哈师大附中2023-2024学年度高二上学期期中考试数学试题含答案解析

这是一份哈师大附中2023-2024学年度高二上学期期中考试数学试题含答案解析，共6页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：高二备课组
一、单选题：本题共8道小题，每个小题5分，共40分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知过点的直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
4．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线
5．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（ ）
A． B． C．D．
6．已知圆与圆相交于A，B两点，则=（ ）
A．B．C．D．
7．已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为4的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的短轴长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，点为直线 与抛物线的一个交点，若，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4道小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当且时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
10．在市某届马拉松比赛前5000名的成绩中抽取部分成绩，绘制如下频数分布表（单位：分钟）：
则下列选项正确的是（ ）
A．这组数据众数的估计值为160分钟
B．这组数据第62百分位数的估计值为325分钟
C．估计总体中成绩落在分钟内的选手人数为4500
D．在由以上数据绘制的频率分布直方图中，各组长方形的高度之和为0.02
11．已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，，的面积为S，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．使得为直角三角形的点共6个
C．若为钝角三角形，则
D．的最大值是9
12．如图，抛物线的顶点为A，焦点为F，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为B，焦点也为F，准线为，焦准距为6．和交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．四边形MNST的面积为40
C．
D．的取值范围为
三、填空题：本题共4道小题，每小题5分，共20分.
13．样本中共有5个个体，其值分别为.若的平均数为10，则该样本的平均数为 ．
14．已知点在曲线上运动，则的最大值为 ．
15．已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则 ．
16．椭圆中，点为左顶点，点为上顶点，直线过原点且与椭圆交于，两点（在第一象限），则四边形的面积最大值为 ．
四、解答题：本题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知点，，点A关于直线的对称点为B．
（1）求的外接圆的方程；
（2）过点作的外接圆的切线，求切线方程．
18．（12分）某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个．为挑选优秀团队，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个．
(1)应从大三团队中抽取多少个团队？
(2)将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的成绩如下：
甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142
乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140
从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛．分别计算两组成绩的平均数和方差，并分析应选择哪一组参赛，理由是什么？
19．（12分）从2021年秋季学期起，黑龙江省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式．“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中分别表示原始分区间的最低分和最高分，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为．某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：

（1）根据频率分布直方图，求，并估计此次化学考试原始分的平均值；
（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间；
（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为88，试计算其等级分（计算结果四舍五入取整）．
20．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为2，记C的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程，并说明E为何种曲线；
（2）已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，且，
求证：直线BD经过定点．
21．（12分）已知双曲线的离心率为.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）动直线分别交双曲线的渐近线于两点（点分别在第一、四象限），且（为坐标原点）的面积恒为8，是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为, ，直线, 分别与圆相交于异于点的, 两点．
（i）求证：；
（ii）求的面积的取值范围．
高二上学期期中考试数学试题参考答案
选择题：
填空题：
13.314. 15. 16.
解答题：
17．解：（1），垂直平分线方程为，
由，得圆心，半径
所以的外接圆方程是. ……5分
（2）因为，则点在圆外，则过点作圆的切线有两条.
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由题意得，圆心到切线的距离，解得，
所以切线方程为.
当切线斜率不存在时，切线方程为.
综上，切线方程为或. ……10分
18．解：（1）由题意知，大三团队个数占总团队个数的，
则应从大三中抽取 (个)团队． ……2分
（2）甲组成绩的平均数，
乙组成绩的平均数，
……6分
甲组数据的方差

，
乙组数据的方差
， ……10分
选甲组理由：甲、乙两组平均数相差不大，但，甲组成绩波动小．
选乙组理由：，在竞技比赛中，高分团队获胜的概率大． ……12分
19．解：（1）由，可得，
此次化学考试成绩的平均值为分．
（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为，位于区间的占比为，
因为成绩A等级占比为，所以等级A的原始分区间的最低分位于区间，
估计等级A的原始分区间的最低分为，
已知最高分为98，所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为．
（3）由，解得，该学生的等级分为89分．
20．解：（1）设圆心，半径为，
因为圆心为C的动圆过点，所以，
因为圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为2，所以，
所以，即，所以曲线E是抛物线. ……4分
（2）设直线：，
联立，消去并整理得，
，即，
设，，则，，
因为，，
所以，
所以，将代入得，即，
所以直线：，所以直线BD经过定点. ……12分
21．解：（1）因为离心率，又，
所以，
所以，故，
所以双曲线的渐近线方程为. ……4分
（2）存在符合题意的双曲线，
设双曲线的两条渐近线分别为，，
双曲线的方程为，
依题意得直线的斜率不为零，
因此设直线的方程为，
设直线交轴于点，，，
联立得，
同理得，.
由已知，所以，
所以，
又，所以，
由的面积，得，
即，①
联立得，
因为，所以，直线与双曲线只有一个公共点当且仅当，
即，化简得，
将①式代入可得，，
解得，因此双曲线的方程为，
因此，存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，双曲线的方程为. ……12分
22．解：（1）∵椭圆的左焦点，∴.
将代入，得.又，∴，.
∴椭圆的标准方程为. ……4分
（2）（i）设点.
①当直线，的斜率都存在时，设过点与椭圆相切的直线方程为.
由，消去，得.
.
令，整理得.
设直线，的斜率分别为，. ∴.
又，∴.
∴，即为圆的直径，∴.
②当直线或的斜率不存在时，不妨设，则直线的方程为.
∴，，也满足.
综上，.
（ii）设点，.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
由，消去，得.
.
令，整理得.
则.
∴直线的方程为.化简可得，即.
经验证，当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，也满足.
同理，可得直线的方程为.
∵在直线，上，∴，.
∴直线的方程为.
由，消去，得.
∴，.
∴
.
又点到直线的距离.
∴.
令，.则.
又，∴的面积的取值范围为. ……12分
分组
频数
20
60
160
140
80
40
等级
A
B
C
D
E
人数比例
赋分区间
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
D
A
A
B
A
ABD
BD
AC
ACD