2023-2024学年江苏省苏州市昆山市昆山四校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市昆山市昆山四校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A. x+1x=2B. 2x2−x=1C. 3x3=1D. ax2−4x=0
2.若抛物线y=x+42−1平移得到y=x2，则必须( )
A. 先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B. 先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C. 先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D. 先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
3.若关于x的一元二次方程x2+bx−2=0的一个根为x=−1，则b的值为( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
4.如图，抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n相交于点3,0和0,3，若ax2+bx+c>mx+n，则x的取值范围是
( )
A. 03D. x<1或x>3
5.某品牌衬衫原来每件售价400元，经过连续两次降价后，现在每件的售价为200元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程为
( )
A. 2001+2x=400B. 4001−2x=200
C. 2001+x2=400D. 4001−x2=200
6.已知二次函数y=ax−22+2ax−2(a为常数，a<0)，则该函数图象的顶点位于
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7.在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是
( )
A. B.
C. D.
8.已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是(−1,5)(2,0)，点D在抛物线y=13x2+kx的图像上，则k的值是( )
A. 23B. 13C. 73D. 43
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.已知矩形的长和宽是方程x2−9x+20=0的两个实数根，则矩形的面积为___________．
10.二次函数y=x2+4的顶点坐标为_________．
11.若关于x的一元二次方程kx2−6x+8=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围__________．
12.已知抛物线y=12x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=4，若点1,y1，点3,y2在抛物线上，则y1_____y2.(填“>”“<”或“=”)
13.若(m2+n2)(m2+n2−1)=12，求(m2+n2)的值为___________．
14.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
15.如图，小球从长度为8m的斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1m/s，则下列说法：①小球每秒滚动1米；②由静止开始经过1秒，小球滚动了0.5米；③小球滚动到斜面底端时需要4秒；④小球滚动的距离S与经过的时间t的关系为s=12t2；其中说法正确的是__________.(填写序号)
16.已知二次函数y=−x2+4x+5及一次函数y=−x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象(如图所示)，当直线y=−x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是_____．
三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
解方程：
(1)x2−2x−2=0
(2)3x+12=12
18.(本小题8.0分)
已知关于x的方程x2+2x+m−2=0．
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围：
(2)当该方程的一个根为−3时，求m的值及方程的另一根．
19.(本小题8.0分)
如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(1,−2)，与x轴的另一个交点为C.
(1)求该图象的解析式；
(2)求AC长．
20.(本小题8.0分)
已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(−3,0)、(2,−5)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)请你判断点P(−2,4)是否在这个二次函数的图像上？
21.(本小题8.0分)
已知二次函数y=−x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)．
(1)求出b，c的 值，并写出此二次函数的解析式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
22.(本小题8.0分)
已知抛物线y=ax2−2ax−8(a≠0)经过点(−2,0)．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)直线l交抛物线于点A(−4,m)，B(n,7)，n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方(不与点A，B重合)，求出点P纵坐标的取值范围．
23.(本小题8.0分)
某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
(1)设每件童装降价x元时，每天可销售_________件，每件盈利__________元；(用x的代数式表示)
(2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
24.(本小题8.0分)
小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax−h2+k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
25.(本小题8.0分)
已知二次函数y=−x2+2mx+1；
(1)求证：无论m取任何值，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点；
(2)若此函数图象的顶点为D点，与y轴的交点于点C，直线CD与x轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，求证：BC⊥AD；
26.(本小题8.0分)
如图所示，二次函数y=−mx2+4m的顶点坐标为(0,2)，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设点A的坐标为(x,y)，试求矩形ABCD的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
(3)是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．
27.(本小题8.0分)
如图，在矩形ABCO中，OA=5,AB=4，点D为边AB上一点，将▵BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC,OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
(1)求OE的长及经过O,D,C三点抛物线的解析式；
(2)一动点P丛点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时时为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
(3)若点N在(1)中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标：若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义(含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)进行判断即可．
【详解】解：A、x+1x=2为分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、2x2−x=1是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、未知数的最高次项的次数为3，所以方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、当a=0时，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)．
2.【答案】B
【解析】【分析】确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法．
【详解】解：抛物线y=(x+4)2−1的顶点坐标为(−4,−1)，
y=x2的顶点坐标为(0,0)，
抛物线y=(x+4)2−1先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到y=x2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据方程解的定义，将已知的方程解代入方程求解即可．
【详解】因为关于x的一元二次方程x2+bx−2=0的一个根为x=−1，
所以将x=−1代入方程可得1−b−2=0，
解得b=−1，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：解决本题的关键是要将方程的已知解代入方程进行求解．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n相交于点3,0和0,3，
∵ax2+bx+c>mx+n
则ax2+bx+c>mx+n的解集为：x<0或x>3．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．
5.【答案】D
【解析】【分析】第一次降价后的价格是原价的1−x，第二次降价后的价格是第一次降价后价格的1−x，根据题意列方程即可．
【详解】解：根据题意，得4001−x2=200．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价，难度不大．
6.【答案】A
【解析】【分析】根据二次函数的解析式可求得该函数的对称轴为直线x=1，即可求解．
【详解】解：∵y=ax−22+2ax−2=ax2−2ax=a(x−1)2−a，
∴该二次函数的对称轴为直线x=1．
∵当x=1时，y>0，
∴该函数图象的顶点在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象可知a>0，b>0，c<0，从而判断出二次函数y=ax2+bx+c的图象．
【详解】解：∵二次函数y=ax2的图象开口向上，
∴a>0，
∵次函数y=bx+c的图象经过一、三、四象限，
∴b>0，c<0，
对于二次函数y=ax2+bx+c的图象，
∵a>0，开口向上，排除A、B选项；
∵a>0，b>0，
∴对称轴x=−b2a<0，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出a>0，b>0，c<0是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】直接利用正方形的性质得出各边长，进而利用勾股定理得出DO的长，即可得出C点坐标，代入y=13x2+kx即可得出k的值．
【详解】作DM⊥x轴于M，AN⊥DM于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC，
∴∠ADN+∠CDM=90°=∠CDM+∠DCM，
∴∠ADN=∠DCM，
∵∠AND=∠DMC=90°，
∴△ADN≌△DCM(AAS)，
∴AN=DM，DN=CM，
设D(a,b)，
∵点A、C的坐标分别是(−1,5)(2,0)，
∴a−2=5−ba+1=b，解得a=3b=4,
∴D(3,4)，
∵D在抛物线y=13x2+kx的图像上，
∴13×32+3k=4，
∴k=13，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，得出D点坐标是解题关键．
9.【答案】20
【解析】【分析】设方程x2−9x+20=0的两个实数根为x1,x2，根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：设方程x2−9x+20=0的两个实数根为x1,x2，
根据根与系数的关系可得x1⋅x2=20，
所以矩形的面积为x1⋅x2=20
故答案为20
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
10.【答案】0,4
【解析】【分析】利用顶点式即可直接找到顶点坐标．
【详解】解：由顶点式可知y=x2+4的顶点为0,4，
故答案为：0,4．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，熟悉二次函数的性质是解题关键．
11.【答案】k<98且k≠0
【解析】【分析】由方程kx2−6x+8=0有两个不相等的实数根，则有k≠0且▵>0，然后求它们的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得，k≠0且▵>0，
即▵=−62−4k×8=36−32k>0，
∴k<98且k≠0．
故答案为：k<98且k≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式．当▵>0，方程有两个不相等的实数根；当▵=0，方程有两个相等的实数根；当▵<0，方程没有实数根．同时考查了一元一次不等式的解法．
12.【答案】>
【解析】【分析】因为抛物线的对称轴为直线x=4，根据二次函数的性质即可判断y1>y2．
【详解】解：抛物线y=12x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=4，
∴当x<4时，y随x的增大而减小，
∵1<3<4，
∴y1>y2．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】【分析】设m2+n2=x，把原方程变形，求得x，即可得出(m2+n2)的数值．
【详解】解：设m2+n2=x，则原方程为xx−1=12，
整理得x2−x−12=0，
x+3x−4=0，
∴x+3=0，x−4=0，
解得x1=−3，x2=4，
∵m2+n2是非负数，
∴m2+n2=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
14.【答案】1,−3
【解析】【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】解：∵y=x2+2x−1=x+12−2，
∴抛物线的顶点为(−1,−2)，
将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋转180°抛物线顶点为(1,2)，
旋转后的抛物线为y=−x−12+2，
再向下平移5个单位，y=−x−12+2−5即y=−x−12−3．
∴新抛物线的顶点(1,−3)
故答案是：(1,−3)．
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
15.【答案】②③④
【解析】【分析】根据题意表示出平均速度，根据滚动距离S=平均速度乘以时间t得出关系式，解答即可．
【详解】解：∵速度每秒增加1m/s，
∴t秒后小车的速度为tm/s，
平均速度为：12tm/s，
∴小球滚动的距离S与经过的时间t的关系为：S=12t2，故④正确；
∴小球由静止开始第1秒滚动的距离为：S=12×12=0.5米，故①错误，②正确；
小球滚动到斜面底端：8=12t2，解得：t1=4,t2=−4(舍)，故③正确，
故答案为 ：②③④．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意得出小球滚动的距离S与经过的时间t的关系是解本题的关键．
16.【答案】−294【解析】【分析】解方程−x2+4x+5=0得A(−1,0)，B(5,0)，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=(x+1)(x−5)，即y=x2−4x−5(−1≤x≤5)，然后求出直线y=−x+b经过点A(−1,0)时b的值和当直线y=−x+b与抛物线y=x2−4x−5(−1≤x≤5)有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y=−x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．
【详解】解：如图所示：

当y=0时，−x2+4x+5=0，解得x1=−1，x2=5，则A(−1,0)，B(5,0)，
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(x+1)(x−5)，
即y=x2−4x−5(−1≤x≤5)，
当直线y=−x+b经过点A(−1,0)时，1+b=0，解得b=−1；
当直线y=−x+b与抛物线y=x2−4x−5(−1≤x≤5)有唯一公共点时，方程x24x5=−x+b，即x2−3x−5−b=0有相等的实数解，即Δ=32−4×1×(−5−b)=0
解得b=−294，
所以当直线y=−x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为−294故答案为：−294【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
17.【答案】(1)x1=1+ 3，x2=1− 3
(2)x1=1，x2=−3

【解析】【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可：
(2)方程两边同除以3，然后再用直接开平方法解方程即可．
【小问1详解】
解：x2−2x−2=0
▵=−22−4×1×−2=12，
∴x=2± 122=1± 3，
即x1=1+ 3，x2=1− 3．
【小问2详解】
解：3x+12=12，
方程两边同除以3得：x+12=4，
开平方得：x+1=±2，
∴x1=1，x2=−3．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．
18.【答案】(1)m<3；(2)m的值是−1，该方程的另一根为1．
【解析】【分析】(1)根据Δ=b2−4ac>0计算即可得出答案；
(2)利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=−2,x1x2=m−2，先根据一个根为−3，求出另一个根，再根据两根之积即可求出m的值．
【详解】解：(1)b2−4ac=22−4×1×m−2=12−4m>0，
解得：m<3．
(2)由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=−2,x1x2=m−2，
∵该方程的一个根为−3，
∴另一个根为−2−(−3)=1，
∴m−2=1×(−3)，
解得m=−1，
∴m的值是−1，该方程的另一根为1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解题的关键．
19.【答案】(1)y=x2−x−2
(2)3

【解析】【分析】(1)把点A−1,0,B1,−2代入y=x2+bx+c中，利用待定系数法把问题转化为解方程组即可求解．
(2)令y=0,求出A，C两点坐标即可解决问题．
【小问1详解】
把点A−1,0,B1,−2代入y=x2+bx+c中，得
1−b+c=01+b+c=−2,
解之得b=−1c=−2,
∴二次函数的解析式为：y=x2−x−2.
【小问2详解】
对于二次函数y=x2−x−2,
令y=0,得x2−x−2=0,
∴x1=−1,x2=2,
∴A−1,0,C2,0,
∴OA=1,OC=2,
∴AC=OA+OC=1+2=3.
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握求函数与坐标轴的交点坐标的方法，属于中考常考题型．
20.【答案】(1)y=−x2−2x+3；(2)点P不在该二次函数上
【解析】【分析】(1)把(−3,0)、(2,−5)代入函数解析式，利用待定系数法求出解析式即可；
(2)把P(−2,4)代入函数解析式，看左右两边是否相等即可．
【详解】解：(1)把(−3,0)、(2,−5)代入函数解析式得，
9a−3b+3=04a+2b+3=−5，解得，a=−1b=−2,
抛物线解析式为y=−x2−2x+3，
(2)把P(−2,4)代入函数解析式，左边=4，右边=−(−2)2−2×(−2)+3=3，
左边≠右边，
点P不在该二次函数上．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式．
21.【答案】1)b=2，c=3，y=−x 2+2x+3；(2)−1【解析】【分析】(1)把抛物线上的两点代入解析式，解方程组可求b、c的值；(2)令y=0，求抛物线与x轴的两交点坐标，观察图象，求y>0时，x的取值范围．
【详解】解：(1)将点(−1,0)，(0,3)代入y=−x2+bx+c中，得−1−b+c=0c=3
解得b=2c=3．
∴y=−x2+2x+3
(2)当y=0时，解方程−x2+2x+3=0，
得x1=−1,x2=3，
又∵抛物线开口向下，
∴当−10．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线与x轴的交点，开口方向，可求y>0时，自变量x的取值范围．
22.【答案】(1)y=x2−2x−8，顶点坐标为(1,−9)
(2)−9≤yP<16

【解析】【分析】(1)将点(−2,0)代入求解；
(2)分别求出点A、B坐标，根据图像开口方向及顶点坐标求解．
【小问1详解】
解：把(−2,0)代入y=ax2−2ax−8，
可得0=4a+4a−8，
解得a=1，
∴抛物线的函数表达式为y=x2−2x−8，
∵y=x2−2x−8=(x−1)2−9，
∴抛物线顶点坐标为(1,−9)；
【小问2详解】
把x=−4代入y=x2−2x−8，
可得y=(−4)2−2×(−4)−8=16，
∴m=16，
把y=7代入函数解析式得7=x2−2x−8，
解得x=5或x=−3，
∴n=5或n=−3，
∵n为正数，
∴n=5，
∴点A坐标为(−4,16)，点B坐标为(5,7)，
∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1,−9)，
∴抛物线顶点在AB下方，
∴−4【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式．
23.【答案】(1)(20+2x)；(40−x);(2)每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元．
【解析】【分析】(1)根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价−进价，列式即可；
(2)根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得．
【详解】解：(1)设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40−x元，
故答案为(20+2x)，(40−x)；
(2)根据题意，得：(20+2x)(40−x)=1200
解得：x1=20，x2=10
答：每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．
24.【答案】1)y=−0.1x−52+3.2
(2)2或6m

【解析】【分析】(1)根据顶点5,3.2，设抛物线的表达式为y=ax−52+3.2，将点P0,0.7，代入即可求解；
(2)将y=1.6代入(1)的解析式，求得x的值，进而求与点3,0的距离即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意可知抛物线的顶点为5,3.2，
设抛物线的解析式为y=ax−52+3.2，
将点0,0.7代入，得0.7=25a+3.2，
解得a=−0.1，
∴抛物线的解析式为y=−0.1x−52+3.2，
【小问2详解】
由y=−0.1x−52+3.2，令y=1.6，
得1.6=−0.1x−52+3.2，
解得x1=1,x2=9，
∵爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
∴当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为3−1=2(m)，或9−3=6(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
25.【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】【分析】(1)根据根的判别式得出Δ=2m2−4×−1×1=4m2+4>0，即可证明结论；
(2)用m表示出B、D两点的坐标，求出点C的坐标，用m表示出BC2，BD2，CD2，根据勾股定理的逆定理证明▵BCD是直角三角形，得出∠BCD=90∘，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵Δ=2m2−4×−1×1=4m2+4>0，
∴方程−x2+2mx+1=0有两个不同的实数解，
即无论m取任何值，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点．
【小问2详解】
证明：∵二次函数y=−x2+2mx+1，
∴对称轴的直线为x=−2m−2=m，顶点D点的坐标为m,m2+1，点C0,1，
∵对称轴的直线x=m与x轴相交于点B，
∴Bm,0，
∴BC2=m2+12=m2+1，
BD2=m2+12=m4+2m2+1，
CD2=m2+m2+1−12=m4+m2，
∵BC2+CD2=m2+1+m4+m2=m4+2m2+1，
∴BC2+CD2=BD2，
∴▵BCD是直角三角形，∠BCD=90∘，
∴BC⊥AD．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，勾股定理及逆定理的应用，二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理及逆定理，准确进行计算．
26.【答案】(1)y=12x2+2；(2)p=−x2−4x+4，其中−2【解析】【分析】(1)由顶点坐标(0,2)可直接代入y=−mx2+4m，求得m=12，即可求得抛物线的解析式；(2)由图及四边形ABCD为矩形可知AD//x轴，长为2x的据对值，AB的长为A点的总坐标，由x与y的关系，可求得p关于自变量x的解析式，因为矩形ABCD在抛物线里面，所以x小于0，大于抛物线与x负半轴的交点；(3)由(2)得到的p关于x的解析式，可令p=9，求x的方程，看x是否有解，有解则存在，无解则不存在，显然不存在这样的p．
【详解】解：(1)∵二次函数y=−mx2+4m的顶点坐标为(0,2)，
∴4m=2，
即m=12，
∴抛物线的解析式为：y=−12x2+2；
(2)∵A点在x轴的负方向上坐标为(x,y)，四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，
∴AD//x轴，
又∵抛物线关于y轴对称，
∴D、C点关于y轴分别与A、B对称．
∴AD的长为2x，AB长为y，
∴周长p=2y+4x=2(−12x2+2)−4x=−(x+2)2+8．
∵A在抛物线上，且ABCD组成矩形，
∴x<2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴y>0，
即x>−2．
∴p=−(x+2)2+8，其中−2(3)不存在，
证明：假设存在这样的p，即：
9=−(x+2)2+8，
此方程无解，所以不存在这样的p．
【点睛】本题考查的二次函数与几何矩形相结合的应用，比较综合，只要熟练二次函数的性质，数形结合，此题算是中档题，考点还是比较基础的，数形结合得出是解题关键．
27.【答案】(1)OE=3，y=43x2+163x；(2)t=53；(3)(2,16)或(−6,16)或(−2,−163)
【解析】【分析】(1)由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(2)用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；
(3)可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．
【详解】解：(1)∵CE=CB=5，CO=AB=4，
∴在Rt△COE中，OE= CE2−CO2=3，
设AD=m，则DE=BD=4−m，
∵OE=3，
∴AE=5−3=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=(4−m)2，解得m=32，
∴D(−32,−5)，
∵C(−4,0)，O(0,0)，
∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax(x+4)，
∴−5=−32a(−32+4)，解得a=43，
∴抛物线解析式为 y=43x(x+4)=43x2+163x；
(2)∵CP=2t，
∴BP=5−2t，
∵BD=52，DE= AD2+AE2=52，
∴BD=DE，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，
DP=DQBD=ED,
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ(HL)，
∴BP=EQ，
∴5−2t=t，
∴t=53；
(3)∵抛物线的对称轴为直线x=−2，
∴设N(−2,n)，
又由题意可知C(−4,0)，E(0,−3)，
设M(m,y)，
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为0+−22=1，线段CM中点横坐标为m+(−4)2，
∵EN，CM互相平分，
∴m+(−4)2=−1，解得m=2，
又M点在抛物线上，
∴y=43×22+163×2=16，
∴M(2,16)；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为m+02，线段CN中点横坐标为(−2)+(−4)2=−3，
∵EM，CN互相平分，
∴m2=−3，解得m=−6，
又∵M点在抛物线上，
∴.y=43×(−6)2+163×(−6)=16，
∴M(−6,16)；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
则M为抛物线的顶点，即M(−2,−163).
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为(2,16)或(−6,16)或(−2,−163).
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点．在(1)中求得D点坐标是解题的关键，在(2)中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在(3)中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．