安徽省合肥市第一中学2021-2022学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

合肥一中2021-2022学年度高一第一学期期末考试

数学试卷

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若、是全集真子集，则下列四个命题①；②；③；④中与命题等价的有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论．

【详解】解：由得Venn图，

①；

②；

③；

④；

故和命题等价的有①③，

故选：B．

【点睛】本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了Venn图的应用，属于基础题．

2. 函数的最小正周期为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据公式求函数的最小正周期.

【详解】解：，可得函数的最小正周期，

故选：C.

3. 已知，均为正实数，且，则的最小值为

A. 20 B. 24 C. 28 D. 32

【答案】A

【解析】

【详解】分析：由已知条件构造基本不等式模型即可得出.

详解：均为正实数，且，则

当且仅当时取等号.

      的最小值为20.

      故选A.

点睛：本题考查了基本不等式性质，“一正、二定、三相等”.

4. 已知，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据正切值求得正弦、余弦值，从而求得二倍角的正弦值.

【详解】由知，，或，，

则，

故选：B

5. 给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若，则与的终边相同；④若，是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.

【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；

对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；

对于③，若，则与的终边相同，或关于轴对称，③错误；

对于④，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，④错误；

综上，其中正确命题是②，只有个.

故选：

【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.

6. 下列各组函数与的图象相同的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据相等函数的定义即可得出结果.

【详解】若函数与的图象相同则与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同.

A：的定义域为R，的定义域为，故排除A；

B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；

C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；

D：与的解析式不相同，故排除D.

故选：B

7. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是满足的偶函数，且当时，，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】把函数有3个零点，转化为有3个不同根，画出函数与的图象，转化为关于的不等式组求解即可.

【详解】由函数的图象与函数的图象关于直线对称，得，函数是最小正周期为2的偶函数，当时，，函数有3个零点，即有3个不同根，

画出函数与的图象如图：

要使函数与的图象有3个交点，则，且，即.∴  实数的取值范围是.

故选：B.

8. 设函数,则下列结论错误的是

A. 函数的值域为 B. 函数是奇函数

C. 是偶函数 D. 在定义域上是单调函数

【答案】D

【解析】

【分析】

根据分段函数的解析式研究函数的单调性，奇偶性，值域，可得结果.

【详解】当时，为增函数，所以，当时，为增函数，所以，

所以的值域为，所以选项是正确的；

又 ，，所以在定义域上不是单调函数，故选项是错误的；

因为当时，，所以，当时，，所以，

所以在定义域内恒成立，所以为奇函数，故选项是正确的；

因为恒成立，所以函数 为偶函数，故选项是正确的.

故选：D

【点睛】本题考查了分段函数的单调性性，奇偶性和值域，属于基础题.

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 给出下列四个命题，其中正确的命题有（    ）

A. 的符号为正

B. 函数的定义域为

C. 若，，则或

D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据角的象限以及诱导公式可知A不正确；解不等式可知B正确；根据求出，再求出和可得，可知C不正确；根据诱导公式化简可知D正确.

【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，因为，所以的符号为负，故A不正确；

对于B，由得且不为轴上的角，所以或，，所以函数的定义域为，故B正确；

对于C，由，得，得，

又因为，，所以，所以，

所以，

所以，，

所以，故C不正确；

对于D，，故D正确.

故选：BD

【点睛】关键点点睛：掌握三角函数的符号规则、诱导公式、同角公式是解题关键.

10. 以下函数在区间上为单调函数的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】对于AB选项，由两角和与差的正弦函数公式将函数化为形式，再由函数的图象与性质求解即可判定；对于C选项，由二倍角公式可得，再由正弦函数的性质即可判定；对于D选项，由同角三角函数基本关系可得，再由正切函数的性质即可判定.

【详解】解：对于A选项，，

当时，，所以，函数在区间上不单调，所以A错误，

对于B选项，，当时，，所以，函数在区间上单调递增，所以B正确，

对于C选项，，当时，，

所以，函数在区间上不单调，所以C错误，

对于D选项，当时，，所以，函数在区间上单调递增，所以D正确

故选：BD.

11. 给出下列结论，其中正确的结论是（    ）

A. 函数的最大值为

B. 已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是

C. 函数满足，则

D. 已知定义在上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021

【答案】CD

【解析】

【分析】利用指数函数的性质，结合函数的最值对A进行判断；利用对数函数的性质及复合函数的单调性对B进行判断；由得，，，对C进行判断；利用函数的零点与方程根的关系，结合奇函数的性质对D进行判断，从而得结论.

【详解】对于A，因为，所以，因此有最小值，无最大值，所以A错误，

对于B，因为函数（且）在上是减函数，

所以，解得，实数的取值范围是，所以B错误，

对于C，由得，，，∴.所以C正确，

对于D，因为定义在上的奇函数在内有1010个零点，所以函数在内有1010个零点，而，因此函数的零点个数为，所以D正确，

故选：CD

12. 已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（    ）

A. 为奇函数

B. 若的一个零点为，且，则

C. 在区间的零点个数为3个

D. 若大于1的零点从小到大依次为，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】运用奇函数的定义和诱导公式可判断A；由零点的定义和同角三角函数关系可判断B；由零点的定义和图象的交点个数，可判断C；由时，和的图象，结合正切函数的性质，可判断D.

【详解】因为，

所以函数为奇函数，故A正确；假设，即，时，

，

所以当，时，，

当，时，，

当，，则，由于的一个零点为，则，故B正确；

如图：

当时，令，，则大于0的零点为，，的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且，所以函数在区间的零点个数为4个，故C错误；

由图可知，大于1的零点，，，所以，

而，故推出，故D正确.

故选：ABD.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题后的横线上.

13. 已知，均为锐角，，，则的值为______

【答案】

【解析】

【分析】直接利用两角的和的正切关系式，即可求出结果．

【详解】已知，均锐角，，，则，

所以：，

故．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，以及两角和的正切关系式的应用，其中解答中熟记两角和的正切的公式，准确运算是解答的关键，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

14. 衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：．已知新丸经过50天后，体积变为．若一个新丸体积变为，则需经过的天数为______．

【答案】75

【解析】

【分析】由题意，先算出，由此可算出一个新丸体积变为需经过的天数.

【详解】由已知，得，

∴．

设经过天后，一个新丸体积变为，

则，

∴，

∴，．

故答案为：75.

15. 已知函数定义域为，若满足① 在内是单调函数；存在使在上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数且 是“半保值函数”，则的取值范围为________

【答案】

【解析】

【分析】根据半保值函数的定义,将问题转化为与的图象有两个不同的交点，即有两个不同的根,换元后转化为二次方程的实根的分布可解得.

【详解】因为函数且是“半保值函数”，且定义域为，

由时，在上单调递增，在 单调递增，

可得为上的增函数；

同样当时，仍为上的增函数，

在其定义域内为增函数，

因为函数且是“半保值函数”，

所以与的图象有两个不同的交点，

所以有两个不同的根，

即有两个不同的根,

即有两个不同的根,

可令，，

即有有两个不同正数根，

可得，且，

解得.

【点睛】本题考查函数的值域的求法，解题的关键是正确理解“半保值函数”，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

16. 函数的部分图象如图所示，则___________.

【答案】##

【解析】

【分析】函数的图象与性质，求出､与的值，再利用函数的周期性即可求出答案.

【详解】解：由图象知，，∴，又由图象可得：，可求得，∴，

∴，

∴

故答案为：.

四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 设

（1）分别求

（2）若，求实数的取值范围

【答案】（1）；或   

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；

（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.

【小问1详解】

解：解不等式可得，，

所以，或，或；

【小问2详解】

解：由可得，且，

所以，解得，即.

18. 已知函数（为常数且）的图象经过点，

（1）试求的值；

（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得的值.

（2）将原不等式分离常数，利用函数的单调性，求出的取值范围.

【详解】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以.

（2）原不等式为，即在时恒成立，而在时单调递减，故在时有最小值为，故.所以实数的取值范围是.

【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.

19.

已知函数.

（Ⅰ）求的最小正周期：

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2，．

【解析】

【详解】（Ⅰ）因为

，

故最小正周期为   

（Ⅱ）因为，所以． 

于是，当，即时，取得最大值；

当，即时，取得最小值．

点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.

20. 已知函数，.

（1）若角满足，求；

（2）若圆心角为，半径为2的扇形的弧长为，且，，求.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）对已知式子化简变形求出，从而可求出的值，

（2）先对化简变形得，再由可求出，再利用弧长公式可求得结果

【小问1详解】

∵，

∴，∴.

【小问2详解】

∵

∴，

∴，

∵，

∴或.

∴或.

21. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．

（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，）

（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中．

①求的表达式；

②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值．

【答案】（1），（2）①（），②28毫克/立方米

【解析】

【分析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，分类讨论解出即可

（2）①由题意可得（），②由于可化为，然后利用基本不等式可求出其最小值

【详解】解：（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，

则当时，由，得，所以，

当时，由，得，，得，所以，

综上，，

所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时，

（2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为

（毫克/立方米），

所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为

（），

②（），

，当且仅当，即时取等号，

所以第二次喷洒小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克/立方米

【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的实际应用、分段函数的意义和性质、基本不等式、分类讨论的思想，考查分析问题的能力，解题的关键是正确理解题意，求出（），然后利用基本不等式求出其最小值，属于较难题

22. 已知函数的图象过点，.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；

（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.

【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；

（2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函数在上有零点，列出不等式组，即可求解；

（3）求得的最大值，得出，得到，设，结合单调性和最值，即可求解.

【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得，

所以函数的解析式为.

（2）由（1）可知，，

令，得，

设，则函数在区间上有零点，

等价于函数在上有零点，所以，解得，

因为，所以的取值为2或3.

（3）因为且，所以且，

因为，

所以的最大值可能是或，

因为

所以，

只需，即，

设，在上单调递增，

又，∴，即，所以，

所以m的取值范围是.

【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：

1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.