四川省成都市嘉祥教育集团2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省成都市嘉祥教育集团2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共16页。
1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，请监考人员将答题卡收回．
2．选择题部分用2B铅笔填涂；非选择题部分使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题均无效．
4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合，则集合 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由并集运算的定义可得.
【详解】，，
根据并集运算的定义可得，
.
故选：A.
2. 已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出每个选项中对应法则中的取值范围，结合函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，当时，，且，A中的对应法则可以作为从到的函数；
对于B选项，当时，，且，B中对应法则可以作为从到的函数；
对于C选项，当时，，且，C中的对应法则不能作为从到的函数；
对于D选项，当时，，则，且，
D中的对应法则可以作为从到的函数.
故选：C.
3. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】取特殊值可判断ACD，利用不等式的性质判断B.
【详解】对A，取，显然不成立，故A错误；
对B，由不等式性质知，，则正确，故B正确；
对C，取时，由可得，故C错误；
对D，时，显然，故D错误.
故选：B.
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式求出不等式的解集，根据为的真子集，得到答案.
【详解】解不等式得，
不等式化为，所以，
因为为的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用配方法整理分母，结合不等式的性质，可得答案.
【详解】由，则.
故选：B
6. 若，则最小值为（ ）
A. 12B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意确定，且，将变形为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】因为，故，则，
故
，
当且仅当，即时等号成立，
即的最小值为，
故选：D
7. 近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的大小无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小.
【详解】甲购买猪肉的平均单价为：，
乙购买猪肉平均单价为：，
显然，
且，
当且仅当时取“=”，
因为两次购买的单价不同，即，
所以，
即乙的购买方式平均单价较大.
故选：C.
8. 函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析得到函数为偶函数，在单调递增，则对任意的，不等式恒成立，转化为，恒成立，再转化为，得，恒成立，再分两种情况，得到的范围.
【详解】由题得函数为偶函数，在单调递增，
则对任意的，不等式恒成立，
则不等式，恒成立，
则，恒成立，
得，得，恒成立，
则且，或且，恒成立，
即当时，且，或且，
又当，有，，
得.
故选：C.
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性解不等式，考查了学生分析能力，逻辑思维能力，转化思想，综合能力强，难度大.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列各组中M，P表示相同集合的是（ ）
A. M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z }
B. M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }
C. M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N }
D. M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R }
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M ，P都表示所以偶数组成的集合，A正确，
对于B，M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }，即B正确，
对于C，M，P因此C正确，
对于D，集合M的元素是实数，集合P的元素是有序实数对，因此D不正确.
故选：ABC
10. 关于函数，正确的说法是（ ）
A. 与x轴仅有一个交点
B. 的值域为
C. 在单调递增
D. 的图象关于点中心对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数求值、值域的定义、函数单调性、对称性，可得答案.
【详解】对于A，令，则，由，则，解得，
所以函数图象与轴交唯一一点，故A正确；
对于B，由函数，显然，则，
所以函数的值域，故B正确；
对于C，由函数，根据反比例函数的单调性，
可得在和上单调递减，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
11. 若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据基本不等式可判断A正确，B正确，C正确；取特值可判断D错误.
【详解】因为，，，
对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，取，，得，故D错误.
故选：ABC
12. 设函数，其中表示x，y，z中的最小者．下列说法正确的有（ ）
A. 函数为偶函数
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定函数，画出函数图象并求出函数解析式，再逐项分析判断即得.
【详解】画出函数的图象，如图所示：
对于A，观察图象得，当时，，
当时，，，当时，，
，因此，，为偶函数，A正确；
对于B，当时，，的图象可看做是的图象向右平移两个单位而得，
经过平移后，的图象总是在图象的下方，即恒成立，B正确；
对于C，当时，的图象可看做是的图象向右平移两个单位而得，
而经过平移后，函数的图象有部分在函数的图象下方，C错误；
对于D，，，令，，
则当时，，当时，，
当时，，因此，成立，即当时，，D正确．
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 幂函数在上的单调性是_________．（填“单调递增”或“单调递减”）
【答案】单调递增
【解析】
【分析】根据幂函数的性质求解.
【详解】因为，所以幂函数在上单调递增，
故答案为: 单调递增.
14. 已知函数是奇函数，当时，，则=_________．
【答案】－3
【解析】
【分析】由奇函数的性质求解即可.
【详解】因为函数是奇函数，
所以.
故答案为：
15. 已知集合，集合，且为真命题，则实数m的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用集合交集的结果求参数的取值范围.
【详解】因为为真命题，
所以,
又因为，，
（i）当，即，时，满足题意；
（ii）当，即，时，
要使，则或，解得，
综上所述，或，
故答案为: .
16. 已知函数，若，且，设，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，由此可得,，进而得=，根据二次函数的性质即可求出的最大值.
【详解】解：作出函数的图象如图所示：
由题意可得,
且有，即，
所以=，
因为，对称轴为，
所以当时，的最大值为.
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，集合．
（1）求和；
（2）设，若，求实数a的取值范围．
【答案】17. ；
18.
【解析】
【分析】（1）根据集合的交并补运算，可得答案；
（2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案.
【小问1详解】
由题意，可得，
所以，．
【小问2详解】
因为，若，
所以解得，所以a的取值范围是．
18. 已知函数，．
（1）判断函数的单调性，并利用定义证明；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）在上单调递增；证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）由单调性的定义直接证明即可；
（2）结合单调性构造关于m的不等式求解．
【小问1详解】
证明：，，
任取，可知，
因为，所以，，，
所以，即，
故在上单调递增；
【小问2详解】
由（1）知：在上单调递增，
所以，可得，解得
故实数m的范围是．
19. 已知实数，且 ，.
（1）当时，求的最小值，并指出取最小值时的值；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1），，最小值
（2）
【解析】
【分析】(1)当时，由已知可得，然后利用乘法，结合基本不等式可求.
(2)当时，变成，结合基本不等式可求.
【小问1详解】
因为时，已知等式即为，结合,所以，
故，
当且仅当时等号成立，并结合,
解得，时，等号成立．
【小问2详解】
当时，已知等式即为
注意到 ，
所以
等号取得的条件是.
所以的取值范围是.
20. 目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助．该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为，其中v为传感器在静水中行进的速度（单位：km∕h），t为行进的时间（单位：h），k为常数，如果待测量的河道的水流速度为3 km∕h．设该传感器在水中逆流行进10 km消耗的能量为E．
（1）求E关于v的函数关系式；
（2）当v为多少时传感器消耗的能量E最小？并求出E的最小值．
【答案】（1）（v＞3）
（2）v = 6 km∕h，最小值120k．
【解析】
【分析】（1）求出传感器在水中逆流行进10 km所用的时间，表达出所消耗的能量；
（2）变形后，利用基本不等式求出最小值，得到答案.
【小问1详解】
由题意，该传感器在水中逆流行进10 km所用的时间（），
则所消耗的能量（）．
【小问2详解】
有
当且仅当，即v = 6km∕h时等号成立，
此时取得最小值．
21. 已知命题满足，命题满足．
（1）若存在，p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，解不等式，结合不等式性质，可得答案；
（2）根据必要不充分条件，将题意写成集合，利用分类讨论思想，可得答案.
【小问1详解】
当时，由，得，所以．
而，，∴，
故实数a的取值范围是．
小问2详解】
设集合，．
若p是q的必要不充分条件，则真包含于．
当时，，满足题意；
当时，，且，解得；
当时，，且，解得．
综上所述，实数a的取值范围是．
22. 对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么，
（1）求函数的“稳定点”；
（2）求证：；
（3）若，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）“稳定点”为；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】本题拿出一个概念来作为新型定义题，只需要去对定义的理解就好，要求函数的“稳定点”只需求方程中的值，即为“稳定点”
若，有这是不动点的定义，此时得出，，如果，则直接满足.
先求出即存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论.
【详解】（1）由有，得：，所以函数的“稳定点”为；
（2）证明：若，则，显然成立；
若，设，有，则有，
所以，故
（3）因为，所以方程有实根，即有实根，
所以或，解得又由得：即由（1）知，故方程左边含有因式
所以，又，
所以方程要么无实根，要么根是方程的解，
当方程无实根时，或，即，
当方程有实根时，则方程的根是方程的解，
则有，代入方程得，故，
将代入方程，得，所以.
综上：的取值范围是.
【点睛】作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求；求稳定点，就去求，完全根据定义去处理问题.
需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样.