2022-2023学年上海市宝山区高三上学期期末数学试题及答案
展开1. 已知集合,若,且,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先解分式不等式,即可得出集合,再由,且,即可求出实数的取值范围.
详解】由可得:,解得:,
所以,
因为,且,
所以.
故答案为:.
2. 函数的定义域为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的定义,结合一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由题意得:,即,
即,
所以函数的定义域为.
故答案为:.
3. 设复数,为虚数单位,则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数模的运算性质直接计算即可.
【详解】,
,
故答案为:
【点睛】本题主要考查了复数模的运算性质,属于容易题.
4. 已知,,不等式对于恒成立,且方程有实根,则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合一元二次不等式在R上恒成立可得,消b整理得,注意到,结合基本不等式求最值.
【详解】由题意可得:
不等式对于恒成立,则
方程有实根,则
∴,即,则
∵,
则
当且仅当时等号成立
∴,则
故答案为:.
5. 已知实数30.8,30.7,则它们的大小关系是_____.
【答案】30.8>30.7
【解析】
【分析】由指数函数的单调性判断即可.
【详解】因为y=3x为增函数,所以30.8>30.7,
故答案为:30.8>30.7
6. 已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次纱线断头的概率分别是,,,则这台纺纱机在1小时内纱线断头不超过2次的概率和纱线断头超过2次的概率分别为_____、______.
【答案】 ①. 0.97 ②. 0.03
【解析】
【分析】
纱线断头不超过2次的概率等于发生0次、1次、2次纱线断头的概率之和,纱线断头超过2次与线断头不超过2次是对立,从而得到答案.
【详解】因为纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次纱线断头的概率分别是,,,
所以纱线断头不超过2次的概率,
所以纱线断头超过2次的概率.
故答案为:0.97、0.03
【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概率,属于简单题.
7. 如图有一个帐篷,它下部的形状是高为(单位:米)的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为(单位:米)的正六棱锥.则帐篷的体积最大值为_____立方米.
【答案】
【解析】
【分析】设出顶点到底面中心的距离,再求底面边长和底面面积,求出体积表达式,利用导数求出高为何时体积取得最大值.
【详解】解:设为,.
则由题设可得正六棱锥底面边长为:.
于是底面正六边形的面积为,
帐篷的体积为.
可得:.
求导数,得.
令,解得(舍去),.
当时,,为增函数;
当时,,为减函数.
当时,有最大值为.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力,属于中档题.
8. 是边长为1的正三角形,则取值集合为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的定义,分别求、、、、、,即可得取值集合.
【详解】如图:
由向量数量积的定义得:
;
;
;
;
;
.
故构成的集合为:
【点睛】本题主要考查了向量数量积定义,属于基础题.
9. 某班5名同学去参加3个社团,每人只参加1个社团,每个社团都有人参加,则满足上述要求的不同方案共有____种.
【答案】150
【解析】
【分析】先将5名同学分成3组,在将三组全排列即可.
【详解】将5名同学分成3组,根据每组人数不同有两种情况:{113}、{122},
则分组的方法有种,
分组后将三组同学分派到三个不同社团有种方法,
故满足要求的不同方案共有25×6=150种.
故答案为:150.
10. 已知,分别是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于A,两点,若是正三角形,则这条双曲线C的渐近线方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】[解法1]先根据题意求得两点的坐标,进而得到、,再由是正三角形得到的关系式,进而求得的比值,从而可求得双曲线C的渐近线方程.
[解法2]根据双曲线的定义,结合正三角形的性质,直接得到的关系,进而取值,并利用的平方关系得到的关系,进而得到渐近线的方程.
【详解】[解法1]根据题意,易知,双曲线C的渐近线方程为,
因为过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于A,两点,
所以不妨设,将代入双曲线方程得,解得,即,同理:,
所以,,
由双曲线的定义可知,即,
因为是正三角形,所以,即,得,即,
所以双曲线C的渐近线方程为.
故答案为:.
[解法2]
由题意为直角三角形,且,
故可设,则,如图所示:
由双曲线的定义得,
∴,∴,
∴,
∴双曲线的渐近线方程为,
故答案为:
11. 一艘轮船向正北航行,航速为千米时,在处看灯塔在船北偏东的方向上,半小时后,船航行到处,在处看灯塔在船的北偏东的方向上,则此时船与灯塔之间的距离是_______千米.
【答案】
【解析】
【分析】画出图形,结合正弦定理即可求解
【详解】如图:
由题意可知:,,,,
由正弦定理可得,即,
解得(千米)
故答案为:
12. 已知函数,数列是公差为4的等差数列,若,则数列的前n项和_____.
【答案】
【解析】
【分析】设,根据的奇偶性和单调性可得的奇偶性和单调性,然后结合等差数列的性质可得,再利用等差数列的通项公式及求和公式即得.
【详解】因为,,
则,
所以为R上的偶函数,
当时,,
所以函数在上单调递增,且,
设,则为奇函数,且在上单调递增,
因此在R上单调递增,
由题知,
又数列是公差为4的等差数列,可得,
若,则,
∴,即,
同理可得,
∴,与矛盾,舍去;
同理若,则,与矛盾,舍去;
∴,又的公差,
∴,解得,
∴=2n2﹣8n,
故答案为:.
二.选择题(共4小题,满分20分,每小题5分)
13. “”是“”( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当时,由,可得,
当时,由,得;
所以“”不是“”的充分条件.
因为,所以,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定,还考查了理解辨析问题的能力,属于基础题.
14. 某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6:5:7,防疫站欲对该校学生进行身体健康调查,用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本,样本中高三年级的学生有21人,则n等于( )
A 35B. 45C. 54D. 63
【答案】C
【解析】
【分析】由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6:5:7,知高三年级学生的数量占总数的,再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本,高三年级被抽到的人数为21人,能求出n.
【详解】解:∵某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6:5:7,
∴高三年级学生的数量占总数的,
∵分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本,若已知高三年级被抽到的人数为21人,
∴n=2154.
故选:C.
【点睛】本题考查分层抽样的应用,是基础题.
15. 的展开式中,的奇次幂项的系数之和为
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
先将展开,再利用赋值法求出奇次幂项的系数之和.
【详解】设,
令,则,
令,则,
两式相减,整理得.
故选:A
16. 已知F为抛物线的焦点,过F作两条互相垂直的直线,,直线与C交于A、B两点,直线与C交于D、E两点,则的最小值为( )
A. 24B. 22C. 20D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线的性质:过焦点的弦长公式计算可得.
【详解】设直线,的斜率分别为,
由抛物线的性质可得,,
所以,
又因为,所以,
所以,
故选:A.
三.解答题(共5小题)
17. 已知函数.
(1)求的最小正周期和单调增区间;
(2)在中,角、、的对边分别为、、.若,,求的面积的最大值.
【答案】(1)函数的最小正周期为,单调递增区间是
(2)
【解析】
【分析】(1)利用三角恒等变换化简得出,利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期,解不等式可得出函数的单调递增区间;
(2)由结合角的取值范围可求得角的值,利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值,再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【小问1详解】
解:
,
所以,函数的最小正周期为,
令,解得,
故函数的单调递增区间是.
【小问2详解】
解:,即,
,则,,可得,
由余弦定理以及基本不等式可得,
即,当且仅当时,等号成立,
故,即面积的最大值为.
18. 1.已知数列满足,.
(1)设,证明:数列为等比数列;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)先化简,再推导出等于一个常数,即可证明结论;(2)结合第一问,先求出的通项公式,再结合的特点,采用错位相减法和分组求和法进行求解
【小问1详解】
其中,所以数列为以为首项,公比为的等比数列.
【小问2详解】
由(1)知:
所以,故
故
令①
②
两式相减:
,又
所以
19. 如图是矩形和以边为直径的半圆组成的平面图形,.将此图形沿折叠,使平面垂直于半圆所在的平面.若点E是折后图形中半圆O上异于A,B的点.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若异面直线和所成的角为,求三棱锥的体积.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
【分析】(Ⅰ)由面面垂直的性质得圆O,由线面垂直的性质得,根据线面垂直的判定可得面,再由线面垂直的性质可证.
(Ⅱ)由题意知:,过E作于F,易证面,进而求、,应用等体积法有即可求三棱锥的体积.
【详解】(Ⅰ)∵面圆O,面圆O ,平面,,
∴圆O,又圆O,
∴,又直角,即,而,
∴面,又面,
∴.
(Ⅱ) 在矩形中,,直线和所成的角为,
∴直线和所成的角为,即.
过E作于F,则面.
又,,易得,即有,
∴,由.
∴三棱锥的体积是.
【点睛】关键点点睛:
(Ⅰ)综合应用面面垂直、线面垂直的判定及性质证线线垂直.
(Ⅱ)由等体积知,结合已知条件求及其对应的高即可求三棱锥的体积.
20. 已知椭圆:,四点,,,中恰有三点在椭圆上.
(1)求的方程;
(2)若斜率存在且不为0的直线经过C的右焦点F,且与C交于A、B两点,设A关于x轴的对称点为D,证明:直线BD过x轴上的定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)根据对称性得到椭圆上的点,再将点代入椭圆方程求解即可.
(2)设直线,,,则,将直线方程和椭圆方程联立,利用韦达定理计算直线BD与x轴的焦点坐标即可.
小问1详解】
根据椭圆对称性,点,必在椭圆上,
则不在椭圆上,在椭圆上,
,解得
所以的方程为
【小问2详解】
由(1)得右焦点,
设直线,,,则
联立,消去得,
则
又直线,
令得
又
即时,,
直线BD过x轴上的定点.
21. 已知函数,其导函数是偶函数,且.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数有三个不同的零点,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】1求导函数,根据导函数是偶函数求得,再代入,求得,得函数的解析式;
2由1可得,分析导函数的符号,得原函数的单调性和极值,由已知建立不等式,解之可求得答案.
【详解】解:1由题意得.
因为是偶函数,所以.
又因为,所以,解得.
所以.
2由1可得,则.
令,得.
当或时,,所以在,上分别单调递增,
当时,,所以在上单调递减.
所以的极大值为.的极小值为.
由题意得,曲线与直线有三个不同的交点,
所以,即.
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