2023-2024学年江苏省苏州市八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.菱形具有而矩形不具有的性质是( )
A. 两组对边分别平行B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 两组对角分别相等
3.某中学为了解七年级550名学生的睡眠情况，抽查了其中的200名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是( )
A. 以上调查属于全面调查B. 总体是七年级550名学生
C. 所抽取的200名学生是总体的一个样本D. 每名学生的睡眠时间是一个个体
4.在一个不透明的袋子中装有6个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出4个球，下列事件中，必然事件是( )
A. 至少有一个球是白球B. 至少有一个球是红球
C. 至少有两个球是红球D. 至少有两个球是白球
5.如图，在▱ABCD中，点E，点F在对角线AC上．要使▵ADF≌▵CBE，可添加下列选项中的
( )
A. DF=BEB. ∠DAF=∠BCE
C. AE=CFD. AE=EF
6.如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知CE=3,CF=4，则AD的长为
( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.如图，在正方形ABCD中，AB=5，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF=1，将点E绕着点F顺时针旋转90∘得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为
( )
A. 3B. 2.5C. 4D. 10
8.正方形ABCD的边长为2，将该正方形绕顶点A在平面内旋转45∘，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为
( )
A. 4 2−4B. 4−4 2C. 8 2−10D. 8 2−8
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.在平行四边形ABCD中，如果∠A+∠C=200∘，那么∠A的度数是 度．
10.一个不透明袋子里装有3个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出2个球，若两个球中至少有一个球是白球是必然事件，则n= ．
11.在期末体育体能考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有40名学生，达到优秀的有20人，合格的有18人，则这次体育考核中不合格人数的频率为 ．
12.如图，已知点A0,4，B2,0，C6,6，D2,4，连接AB，CD.将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合(点A与点C重合，点B与点D重合)，则这个旋转中心的坐标为 ．
13.如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50∘，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO= 度．
14.如图，在▵ABC纸片中，∠BAC=50∘，将▵ABC纸片绕点A按逆时针方向旋转50∘，得到▵ADE，连接BD，若∠DBC的度数为40∘，则∠ACB的度数为 ．
15.如图，平面内三点A、B、C，AB=4，AC=3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是 ．
16.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F为边AB上的动点，以EF为一边在EF的右上方作等边三角形FEG，当CG最小时，▵ECG的周长为 ．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F分别在AO，OC上，且AE=CF，求证：∠EBO=∠FDO．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，▵ABC的三个顶点分别是A−3,2，B−1,4，C0,2．
(1)将▵ABC先左平移2个单位、再向下平移4个单位，请画出平移后▵A1B1C1；
(2)将▵ABC绕着点O旋转180∘，请画出旋转后▵A2B2C2
(3)若▵A1B1C1与▵A2B2C2是中心对称图形，则对称中心的坐标为________．
(4)在平面直角坐标系中存在一点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标是___________．
19.(本小题8分)
如图，BD是▵ABC的角平分线，过点D作DE/​/BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．

(1)求证：四边形BEDF为菱形；
(2)如果∠A=100∘,∠C=30∘，求∠BDE的度数．
20.(本小题8分)
为了了解2022年某地区5万名大、中、小学生3分钟跳绳成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了20%的学生进行检测．整理样本数据，并结合2018年抽样结果，得到下列统计图．
(1)本次检测抽取了大、中、小学生共______名，其中小学生______名；
(2)根据抽样的结果，估计2022年该地区5万名大、中、小学生，3分钟跳绳成绩合格的中学生人数为______名；
(3)比较2018年与2022年抽样学生3分钟跳绳成绩合格率情况，写出一条正确的结论．
21.(本小题8分)
在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)上表中的a=________，b=________；
(2)“摸到白球的”的概率的估计值是________(精确到0.1)；
(3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
22.(本小题8分)
如图，已知▵ABC．
(1)请在AC的右上方确定一点D，使∠DAC=∠ACB，且CD⊥AD；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若∠B=60∘，AB=2，BC=3，求四边形ABCD的面积．
23.(本小题8分)
如图：在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE=DF．

(1)求证：AC、EF互相平分；
(2)连接AC、EF，若AC平分∠EAF，且EF=4，AC=7，则四边形AECF的面积为______．
24.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，AD/​/BC，∠ABC=∠ADC=45∘，将▵BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，BD与AE相交于点F，BD与AC相交于点G．

(1)求证：AE⊥BD；
(2)若AD=BC=2，试求BD2的值．
25.(本小题8分)
在四边形ABCD中，AD/​/BC，BC⊥CD，AD=6cm，BC=10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．

(1)t取何值时，四边形EFCD为矩形？
(2)M是BC上一点，且BM=4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
26.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E为射线AD上异于D一点，连接BE，在BE的右侧作∠BEF=∠EBC，EF交射线DC于点F，连接BF．

(1)若∠BEF=67.5∘，
①填空：∠DEF= ∘；
②求证：BE=BF；
(2)当点E在线段AD上运动时，∠EBF的度数是否变化？若不变，求出∠EBF的度数，若变化，说明理由；
(3)若DE=3，求线段CF的长．
27.(本小题8分)
如图1，已知正方形ABCD的边长为16，∠A=∠B=∠C=∠D=90∘，AB=BC=CD=AD，点P为正方形ABCD边上的动点，动点P从点A出发，沿着A→B→C→D运动到A点时停止，设点P经过的路程为x，▵APD的面积为y．
(1)如图2，当x=4时，y=______；如图3，当点P在边BC上运动时，y=______；
(2)当y=24时，求x的值；
(3)若点E是边BC上一点且CE=6，连接DE．
①在正方形的边上是否存在一点P，使得△DCE与▵BCP全等？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
②点P在运动过程中，▵PBE为等腰三角形，求出此时x的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【详解】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不合题意；
D、是中心对称图形，故D符合题意；
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了菱形和矩形的相关性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．(1)菱形四边相等；
(2)菱形对角线相互垂直平分且平分一组对角；(3)菱形的对边平行、对角相等邻角互补；(4)菱形的面积等于两对角线乘积的一半．根据矩形及菱形的性质，逐一分析即可进
行解答．
【详解】解：A、菱形和矩形两组对边都分别平行，故A选项不符合题意；
B、菱形对角线不相等，故B选项不符合题意；
C、菱形对角线互相垂直，矩形对角线互相不垂直，故C选项符合题意；
D、菱形和矩形两组对角都分别相等，故D选项不符合题意．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A.以上调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B.总体是七年级550名学生的睡眠情况，故B不符合题意；
C.所抽取的200名学生的睡眠情况是总体的一个样本，故C不符合题意；
D.每名学生的睡眠时间是一个个体，故D符合题意；
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】事件发生的可能性大小逐项判断即可．
【详解】解：A、至少有一个球是白球，是随机事件，故此选项不符合题意；
B、至少有一个球是红球，是必然事件，故此选项符合题意；
C、至少有两个球是红球，是随机事件，故此选项不符合题意；
D、至少有两个球是白球，是随机事件，故此选项不符合题意；
故选：B．
5.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定定理；根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD/​/BC，则∠DAF=∠BCE，进而逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD/​/BC，
∴∠DAF=∠BCE，
A.添加条件DF=BE，不能根据SSA证明▵ADF≌▵CBE，故该选项不正确，不符合题意；
B.已知∠DAF=∠BCE，不能证明▵ADF≌▵CBE，故该选项不正确，不符合题意；
C.添加条件AE=CF，则AE+EF=CF+EF，即AF=CE，根据SAS证明▵ADF≌▵CBE，故该选项正确，符合题意；
D.添加条件AE=EF，不能证明▵ADF≌▵CBE，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
6.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理等知识点，根据矩形的性质得到∠B=∠C=90∘,AD=BC,AB=CD，根据勾股定理得到EF= CF2+CE2= 32+42=5，根据折叠的性质得到AF=AD=BC,DE=EF=5，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握矩形的性质及勾股定理．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90∘,AD=BC,AB=CD，
∵CE=3,CF=4，
∴EF= CF2+CE2= 32+42=5，
∵将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，
∴AF=AD=BC,DE=EF=5，
∴AB=CD=8，
∵AF2=AB2+BF2，
∴AD2=82+AD−42，
解得AD=10，
故选：C．
7.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点G作GH⊥BC，垂足为H，可得∠GHF=90∘，根据正方形的性质可得AB=CD=5,∠B=90∘，根据旋转的性质可得EF=FG,∠EFG=90∘，然后利用同角的余角相等可得∠BEF=∠GFH，从而可证▵EBF≌▵FHG，进而可得BF=GH=1，最后可得点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，从而可得当点G在边CD上时，DG的值最小，进行计算即可解答．
【详解】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∴∠GHF=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=5,∠B=90∘，
∴∠B=∠GHF=90∘，
由旋转得：EF=FG,∠EFG=90∘，
∴∠EFB+∠GFH=90∘，
∵∠BEF+∠BFE=90∘，
∴∠BEF=∠GFH
∴▵EBF≌▵FHGAAS，
∴BF=GH=1，
∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，
∴当点G在CD边上时，DG最小且DG=5−1=4，
∴DG的最小值为4，
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】设C′D′交BC于点M，连AM，由旋转得AD′=AD，∠D′=∠D，∠DAD′=45∘，可证明Rt△AD ′M≌Rt△ABM(HL)，得∠MAD′=∠MAB=12∠BAD′=22.5∘，在AB上截取BE=BM，连接EM，可证明∠EMA=∠MAB=22.5∘，则AE=ME= BE2+BM2= 2BE，所以 2BE+BE=2，则BM=BE=2 2−2，可求得S△AD′M=S△ABM=2 2−2，所以S阴影=4 2−4，于是得到问题的答案．
【详解】解：设C′D′交BC于点M，连AM，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AD=AB=2，∠D=∠B=∠BAD=90∘，
由旋转得AD′=AD，∠D′=∠D，∠DAD′=45∘，
∴AD′=AB，∠D′=∠B=90∘，∠BAD′=∠BAD−∠DAD′=45∘，
在Rt▵AD′M和Rt▵ABM中，
AM=AMAD′=AB,
∴Rt△AD ′M≌Rt△ABM(HL)，
∴∠MAD′=∠MAB=12∠BAD′=22.5∘，
在AB上截取BE=BM，连接EM，则∠BEM=∠BME=45∘，
∴∠EMA=∠BEM−∠MAB=22.5∘，
∴∠EMA=∠MAB，
∴AE=ME= BE2+BM2= 2BE2= 2BE，
∴ 2BE+BE=2，
∴BM=BE=2 2−2，
∴S△AD′M=S△ABM=12AB⋅BM=12×2×(2 2−2)=2 2−2，
∴S阴影=S△AD′M+S△ABM=2 2−2+2 2−2=4 2−4，
故选：A．

9.【答案】100
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质，由平行四边形的对角相等，结合条件可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，且∠A+∠C=200∘，
∴2∠A=200∘，
∴∠A=100∘，
故答案为：100．
10.【答案】1
【解析】【分析】从小到大假设黑球的个数，探讨所有的等可能结果，做出判断．
【详解】若n=1，根据实验方法，摸出两个球，则至少有一个白球；
若n≥2，根据实验方法，摸出两个球，则存在可能结果：摸出两个黑球，不符合题意．
故答案为：1．
11.【答案】0.05
【解析】【分析】本题主要考查了频数与频率，解题的关键是明确频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比).先求得不合格人数，再根据频率的计算公式求得不合格人数的频率即可．
【详解】解：不合格人数为40−20−18=2(人)，
∴这次体育考核中不合格人数的频率为240=0.05．
故答案为：0.05．
12.【答案】4,2
【解析】【分析】本题考查坐标与图形变化−旋转，勾股定理，垂直平分线的性质，解题的关键是理解对应点相连的线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：先连接AC，BD，
分别作线段AC，BD的垂直平分线，其相交于一点，即点P
易知yP=yD+yB2=2
设点P的横坐标为x，
则Px,2，
因为AP=CP，
所以x−02+2−42=x−62+2−62，
解得x=4
则旋转中心P的坐标为4,2．
故答案为：4,2
13.【答案】25
【解析】【分析】先根据菱形的性质得OD=OB，∠COD=90∘，再根据直角三角形的性质得OH=OB，进而得出∠OHB=∠OBH，根据平行线的性质得∠OBH=∠ODC，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90∘．
∵DH⊥AB，
∴OH=12BD=OB，
∴∠OHB=∠OBH．
又∵AB//CD，
∴∠OBH=∠ODC．
在Rt▵COD中，∠ODC+∠DCO=90∘，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90∘，
∴∠DHO=∠DCO=12∠DAB=25∘．
故答案为：25．
14.【答案】105∘
【解析】【分析】先根据旋转的性质得AB=AD，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ADB=65∘，然后利用三角形外角性质计算∠ACB的度数．
【详解】解：∵▵ABC纸片绕点A按逆时针方向旋转50∘，得到▵ADE，
∴AB=AD，
，
∵∠DBC=40∘，
．
故答案为：105∘．
15.【答案】7 22
【解析】【分析】将▵ABD绕点D顺时针旋转90∘得到▵CDM.由旋转不变性可知：AB=CM=4，DA=DM．∠ADM=90∘，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD= 22AM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题．
【详解】解：将▵ABD绕点D顺时针旋转90∘，得▵MCD，如图：

由旋转不变性可得：CM=AB=4，AD=MD，
且∠ADM=90∘，
∴▵ADM是等腰直角三角形，
∴AD= 22AM，
AD最大，只需AM最大，而在△ACM中，AM∴当且仅当A、C、M在一条直线上，即不能构成△ACM时，AM最大，且最大值为AC+CM=AC+AB=7，
此时AD= 22AM=7 22，
故答案为：7 22．
16.【答案】5+ 7
【解析】【分析】以CE为一边在正方形ABCD内作等边▵CEH，连接FH，过点H作HP⊥BC于点P，过点F作FT⊥HP于点T，先证四边形BFTP为矩形，再证▵EFH和▵EGC全等得FH=CG，再由∠FEH=90∘得FH≥FT，由此可得出当点T与点H重合时，FH=BP=3为最小，即CG为最小，最小值为3，然后再求出FB，EF即可得出当CG最小时，▵ECG的周长．
【详解】解：以CE为一边在正方形ABCD内作等边▵CEH，连接FH，
过点H作HP⊥BC于点P，过点F作FT⊥HP于点T，

∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，
∴BC=4，∠B=90∘，
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE=2，
∵▵EFG和▵CEH均为等边三角形，HP⊥BC，
∴EF=EG，EH=EC，∠FEG=∠CEH=60∘，EP=PC=1，
∵HP⊥BC，FT⊥HP，∠B=90∘，
∴四边形BFTP为矩形，
∴FB=TP，BP=FT=BE+EP=3，
∵∠FEG=∠CEH=60∘，
∴∠FEG+∠HEG=∠CEH+∠HEG，
即：∠FEH=∠CEG，
在▵EFH和▵EGC中，
EF=EG∠FEH=∠CEGEH=EC,
∴▵EFH≌▵EGCSAS，
∴FH=CG，
∵∠FTH=90∘，
∴FH≥FT，
∴当点T与点H重合时，FH=BP=3为最小，
即CG为最小，最小值为3，
在Rt▵HEP中，EP=1，∠EHP=30∘，
∴EH=2EP=2，
由勾股定理得：HP= EH2−EP2= 3，
∴FB=HP= 3
在Rt▵BEF中，BE=2，FB= 3，
由勾股定理的EF= BE2+BF2= 7，
∴EG=EF= 7，
∴▵ECG的周长为：EG+EC+CG= 7+2+3=5+ 7．
即当CG最小时，▵ECG的周长为5+ 7．
故答案为：5+ 7．
17.【答案】证明：连接DE、BF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE//DF，
∴∠EBO=∠FDO．

【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形BEDF是平行四边形是解决问题的关键．连接DE、BF，由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC，由已知条件得出OE=OF，证明四边形BEDF是平行四边形，得出对边平行BE//DF，即可得出结论．
18.【答案】(1)
(2)

(3)

解：如图所示：对称中心为−1,−2，
故答案为：−1,−2．
(4)

解：因为点D使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，
如图所示：点D的坐标为2,4、−5,4、−2,0．
故答案为：2,4、−5,4、−2,0．

【解析】【分析】(1)本题考查平移作图，根据题干条件，先平移关键点，再依次连接关键点的对应点即可．
(2)本题考查旋转作图，作图关键在于找准旋转中心，旋转角和旋转方向，先旋转关键点，再依次连接关键点的对应点即可．
(3)本题考查对称中心的概念，对应点连线的交点即是对称中心．
(4)本题考查平行四边形的判定，根据判定即可解题．
19.【答案】(1)证明：∵DE//BC，DF//AB，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∠EDB=∠FBD．
∵BD是▵ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠FBD．
∴∠EBD=∠EDB．
∴EB=ED．
∴四边形BEDF是菱形．
(2)解：▵ABC中，．
∴∠EBD=12∠ABC=25∘．
∴∠BDE=∠EBD=25∘

【解析】【分析】(1)由对边平行可证四边形BFDE是平行四边形，求证∠EBD=∠EDB，于是EB=ED，故四边形BEDF是菱形．
(2)由三角形内角和定理，得∠ABC=180∘−∠A−∠C=50∘，得∠BDE=∠EBD=25∘．
20.【答案】(1)解：本次检测抽取了大、中、小学生人数为：50000×20%=10000名，
其中小学生人数为：10000×45%=4500名，
故答案为：10000；4500；
(2)解：本次检测抽取了中学生人数分别为50000×40%=20000人，
3分钟跳绳成绩合格的中学生人数为20000×90%=18000名，
故答案为：18000；
(3)比较2018年与2022年，2022年某地区中学生3分钟跳绳成绩合格率上升15%，小学生上升10%．

【解析】【分析】(1)根据题意和扇形图提供的信息即可解答；
(2)先计算出样本中中学生人数，及条形图中2022年中学生3分钟跳绳成绩合格率，即可解答；
(3)根据条形图，写出一条即可，答案不唯一．
21.【答案】(1)解：a=59÷100=0.59，b=200×0.58=116．
故答案为：0.59，116；
(2)解：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；
故答案为：0.6；
(3)解：18÷0.6−18=12(个)．
答：除白球外，还有大约12个其它颜色的小球．

【解析】【分析】(1)利用频率=频数÷样本容量直接求解即可；
(2)根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
(3)根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
22.【答案】(1)解：如图，
∴点D为所求点；
(2)解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，
∵∠B=60∘，∠AEB=90∘，
，
∵AB=2，
∴BE=12AB=1，CE=BC−BE=2，
∴AE= AB2−BE2= 22−12= 3，
∵∠DAC=∠ACB，
∴AD//BC，四边形ABCD是梯形，
∴∠D=∠ECD=90∘，
∴四边形AECD是矩形，
∴CE=AD=2，
∴四边形ABCD的面积为12AD+BC⋅AE=12×2+3× 3=5 32，
答：四边形ABCD的面积为5 32．

【解析】【分析】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键．
(1)先作∠DAC=∠ACB，再利用垂直平分线的性质作CD⊥AD，即可找出点D；
(2)由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可．
23.【答案】(1)证明：∵▱ABCD，
∴AD//BC,AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF=CE，
又AF//CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AC、EF互相平分；
(2)∵AF//CE，
∴∠FAC=∠ECA，
∵AC平分∠EAF，
∴∠EAC=∠FAC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC，
∴四边形AECF为菱形，
∴四边形AECF的面积为12AC⋅EF=12×4×7=14．
故答案为：14．

【解析】【分析】(1)证明四边形AECF为平行四边形，即可得证；
(2)先证明四边形AECF为菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可．
24.【答案】(1)证明：∵将▵BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，则AC=BC，∠CAE=∠CBD，
∵∠ABC=45∘，
∴∠BCA=90∘，
∵∠AGF=∠BGC，∠CAE=∠CBD，
∴∠AFG=∠GCB=90∘，
即AE⊥BD；
(2)解：连DE，

∵∠BCD=∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB=90∘．
∵AD=BC=2，AC=BC，
∴CD2=AD2+AC2=22+22=8，
∵将▵BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，得到△ACE，则CE=CD，∠CDE=45∘，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90∘，
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=8+8=16，
在Rt▵ADE中，AE2=AD2+DE2=22+16=20，
∴BD2=AD2=20．

【解析】【分析】(1)根据题意得出∠BCA=90∘，根据三角形内角和定理可得∠AFG=∠GCB=90∘，从而得出结论；
(2)连DE，根据题意得出∠DCE=∠ACB=90∘，根据勾股定理求出DE的长，然后证明∠ADE=90∘，根据勾股定理可得AE的长，则结果可得．
25.【答案】(1)解：由题意可知，AE=t(cm)，则DE=AD−AE=(6−t)cm，BF=2t(cm)，则CF=BC−BF=(10−2t)cm，
∵AD//BC，即DE//CF，
∴当DE=CF时，四边形EFCD为平行四边形，
又∵BC⊥CD，
∴平行四边形EFCD是矩形，
则有6−t=10−2t，解得t=4，
答：t=4时，四边形EFCD为矩形；
(2)解：∵AD//BC，M是BC上一点，即AE//FM，
①当点F在线段BM上，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t=4−2t，解得t=43，
②当F在线段CM上，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t=2t−4，解得t=4，
综上所述t=4s或43s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定，当DE=CF时，四边形EFCD为平行四边形，又由BC⊥CD，平行四边形EFCD是矩形，列出方程求解即可；
(2)F是动点，点F在点M的左边和右边所构成的四边形AMEF都可能是平行四边形，分类讨论列方程求解即可．
26.【答案】(1)解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC
∵∠BEF=∠EBC，∠BEF=67.5∘，
∴∠AEB=∠EBC=∠BEF=67.5∘，
∴∠DEF=180∘−∠AEB−∠BEF=45∘，
故答案为：45；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=AD=CD,∠A=∠BCF=90∘，
∵∠DEF=45∘，
∴∠DFE=45∘=∠DEF，
∴DE=DF，
∴AD−DE=CD−DF，即AE=CF，
∴▵ABE≌▵CBFSAS，
∴BE=BF；
(2)解：∠EBF的度数不变，为定值45∘，理由如下：
如图所示，过点B作BH⊥EF于H，则∠A=∠BHE=∠BHF=90∘，
同理可证明∠AEB=∠HEB，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△HBEAAS，
∴∠ABE=∠HBE，AB=HB，
∵AB=BC，
∴HB=CB，
在Rt▵CBF和Rt▵HBF中，
BC=BHBF=BF,
∴Rt▵CBF≌Rt▵HBFHL，
∴∠HBF=∠CBF，
∴∠EBF=∠EBH+∠FBH=12∠EBH+∠FBH+∠ABE+∠CBF=12∠ABC=45∘，
∴∠EBF的度数不变，为定值45∘；

(3)解：如图，当点E在AD上时，
∵DE=3,AB=AD=6，
∴AE=AD−DE=3，
由(2)可知△ABE≌△HBE，Rt▵CBF≌Rt▵HBF，
∴EH=AE=3,HF=CF，
设HF=CF=x，则DF=6−x，EF=3+x，
在Rt▵DEF中，由勾股定理得DE2+DF2=EF2，
∴32+6−x2=x+32，
解得x=2，
∴CF=2；

如图所示，当点D在AD延长线上时，
过点B作BH⊥EF交EF延长线于H，
同理可证△ABE≌△HBE，
∴AB=BH=BC，EH=AE=AD+DE=9，
∴同理可证Rt▵BCF≌Rt▵BHF，
∴CF=HF，
设CF=HF=x，则DF=x+6,EF=9−x，
在Rt▵DEF中，由勾股定理得DE2+DF2=EF2，
∴32+6+x2=9−x2，
解得x=65，
∴CF=65；
综上所述，CF=2或CF=65．


【解析】【分析】(1)①根据正方形的性质得到AD/​/BC，则由平行线的性质可得∠AEB=∠EBC=∠BEF=67.5∘，则由平角的定义可得答案；②根据正方形的性质得到AB=CB=AD=CD,∠A=∠BCF=90∘，再证明∠DFE=45∘=∠DEF，得到DE=DF，推出AE=CF，即可证明▵ABE≌▵CBFSAS，推出BE=BF；
(2)如图所示，过点B作BH⊥EF于H，则∠A=∠BHE=∠BHF=90∘，先证明△ABE≌△HBE得到∠ABE=∠HBE，AB=HB，再证明Rt▵CBF≌Rt▵HBF，得到∠HBF=∠CBF，即可得到∠EBF=12∠ABC=45∘；
(3)分点E在AD上和点E在AD的延长线上，过点B作BH⊥EF交直线EF于H，仿照(2)通过证明两次三角形全等推出HF=CF，再在Rt▵DEF中，由勾股定理建立方程求解即可．
27.【答案】(1)解：如图2所示，∵AP=x=4,AD=16,∠A=90∘，
∴y=S▵APD=12AP⋅AD=12×4×16=32；
如图3所示，∵点P在边BC上运动，
∴y=S▵APD=12AD⋅AB=12×16×16=128；
故答案为：32，128；
(2)解：由(1)得：点P在边BC上运动时，ΔAPD面积128，
∴只有当点P在边AB或边CD上运动时，y=24，
当点P在边AB上运动时，
∵S▵PAD=12AD⋅PA，
∴12×16×PA=24，
解得，PA=3，
即x=3；
当点P在边CD上运动时，
∵S▵PAD=12AD×PD，
∴12×16×PD=24，
解得：PD=3，
∴x=AB+BC+CD−PD=16+16+16−3=45；
综上所述，当y=24时，x=3或45；
(3)解：①当点P在边AB或边CD上运动时，存在一点P，使得△DCE与▵BCP全等．
如图4，当点P在AB上时，

假设▵DCE≌▵CBP，则有CE=PB=6，
∴AP=AB−BP=16−6=10，即x=10．
如图5，当点P在CD上时，▵DCE≌▵BCP，

∴CP=CE=6，
∴x=AB+BC+CP=16+16+6=38，
综上所述，x=10或38时，使得△DCE与▵BCP全等．
②∵CE=6，
∴BE=16−6=10，
如图4.3，当点P在AB上时，▵PBE为等腰三角形，
∴BP=BE=10，
∴AP=AB−BP=6，
∴x=6；
如图4.4，当点P在CD上时，▵PBE为等腰三角形，
∴PE=BE=10，
∴CP= PE2−CE2=8，
∴x=16+16+8=40；
如图4.5，当点P在DA上时，▵PBE为等腰三角形，
∵PB=PE，
∴P在BE的垂直平分线PQ上，
∴PA=BQ=12BE=5(三线合一定理，平行线间间距相等)，
∴x=16×4−5=59；
综上所述，▵PBE为等腰三角形，此时x的值为6或40或59．

【解析】【分析】(1)由x=4，可得AP=4，然后由y=S▵APD=12AP⋅AD，求得答案；直接由y=S▵APD=12AD⋅AB，求得答案；
(2)由已知得只有当点P在边AB或边CD上运动时，y=24，然后分别求解即可求得答案；
(3)①分两种情况，当点P在边AB或边CD上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质列出关于x的方程求解即可；②分当点P在AB上时，▵PBE为等腰三角形，当点P在CD上时，▵PBE为等腰三角形，当点P在DA上时，▵PBE为等腰三角形，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
b
295
480
601
摸到白球的频率mn
a
0.64
0.58
0.59
0.60
0.601