安徽省合肥市第四十五中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份安徽省合肥市第四十五中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在平面直角坐标系中，点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知正比例函数，当时，，则下列各点中在该函数图象上的是( )
A. B. C. D.
3.小轩有两根长度为和的木条，他想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为的木条( )
A. B. C. D.
4.等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为( )
A. B. C. 或D. 或
5.已知直线经过点，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
7.三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为( )
A. B. C. D.
8.下列命题中，真命题的个数是( )
内错角相等；
若函数是关于的一次函数，则的值是；
三角形的三条高相交于同一点；
在同一平面内，若，，则．
A. 个B. 个C. 个D. 个
9.如图，，分别表示甲、乙两人在越野登山比赛整个过程中，所走的路程与甲出发时间的函数图象，有下列说法：越野登山比赛的全程为；乙的速度为；的值为；乙到达终点时，甲离终点还有正确说法有( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
10.如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
11.函数中自变量的取值范围是 ．
12.在平面直角坐标系中，点的坐标为，若点在轴上，则点的坐标为 ．
13.已知一次函数的图象不经过第三象限，则正整数的值为 ．
14.定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”例如：点，，的“最佳间距”是．
点，，的“最佳间距”是 ；
当点，，的“最佳间距”为时，点的横坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
如图，的顶点，，若向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，且点、、的对应点分别是点、、．
画出，并直接写出点的坐标；
求的面积．
16.本小题分
如图，中，，是的两条高，， ．
请画出，；
若，求的长．
17.本小题分
已知直线在轴上的截距为，且与直线：平行．
求直线的函数表达式；
求直线与轴交点坐标，并画出其函数图象．
18.本小题分
如图，直线的函数表达式为，直线与轴交于点 ，直线：与轴交于点 ，且经过点 ，如图所示，直线，交于点．
求点 的坐标和直线的函数表达式；
利用函数图象直接写出关于的不等式的解集．
19.本小题分
已知与成正比例，且时，．
求与的函数关系式；
将所得函数图象向上平移个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积．
20.本小题分
如图，在中，是高，是角平分线，且．
若，，求，的度数；
若，直接写出此时的度数．
21.本小题分
如图，在中，，的角平分线交于点，则如图，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，求证：．
如图，当、被等分时，内部有个点，则与的关系为：__________用含的代数式表示
22.本小题分
如图，在中，，是上一点，且．
求证：；
证明：在中，
已知，
____________________．
又已知，
____________________．
在中，
三角形内角和定理，
等式的性质，
垂直的定义．
如图，若的平分线分别交，于点，，求证：；
如图，若为上一点，交于点，，，，连接，求的面积．
23.本小题分
如图，四边形中，，动点从出发，以每秒个单位的速度沿路线运动到停止．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图所示．
图 图 图
结合图和图可知，__________，__________；
当点在线段上运动时，请写出与的关系式并写明自变量的取值范围；
当时，等于多少？
如图，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿路线运动到点停止，同时，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿路线运动到点停止，设运动时间为，当点运动到边上时，连接、、，当的面积为时，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键，四个象限点的坐标符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据各象限内点的坐标特点，再根据点的坐标符号，即可得出答案．
【解答】
解：点，且，，
点所在的象限是第二象限．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查待定系数法及函数图象上点坐标的特征，掌握函数图象上的点，其坐标需满足解析式是解本题的关键．
先求出正比例函数，再将点坐标逐个代入，即可得答案．
【解答】
解：正比例函数，当时，，
，
解得，
正比例函数为，
在正比例函数中，
若，则，
在函数图象上，故A不符合题意；符合题意；
若，则，不在函数图象上，故C不符合题意
若，则，不在函数图象上，故D不符合题意
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
设木条的长度为，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】
解：设木条的长度为，
则，
即．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
由于已知的长为的边，没有说明是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理．
【解答】
解：当腰长为时，
底边长为：；，能构成三角形
当底边长为时，
腰长为：；，能构成三角形．
故底边长是或．
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，可得出．
【解答】
解：，
随的增大而减小，
又点，，均在直线上，，
．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到和的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答】
解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
，，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形内角和定理的内容和三角形的外角定义是解题的关键，可以利用“设法”求角度．
根据三角形的内角和定理分别求得三角形的三个内角度数，再根据三角形的外角定义可计算求解，从而判断最大的外角．
【解答】
解：设三角形的内角为别为，，，
，
解得，
，，
，，
这个三角形最大的外角的度数是，
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
根据平行线的性质、一次函数的定义、三角形高的概念及垂直于同一直线的两直线平行，判断即可．
本题考查真假命题的判断，掌握平行线的性质、一次函数的定义、三角形高的概念及垂直于同一直线的两直线平行等是解题的关键．
【解答】
解：两直线平行，内错角相等，故说法错误；
由是关于的一次函数，得
解得，
故说法错误；
三角形三条高所在的直线相交于一点，故说法错误；
在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故说法正确；
综述，真命题的是．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据图象的纵轴坐标可得越野登山比赛的全程为；根据“速度路程时间”可得乙的速度；先求出甲中途休息后的速度，再根据题意列方程解答即可求出的值；根据甲的速度可得乙到达终点时，甲离终点的距离．
【解答】
解：由题意可知，越野登山比赛的全程为，故说法正确；
乙的速度为：，故说法错误；
甲中途休息后的速度为：，
设甲出发分钟后两人相遇，则：
，
解得，
，故说法正确；
乙到达终点时，甲离终点还有：，故说法错误．
所以说法正确的有，共个．
故选B．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
由题意平分，平分，推出，，设，设，，用含和的代数式表示和即可解决问题．
【解答】
解：如图：
平分，平分，
，，
设，，，
由外角的性质得：
，，
，
解得，
，
，
．
故选C．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
，
解得．
故答案为．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了坐标轴上点的坐标特征，涉及一元一次方程，求代数式的值等知识．
根据点在轴上可得，解方程求出的值并代入，即可求解．
【解析】
解：当点在轴上，，
，
当时，．
点的坐标为．
故答案为．
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查一次函数的性质、解一元一次不等式组等知识，关键是利用一次函数的性质列不等式组解答．
根据一次函数的图象不经过第三象限，可以得到该函数解析式中和的正负性，列出一元一次不等式组并求得的范围，再结合为正整数求其取值即可．
【解答】
解：一次函数的图象不经过第三象限，
，得
为正整数，
或
故答案为或．
14.【答案】
或

【解析】【分析】
本题主要考查了坐标与图形性质，提炼出新定义的规则，根据规则分类讨论是解决问题的关键；当两距离的大小不确定时需要分类讨论．
分别计算出，，的长度，比较得出最小值即可
当点，，的“最佳间距”为或者的长度，用表示出线段和线段的长度，分和两种情况讨论，求出各自条件下的“最佳间距”并使其等于，再解出即可．
【解答】
解：点，，，
，，
垂线段最短，
，
点，，的“最佳间距”是．
由题意知，点，，，
，，
当时，
为最佳间距，
或
解得或
当时，
为最佳间距，
或
综上所述，点的横坐标为或．
15.【答案】解：如图，三角形即为所求，的坐标为
的面积．
【解析】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分割法求三角形面积．
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可
把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
16.【答案】解：画出，如图：
，
，
．
【解析】本题考查了三角形的高、三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键．
根据三角形高的定义画出，即可
根据三角形面积公式得到，即可得到，，从而求得．
17.【答案】解：设直线的函数表达式为，
直线与直线平行，在轴上的截距是，
，，
故直线的函数表达式为．
令时，，
直线与轴交点坐标为，
令时，，
直线与轴交点坐标为．

【解析】本题考查了两直线平行问题，求直线与坐标轴的交点以及一次函数图象的画法．
利用直线与直线平行的性质直接求解
令求出，得到直线与轴的交点坐标，再令求出，得到直线与轴的交点坐标，最后根据两点画出函数的图象．
18.【答案】解：点是直线与轴的交点，
，
则，
解得，
，
点在直线上，
，
，
点的坐标为
点、在直线：上，
，
解之得：
直线的解析式为
由图象可知，．
【解析】 本题考查了一次函数图象中两直线相交的问题，运用待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图象解一元一次不等式是解决问题的关键．
利用直线的解析式令，求出的值即可得到点的坐标；把点的坐标代入直线的解析式求出的值即可得解；再根据点、的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答
要求的解集，就是求直线的图象在直线的图象下方时的取值范围．
19.【答案】解：由题知，与成正比例，
设
当时，，
解得
，即与的函数关系式
将向上平移个单位后，函数关系式为
令，则，令，则
则平移后与坐标轴围成的三角形面积为．
【解析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
由与成正比例设出函数关系式，把与的值代入关系式求出的值，即可确定解析式
利用平移规律求出平移后的函数解析式，分别求出平移后的解析式与两坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求解．
20.【答案】解：，，
，
是的角平分线，
，
是边上的高，
，
，
，
．
【解析】本题考查了三角形高和角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，能求出和的度数是解此题的关键．
根据三角形内角和定理求出，再结合角平分线的定义求出；根据三角形的高求出，再结合直角三角形两锐角互余求出，最后根据角的和差求出即可
求出，根据三角形内角和定理求出，再结合角平分线的定义求出；根据三角形的高求出，再结合直角三角形两锐角互余求出，最后根据角的和差求出即可．
解：见答案；
；
理由如下：
，
，
，
是的角平分线，
，
是边上的高，
，
，
，
．
即的度数为．
21.【答案】证明：在中，
和分别是、的三等分线，
，，
A.
【解析】本题考查了三角形的内角和定理，综合运用了三角形的内角和定理和等分角的概念，注意由特殊到一般的总结．
先根据三角形内角和定理求得，再根据三等分线的定义求得，即可求出
由得到等式的规律并写出即可，证明与方法类似．
解：见答案；
，
且，，
A.
22.【答案】解：直角三角形两锐角互余；等量代换；
证明：平分，
．
，
，
，，，
，
．
连接，
设，则，
，
，
，
，
又，
，
解得，，
．
【解析】本题考查的是三角形的面积计算、直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质等，掌握三角形的面积公式、三角形的外角性质是解题的关键．
根据直角三角形的性质、三角形内角和定理解答即可
根据角平分线的定义得到，再运用三角形的外角性质分别表示和，证明结论即可
根据三角形的面积公式分别求出、，结合图形求出的值，以此表示两三角形面积的大小关系；连接，设，根据三角形的面积关系表示出、和，建立它们与有关的方程并求出，把代入计算得到答案．
23.【答案】解：；．
当点在线段上运动时，，
设一次函数的解析式为，
将点，代入得：
解得
．
令，得，解得
的值为或．
【解析】本题是一次函数综合题，考查的是一次函数与动点问题，能灵活运用数形结合的思想是解题的关键．
由函数图象可知，点从出发，从点到点耗时秒，从点到点耗时秒，从点到耗时秒，即，再由，即可求解
设出，把点代入，求出，的值即可．
令，解出的值即可
由题意得，当运动到停止的时间为秒，而点运动到的时间也为秒，所以只需分点、都在边上时，
点在上方，点在点下方两种情形，再利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得．
解：由函数图象可知，点从出发，
从点到点耗时秒，从点到点耗时秒，从点到耗时秒，
，，，
由图可知，当时，
此时，
解得，
故答案为，．
见答案；
当点、都在边上，且点在点上方，此时有以为底边，为高的三角形，
，，
，
的面积，
解得：，
当点、都在边上，且点在点下方，此时有以为底边，为高的三角形，
，，
，
的面积，
解得，
综上，的值为或．