湖南省衡阳市2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含部分解析)

这是一份湖南省衡阳市2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含部分解析)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级数学
时量：120分钟 总分：120分
一、选择题（共12小题）
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列说法中：①3的平方根是；②是9的一个平方根；③的平方根是；④0.01的算术平方根是0.1；⑤；⑥的立方根是2；其中正觕的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列说法中，正确的个数是（ ）
①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；（3）无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0利1；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知，则的值为（ ）
A．72 B．54 C．17 D．12
6．在边长为a的正方形中挖去一个边长为6的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．5
8．计算的结果是（ ）
A． B．2 C． D．
9．已知，则的值为是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
10．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如记；
已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应着的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算求值：（ ）
A． B． C． D．
12．已知图①是长为，宽为的小长方形纸片，图②是大长方形，且边，将7张如图①的小长方形纸片不重叠地放在大长方形内，如图③所示，未被覆盖两个长方形用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积差为，若的长度变化时，始终保持不变，则应满足（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题）
13．的平方根是__________．
14．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是__________．
15．，则__________．
16．已知的展开式中不含和项，则__________．
17．若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为__________．
18．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如．现对72进行如下操作：72第一次，第二次，第三次，类似地，只需进行3次操作变为1的所有正整数中，最大的是__________．
三、解答题（共8小题）
19．计算：；
20．化简求值：，其中．
21．尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若为正整数，且，求的值．
22．定义一种新运算：观察下列各式：
（Ⅰ）请计算__________；
（Ⅱ）请猜一猜：__________．（用含的代数式表示）；
（Ⅲ）若，请计算的值．
23．上数学课时，老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
，
当时，的值最小，最小值是0，
．
当时，的值最小，最小值是1，
的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）知识再现：当__________时，代数式有最小值是__________；
（2）知识运用：若，求的最大值；
（3）知识拓展：若，求的最小值．
24．如图，边长为的正方形和边长为的正方形拼在一起，三点在同一直线上，设图中阴影部分的面积为．

图① 图② 图③
（1）如图①，的值与的大小有关吗？说明理由；
（2）如图②，若，求的值；
（3）如图③，若，求的值．
25．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为为实数叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：．
（1）填空：__________，__________．
（2）计算：①；②；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：，（为实数），求的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式．
26．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：

图① 图② 图③
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是__________；
（2）用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1：____________________；方法2：____________________；
并写出二个代数式之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：若，求的值；
（4）根据（2）中的等量关系，直接写出和之间的关系；若，分别求出和的值__________；
（5）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一儿何体的休积，也可以得到一个恒等式．根据图③，写出一个代数怛等式：____________________；
（6）已知，利用上面的规律求的值．
八年级数学
参考答案
一、选择题（共12小题）
1． 解析：B
2．解析：D
3．解析：C
4．解析：A
5．解析：A
6．解析：C
7．解析：A
8．解析：C
9．解析：C
10．解析：B
11．解析：A
12．解析：D
解：如图，左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，阴影部分面积之差，
则，即．
二、填空题（共6小题）
13．解析：解：的平方根是，故答案为：
14．解析：解：一个正数的两个平方根分别是和，
，
，
，
这个正数为，
故答案为：49．
15．解析：解：设
则，
．
故答案为：9
16．解析：解：，的展开式中不含和项，
则有，
解得：，
故答案为：10．
17．解析：解：二次三项式是完全平方式，
或．
故答案为：或．
18．解析：解：，
而：，
即：只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是：255，故答案为：255．
三、解答题（共8小题）
19．解析：解：
20．解析：解：原式
，
原式
21．解析：解：（1）原式
即，则，
即．
（2）．
（3）原式
22．解析：解：（Ⅰ）
故答案为：，
（Ⅱ），
故答案为：．
（Ⅲ）当时，
即：，
23．解析：解：（1），当时，代数式有最小值3；故答案为：3，3；
（2），
当时，有最大值．
即有最大值，此时；
（3），
当时，的最小值为．
24．解析：解：（1）S的值与a无关，理由如下：
由题意知：，
的值与无关．
（2），
．
（3），
．
，
，
，
，
，
25．解析：解：（1），
，，
（2）①；
②；
（3），
，
；
（4）
26．解析：解：（1）由题意可得小矩形的长为，宽为，
图2中阴影部分正方形的边长为：，
故答案为：；
（2）阴影部分的面积：
方法一：利用整体思想，边长为的正方形其面积为，
方法二：利用分割思想，阴影部分面积边长为的大正方形面积个长为宽为的矩形面积，
三个代数式之间的数量关系为：，
或：；
（3），且，
，
；
（4）由（2）可得：，
，，
，
，
综上，的值为的值为12．
（5）方法一：正方体棱长为
体积为，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即，
故答案为：；
（6），
．