四川省宜宾市南溪第一中学2024届高三上学期一诊模拟数学（理）试题（Word版附答案）

这是一份四川省宜宾市南溪第一中学2024届高三上学期一诊模拟数学（理）试题（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，则
A. B. C. D.
3.若实数a使得“，”为真命题，实数a使得“，”为真命题，则q是p的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数的图象可能是
A. B.
C. D.
5. 若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
6. 已知正实数m，n满足，则的最大值为2，则定值是
A. 2B. C. D.
7. 已知是定义在上的偶函数且在上为增函数，若，，，则
A. B. C. D.
8. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则
A. B. C. D.
9. 现随机安排甲､乙等4位同学参加校运会跳高､跳远､投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则
A.事件与相互独立 B.事件与为互斥事件 C. D.
10. 已知等差数列的前项和为，若，则
A. B. C. D.
11.已知正四面体的外接球的体积为，则该正四面体的棱长为
A. B. C. D.
12. 若，，，则
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中的系数是__________.
14.已知随机变量其中.若则__________.
15.若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为___________.
16.已知函数，则不等式的解集为___________.
三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（12分）已知数列各项都不为0，前项和为，且，数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和为.
18.（12分）某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均
数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中
近似为样本平均数，求；
为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方
法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取
10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望.
参考数据：若，则①；②；③.
19.（12分）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
20.（12分）过原点的直线交椭圆于两点,,面积的最大值为
(1)求椭圆的方程；
(2)连交椭圆于另一个交点，又分别记的斜率为,求的值.
21.（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若两个不相等的正实数a，b满足，求证：；
（3）若，求证：.
（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，则按做的第一题记分。
22.[选修4—4：极坐标与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求，的直角坐标方程；
(2)若直线l与交于A，B两点，与交于C，D两点，，且，求．
23.[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知
(1)若，求不等式的解集；
(2)，若图象与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数m的取值范围．
南溪一中高2021级高三入学考试试题理科数学参考答案
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
12.解：记则，所以在单调递增，
故，
记，则，令，解得，故在上单调递减，
故,即，即，故，
记，则，
故当时，，故在上是增函数，
故，即，故，
故.
填空题：
13. 14. 15. 16.
16.解：设，则函数定义域为，
因为，
故函数为奇函数，
因为函数、、、均为上的增函数，
故函数为上的增函数，
因为，
由可得，
可得，
所以，，即，解得.
三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17.解：（1）由，可得，两式相减得，整理得，因为数列各项都不为0，所以数列是以为公比的等比数列.
令，则，解得，故.…………………………………………4分
由题知，所以
………………………………………6分
（2）由（1）得， …………………………………………7分
所以，
，
两式相减得， ………………10分
所以. ……………………………………………………………………………12分
18.解：（1）根据频率分布直方图得：
.…………………………3分
（2）由题意知，即，
所以.……………………6分
（3）由题意可知和的频率之比为：，
故抽取的10人中和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，故的分布列为：
所以.……………………12分
解：（1）证明：过点作于点，因为平面平面，且平面平面平面，所以平面，
又平面，所以，又平面平面，
所以，又因为平面，所以平面.…………6分
（2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，
，
设平面的一个法向量为，
即取，
所以为平面的一个法向量，……8分
因为在线段上（不含端点），所以可设，
所以，设平面的一个法向量为，
即
取，所以为平面的一个法向量，………………10分
，又，由已知可得.
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，此时是上靠近的三等分点. ……………………12分 (说明：定义法+相似也可以做！）
20.解：（1）易知
故椭圆的方程为 …………………………………………4分
设AC的方程为x=2+ty，Ax1,y1,Bx2,y2，由
21.解：（1）函数的定义域是.
由，得在上单调递减；
由，得在上单调递增，
综上知，的单调递减区间是，单调递增区间是.……………………………4分
（2）由（Ⅰ）得在的值域为，
在上的值域为.注意到，.
不妨设则欲证，即证.
由于由（Ⅰ）得在上单调递增，故只需证，
由已知，即证，也即
令，.
，
由，在单调递增，得
单调递增且.
由于，故满足.
由单调递增知：
当时，.单调递减，值域为；
当时，单调递增，值域为；
设，，则，单调递减，
故，即，取，得，即
综上，得，即，得证.……………………………8分
（3）由（2）知.
（1）当时，在上单调递增，故.
（2）当时，由，取，
得（）时，
有，即.
由在上单调递增，故，
综上，得时，当成立.……………………………12分
（1）消去曲线参数方程中的参数，得的普通方程：
由得，又，则有， ……………………………5分
所以，的直角坐标方程分别为，.
（2）把代人，得，
整理得，
设点,所对应的参数分别为，则，…………6分
把代人，得，
整理得，
设点,所对应的参数分别为，则，，………7分
，且，即与的中点重合，因此，
于是，而，解得， ……………………………8分
，
所以 ……………………………10分
23.解：（1）当时,，……………………………2分
由，可得或或，解得或，
所以不等式的解集为或； ……………………………5分
（2）由题可得，
可得函数的大致图象如图所示，
图象与两坐标轴交于点，，
所以， ………………………7分
依题意，所以，，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
A
C
B
A
C
A
D
D
C
B
0
1
2
3