专题23 勾股定理中的树折和梯子模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）

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【模型1】风吹树折模型
如图，已知树干AB垂直于地面，树干AC被风吹倒后弯折在地，该模型通常转化为直角三角形，应用勾股定理进行求解。
（1）如果已知AB和BC，可通过设AC=，根据勾股定理可得，求出的值，进而可求出树高。
（2）如果已知树高和BC，可通过设AB=，根据勾股定理可得，求出的值。
【模型2】梯子模型
如图已知梯子AB向下滑动了米，如图是滑落后的梯子。
如果已知梯子的长度和AC，可根据勾股定理先求出BC的长度，在中，应用勾股定理：
可求出滑落的距离，
【例1】如图，《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈=10尺）答：原处的竹子还有多少尺高．则高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：，
解得x=．
故选：B．
【例2】如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．
A．0.5B．0.4C．0.6D．1
【答案】A
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．
【解析】解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，
∴，
∵AB=2.5米，BC=1.5米，
∴AC===2米．
∵Rt△ECD中，CE⊥CD，
∴，
∵AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，
∴EC===1.5米，
∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．
故选：A．
【例3】一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】（1）AC=25米，BC=7米，根据勾股定理即可求得的长；
（2）由题意得： =20米，根据勾股定理求得，根据即可求解．
【解析】（1）解：由题意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°，
（米）
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得： =20米，
（米）
则：=15-7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【例4】《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺．）
【答案】折断处离地面的高度是4.55尺．
【分析】首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10−x）尺，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．
【解析】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10−x）尺，
根据题意得：x2＋32＝（10−x）2，
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面的高度是4.55尺．
一、单选题
1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（ ）
A．5mB．12mC．13mD．18m
【答案】C
【分析】根据勾股定理求解即可．
【解析】由题意得：
则（m）
故选：C．
2．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝4m，则树高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．
【解析】据题意，AC=2m,∠CAB=90°，AB＝4m，
由勾股定理得
∴AC+BC=.
即树高为
故选：C．
3．如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前的高度为（ ）
A．10mB．12mC．14mD．16m
【答案】D
【分析】先利用勾股定理求出旗杆顶部到折断处的长，再由旗杆折断之前的高度是折断的两部分的长度之和求解即可．
【解析】如图，记旗杆顶部为点A，折断处为点B，旗杆底部为点C，
由题意得BC⊥AC，BC=6m，AC=8m，
∴∠ACB=90°，
∴m，
∴BC+AB=6+10=16m，
∴旗杆折断之前的高度是16m，
故选：D．
4．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”翻译成数学问题；如图，在中，，，，若设，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理建立方程即可．
【解析】解： ，，，
设，则，则
故选D
5．一架米长的梯子，斜立在一坚直的墙上，这时梯子的底端离墙米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯子底部在水平方向上滑动（ ）
A．0.4米B．米C．米D．米
【答案】C
【分析】依题意画出图形，先利用勾股定理求出AC，进而得出，再利用勾股定理求出即可解答．
【解析】解：如图，在Rt△ABC中，AB=2.5，BC=0.7，∠ACB=90°，
∴，
∴=2.4-0.4=2，
在Rt△中，，
∴=1.5-0.7=0.8，
即梯子底部在水平方向上滑动0.8米，
故选：C．
6．如图，一根长为2.5m的梯子AB斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B离墙根E的距离为0.7m，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动0.8m至D处，则梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC为（ ）
A．0.4mB．0.5mC．0.8mD．0.7m
【答案】A
【分析】在Rt△ABE中求出AE，在Rt△CDE中求出CE，继而可得出顶端将沿墙向下移动的距离．
【解析】解：由题意得，AB＝CD＝2.5m，BE＝0.7m，DE＝1.5m，
在Rt△ABE中，，
在Rt△CDE中，2m，
∴梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC＝2.4−2＝0.4m，
故选：A．
7．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横章竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖若比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为尺，则下列方程，满足题意的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，门框的长，宽，以及竹竿长是直角三角形的三个边长，等量关系为：门框长的平方+宽的平方=门的两个对角长的平方，把相关数值代入即可求解．
【解析】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．
∴门框的长为（x-2）尺，宽为（x-4）尺，
可列方程，，
故选C．
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4mB．2.5mC．2.6mD．2.7m
【答案】D
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【解析】解：在Rt△ABC中，
AB==2.5m，
∴A′B=2.5m，
在Rt△A′BD中，
BD==2m，
∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m，
故选：D．
二、填空题
9．如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为__________．
【答案】24米
【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．
【解析】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12米，旗杆离地面9米折断，且旗杆与地面是垂直的，
∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断部分的旗杆为：米，
∴旗杆折断之前高度为15+9=24米．
10．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高_____．
【答案】(4+6)m
【分析】过C作CD⊥AB于D，由题意知BC=10，CD=6，根据勾股定理可得BD=8，从而得到AD的长，再利用勾股定理可得AC的长，即可得到树原来的高度．
【解析】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D，
由题意知BC=10m，CD=6m，
根据勾股定理得：BD=8m，
∵AB=4m，
∴AD=8+4=12m，
AC===6m，
∴这棵数原来的高度=（4+6）m，
故答案为：（4+6）m．
11．云南省是我国乃至世界公认的竹类种质资源大省如图，有一根由于受虫伤而被风吹折断的竹子正好顶端着地，折断处离地面的高度为3米竹子的顶端落在离竹子根部距离4米处，则这根竹子原来的高度为______米．
【答案】8
【分析】由题意，根据勾股定理求出斜边的长度，即可求出竹子原来的高度．
【解析】解：根据题意，如图：
∵，，，
∴，
∴这根竹子原来的高度为：（米）；
故答案为：8．
12．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为 _____米．
【答案】2.7
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【解析】解：在Rt△ABC中，，
∴，
在中，，
∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m，
故答案为：2.7．
13．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到，使梯子的底端到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至，那么的值___ 1米（填>，