安徽省安庆市第一中学2021-2022学年高三上学期阶段性测试一数学（理科）试题（Word版附解析）

这是一份安徽省安庆市第一中学2021-2022学年高三上学期阶段性测试一数学（理科）试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了10， “”是“，”的， 已知，，，则， 定义， 函数的大致图象是， 已知函数，等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题（共60分）
1. 设是全集，若，则下列关系式一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用Venn图，通过举例说明A，B，D错误，从而选C.
【详解】如图，，此时
∅，A错，
B，B错，
，D错，
故选：C
2. “”是“，”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】转化“，”为，令，求导分析最小值，再结合充分必要条件的定义，即得解
【详解】令，
则，
当时，，当时，，
故当时，取最小值2，
故“，”⇔“”
故“”是“，”的必要不充分条件，
故选：B
3. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】，令，可证为奇函数，从而代入可计算结果.
【详解】
设，则
∴，，
因为，
即，∴为奇函数，∴，
∴.
故选：A．
4. 定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合数量积的定义以及模长运算求解
【详解】由题意可知，
设与的夹角为，
则，
又因为，则，所以，
故选：B.
5. 设是定义在上的奇函数，满足，数列满足，且，则（ ）
A. 0B. C. 21D. 22
【答案】A
【解析】
【分析】先把裂项后迭代求出，得到；再证明出是以4为周期的周期函数，即可求解.
【详解】对于数列满足，且，
变形可得：，
即，
则有：
.
所以，所以.
因为是定义在上的奇函数，所以且.
因为，则有，变形可得：，
则有，即是以4为周期的周期函数.
所以.
故选:A
6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意得，，，再构造函数，，研究函数单调性比较大小即可.
【详解】因为，，
所以，，，所以最大，故排除A，B；
设，，
则，
因为，所以，所以，
所以在上单调递减．
所以，即，所以.
故选：D
7. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
，
函数为偶函数，排除AD选项，
当时，，，，则，排除B选项.
故选：C.
8. 定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有 成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件.若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为
A 4B. 3C. 1D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由已知利普希茨条件的定义，若函数满足利普希茨条件，所以存在常数k，使得对定义域[1，+∞）内的任意两个，均有成立， 不妨设，则． 而0＜＜，所以k的最小值为 ．故选D.
考点：1.新定义问题；2.函数恒成立问题．
9. 已知函数，.若与的图象在区间上的交点分别为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用整体对应法可求得的对称中心为，由可得的对称中心；根据对称性可知若为满足题意的交点，则也为满足题意的交点，由此可将所求式子化为，进而求得结果.
【详解】令，解得：，关于对称；
当时，，关于对称；
，，
若为与在的交点，则也为与在的交点，
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够利用正切型函数对称中心的求法和函数对称性的判断确定两函数的对称中心，由对称性得到交点坐标所满足的关系.
10. 已知的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，，，当内角C最大时，的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出的最小值即可求出三角形的面积.
【详解】已知等式利用正弦定理化简得：，
两边平方得：，即，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，
则的最小值为，此时C最大，且，
则的面积，
故选:A.
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11. 已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先不等式变形为，，不等式等价于，然后利用函数的单调性可得对任意恒成立，再利用参变分离恒成立，转化为求函数的最小值.
【详解】不等式变形为 ，
即，设，
则不等式对任意的实数恒成立，
等价于对任意恒成立，
，则在上单调递增，
，即对任意恒成立，
恒成立，即，
令 ，则 ，
当时，，在上单调递减，
当时， ，在上单调递增，
时，取得最小值 ，
，即，
的最小值是.
故选：D
【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形，并能构造函数并转化为对任意恒成立.
12. 已知平面直角坐标系中点，，，平面区域由所有满足（，）的点组成的区域，若区域的面积为，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得，进而可求出两个向量的模长和夹角，利用区域的面积为列方程，解出的值．
【详解】由已知可得，则，由，故选：A
第II卷（非选择题）
二、填空题（共20分）
13. 已知单位向量、满足与垂直，则与的夹角______．
【答案】
【解析】
【分析】本题首先可根据单位向量的性质得出、，然后根据与垂直得出，最后通过向量的数量积公式得出，即可得出结果.
【详解】因为、是单位向量，所以，，
因为与垂直，所以，
即，，
，，，
故答案为：.
14. 下列函数中，最小值为2的有___________.（填写所有满足条件的函数的序号）
①；
②；
③；
④
【答案】①②④
【解析】
【分析】①利用二次函数的性质分析最小值；②③④采用换元法结合对勾函数的单调性分析最小值.
【详解】①，取等号时，所以，满足；
②令，在上递减，在上递增，所以当时，，满足；
③令，在上递减，在上递增，在上递增，在上递减，
时，，取等号时；时，，取等号时，不满足；
④令，在上单调递减，所以当时，，满足；
故答案为：①②④．
15. 设函数是定义在实数集上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为___________.
【答案】
【解析】
【分析】分析的对称性，将问题转化为图象交点横坐标之和，采用数形结合法求解出结果.
【详解】因为，所以，
所以是一个周期为的周期函数，且关于直线对称，
令，所以，
所以关于直线对称，
在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示：
由图象可知：的图象共有个交点，
其中个点关于对称，还有一个点横坐标为，
所以交点的横坐标之和为，
所以在上所有零点之和为，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：求解函数零点之和的问题，可以转化为求解函数图象交点的横坐标之和，利用数形结合的思想能高效解答问题，常见的图象应用的命题角度有：
（1）确定方程根的个数；
（2）求参数范围；
（3）求不等式解集；
（4）研究函数性质.
16. 若，，且，，则________.
【答案】1
【解析】
【分析】构造函数，再结合条件，利用其奇偶性和单调性，由求解.
【详解】∵，
∴．
令，
易知为奇函数，且在区间上为增函数．
由题意得，
∴，
∴，故，
∴．
故答案为：1
三、解答题（共70分）
17. 已知全集，集合，，.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用具体函数定义域的解法化简集合，解一次不等式化简集合，从而利用集合的并集运算即可得解；
（2）由得，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.
【小问1详解】
依题意，得，解得，，
又，
.
【小问2详解】
因为，所以，又，
当时，，解得，满足题意；
当时，，解得，
的取值范围为：．
18. 在中，是边的中线，，且．
（1）求的面积；
（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的数量积计算出的值，利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）求出的长，延长到，使，连接，由平面向量加法的平行四边形法则可得，计算出的值，即可求得的长．
【详解】（1），则，
；
（2）由得，延长到，使，连接．
由平面向量加法平行四边形法则可得，
所以，，，即的长为．
19. 数列的前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）本题首先可令，求出，然后令，根据得出，再然后两式相减，得出，最后通过等差数列的定义即可得出结果；
（2）本题首先可根据得出，然后通过裂项相消法得出，根据得出数列单调递增，再然后根据题意得出，最后通过计算即可得出结果.
【详解】（1）当时，，解得或，
因为，所以，
当时，，，
两式相减，得，
整理得，
因为，所以，，，
故是以为首项、为公差的等差数列，，
（2）因为，所以，，
则
，
因为，所以数列单调递增，，
要使不等式对任意正整数恒成立，
只要即可，即，
因为，所以，
，即，解得，实数的取值范围为.
20. 已知函数为定义在R上的奇函数．
（1）求解析式并判断函数的单调性；
（2）若关于x的不等式在R上恒成立，求t的取值范围．
【答案】（1），在R上为增函数；（2）.
【解析】
【分析】（1）由奇函数在处有定义，可得可求得以及解析式，再检验是否满足奇函数的定义.结合指数函数的单调性，可得的单调性；
（2）由的奇偶性和单调性，可得在R上恒成立，则，由基本不等式可得最小值，进而求得t的取值范围.
【详解】（1）函数为定义在R上的奇函数，可得，
即，解得，
所以，，
即有为R上的奇函数，
故，；
由，在R上递增，
可得在R上为增函数；
（2）在R上恒成立，
即为在R上恒成立．
所以在R上恒成立，
则，
由，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立
则，
所以，即，
可得t的取值范围是．
21. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是.则称是该函数的“和谐区间”.
（1）求证：函数不存在“和谐区间”.
（2）已知：函数有“和谐区间，当变化时，求出的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立；
（2）设是已知函数的定义域的子集，可以用表示，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，即可得答案；
【详解】（1）设是已知函数定义域的子集.∵，或，
故函数在上单调递增.
若是已知函数的“和谐区间”，则
故、是方程的同号的相异实数根.∵无实数根，∴函数不存在“和谐区间”.
（2）设是已知函数定义域的子集.∵，或，故函数在上单调递增.
若是已知函数的“和谐区间”，则
故、是方程，即的同号的相异实数根.
∵，∴，同号，只须，即或时，
已知函数有“和谐区间”，∵，
∴当时，取最大值.
【点睛】本题考查函数定义域、值域等性质，确定性问题要注意建立正难则反的思想，用反证法来求解简化证明过程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
22. 已知函数，曲线在点的切线方程为.
（1）求实数的值，并求的极值.
（2）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），，无极小值.（2）存在，3
【解析】
【分析】（1）由求导公式求出导数，再由切线的方程得，列出方程求出的值，代入函数解析式和导数，分别求出、对应的的范围，即求出函数的单调区间；
（2）先将分离出，构造函数，再求出此函数的导数并化简，再构造函数并二次求导，通过特殊函数值的符号，确定函数零点所在的区间，列出表格判断出的单调性，从而求出的最大值，再由自变量的范围确定出的最大值的范围，从而求出满足条件的的最小值．
【详解】（1）依题意，，所以，
又由切线方程可得，即，解得，所以，
所以，令，解得，
当时，，的的变化情况如下：
所以，无极小值.
（2）若对任意恒成立，则，
记，只需.又，
记，则，所以在上单调递减.
又，，
所以存在唯一，使得，即，
当时，，，变化情况如下：
所以，又因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，又，
所以，因为，即，且，
故的最小整数值为3.
所以存在最小整数，使得对任意恒成立.
【点睛】本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值之间的关系，恒成立问题转化为求函数的最值，以及构造法、二次求导判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力，化简计算能力．
+
0
-
极大值
+
0
-
+
0
-
极大值