利润最大，最大值为62.5万元．
20. 己知函数．
（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值；
（2）设，若函数在区间当为严格递减函数时，求实数a的取值范围；
（3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数几何意义求过点的直线方程，结合直线过，即可求得的值；
（2）由函数在区间上单调递减，可知其导数恒成立，分离参数，求解函数的最大值即可；
（3）依题意可知有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可将问题转化为恒成立问题，进而利用导数求的最大值即可.
【小问1详解】
由得,
所以过点切线的斜率为 ,
因为切线过点,所以 ,
解得：.
【小问2详解】
由得，
依题意对区间上的任意实数恒成立，
即对区间上的任意实数恒成立，
易得在区间单调递减，
在上单调递增，，，
所以在上的最大值为，
所以，实数a的取值范围为
【小问3详解】
依题意：在上有两个不同的根，
即在上有两个不同的根,
所以，可得，
由于不等式，
可得
又
.
令,
所以，又,
所以，即在区间上严格递减，
所以,
所以.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
21. 记项数为2022且每一项均为正整数的有穷数列所构成的集合为A．若对于任意的，当时，都有，则称集合A为“子列封闭集合”．
（1）若，判断集合A是否为“子列封闭集合”，说明理由；
（2）若数列的最大项为，且，证明：集合A不是“子列封闭集合”；
（3）若数列为严格递增数列，，且集合A为“子列封闭集合”，求数列的通项公式．
【答案】（1）集合A不是“子列封闭集合”，理由见解析；
（2）证明见解析； （3）或.
【解析】
【分析】（1）根据子列封闭集合的定义，结合已知通项公式，即可直接证明；
（2）利用反证法，由，所以，结合题意，推出矛盾即可；
（3）根据数列的单调性，结合以及子列封闭集合的定义，分类讨论即可.
【小问1详解】
因为，
所以对于任意的，当时，都有，
所以集合A为“子列封闭集合”.
【小问2详解】
假设集合A是“子列封闭集合”，
因为，所以存在正整数，
使得
即
因为，所以
，与为集合A的最大元素矛盾，
所以，假设错误，即集合A不是“子列封闭集合”．
小问3详解】
由（2）知，集合A是“子列封闭集合”时，有
因为数列为严格递增数列，，
所以或
①当时，因为
则
若 此时
由于，所以，
因为与矛盾
所以 又 所以
所以，数列的通项公式为
②当时，因为
则
若由于，所以，
因为，所以，与矛盾
若，此时
由于，所以，
因为，所以，与矛盾
所以又所以
所以，数列的通项公式为
综上所述，数列的通项公式为
或
【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义问题；处理问题的关键是能够紧扣定义，深度结合已知条件和定义中包含的数学关系，属综合困难题.