广东省汕头市金山中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省汕头市金山中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题(每题5分，共60分），填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：周荃 审题人：袁明星
一、选择题(每题5分，共60分）
1．已知，若，则（ ）
A．4B．6C．5D．3
2．倾斜角为120°的直线经过点和，则a =（ ）
A．0B．2C．D．
3．已知条件p：，条件q：表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
4．直线和，若，则与之间的距离
A．B．C．D．
5．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知线段AB的端点B的坐标是，端点在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知在正方体的棱长为2，点E，F分别是直线与上的点，则线段EF长度的最小值为（ ）更多免费优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 A．B．C．D．2
（下面是多选题，每小题漏选2分，错选0分）
9．下列说法错误的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．过两点的所有直线的方程为
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
10．已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆的半径为2
C．存在实数，使得直线与圆相切
D．直线被圆截得的弦长最长为
11．点是正方体中侧面正方形内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（ ）
A．满足的点M的轨迹长度为
B．点M存在无数个位置满足直线平面
C．在线段上存在点M，使异面直线与CD所成的角是30°
D．若E是棱的中点，平面与平面所成锐二面角的正切值为
12．已知椭圆C：的上下焦点分别为，，且焦距为2c，离心率为e.直线l：与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．若AB的最小值为3c，则B．的周长为4a
C．若，则e的取值范围为
D．若AB的中点为M，则
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．过圆上的点的切线方程为 .
14．已知点和点，是直线上的一点，则的最小值是 .
15．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点，而且点在直线上，则的最小值是 .
16．已知点，若圆上存在点，使得线段的中点也在圆上，则实数的取值范围是 .
三、解答题（共70分）
17．（10分）直线经过两直线和的交点．
(1)若直线与直线平行，求直线的方程；
(2)若点到直线的距离为，求直线的方程．
18．（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，求中BC边中线AD长．
19．（12分）如图甲，在矩形中，为线段的中点，∆ADE沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
20．（12分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.
(1)估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；
(2)从课外阅读时间不足10小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；
(3)国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.
21．（12分）已知圆心在轴上的圆与直线切于点.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值．
22．（12分）如图，设直线：，：.点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数）.
（1）求实数的取值范围；
（2）设，求面积的最小值；
（3）是否存在实数，使得的值与无关?若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由.
参考答案：
1．A 2．A 3．A 4．B 5．D 6．D，
7．C
【详解】曲线是以为圆心，为半径的半圆，如图所示
直线是过定点的直线．
设切线的斜率为，切线的方程为，圆心到直线的距离等于半径，即
，解得
直线的斜率为，，
实数的取值范围是
故答案选
点睛：根据图象结合题目条件，直线恒过定点，直线与半圆有两个交点，由相切到过点，运用点到直线距离公式即可求出结果
8．A
【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，设，表示出EF长度即可求出.
【详解】以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x抽，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设，则，
故
，
当且仅当时取等号.故的最小值为.
故选：A.
9．BCD
【分析】根据斜率为求得的范围可判断A；根据两直线垂直的等价条件和充分条件必要条件的定义可判断B；当或时可判断C；当横纵截距都为时，所求直线方程为可判断D，进而可得符合题意的选项.
【详解】对于A：直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故选项A说法正确；
对于B：当时，与直线斜率乘积等于，两直线互相垂直，所以充分性成立，若“直线与直线互相垂直”则可得或，所以得不出，故必要性不成立，“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故选项B说法不正确；
对于C：当或时，直线的方程为或，此时直线的方程不成立，故选项C说法不正确；
对于D：当过且横纵截距都为时，所求直线方程为，当过且横纵截距相等不为时，设所求直线方程为，即，可得，所以直线的方程为，故选项D说法不正确；
故选：BCD.
10．AB
【分析】将直线方程变形后得到，求出恒过的定点,即可判断A,将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标和半径，进而判断B；圆心到直线的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式即可判断C；当圆心在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径4，为最大弦长，即可判断D.
【详解】变形为，故恒过定点，A正确；
变形为，圆心坐标为，半径为2,B正确；
令圆心到直线的距离，
整理得：，
由可得，方程无解，
故不存在实数，使得直线与圆相切，C错误；
若，直线方程为，圆心在直线上，
故直线被圆截得的弦长为直径4，为最大弦长，故D错误．
故选：AB
11．ABD
【分析】利用线面垂直判定可得平面，可知点轨迹即为平面与平面的交线可判断A，利用面面平行得判定可证得平面平面，可知当轨迹为平面与平面的交线可判断B，利用坐标法，根据线线角的向量求法及二面角的向量求法可判断CD.
【详解】对于A，平面，平面，
，又四边形为正方形，
，又平面，，
平面，
点轨迹即为平面与平面的交线，即为，
点轨迹的轨迹长度为，A正确；
对于B，，平面，平面，
平面，同理可得平面，
又，平面，
平面平面，
轨迹为平面与平面的交线，即，
点存在无数个位置满足直线平面，B正确；
对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
在线段上存在点M，设，
则，，
设异面直线与CD所成的角为，又，
所以
，
而，所以在线段上不存在点M，使异面直线与CD所成的角是，故C错误；
对于D，因为，，，
，，
设平面的法向量，
，令，，
又平面的一个法向量，
，
，
即平面与平面所成锐二面角的正切值为，D正确.
故选：ABD.
12．ABC
【分析】易知的最小值为通径，则有，求出，A正确；
，B正确；
设，，，，则有，可得，C正确；
设，，，，，有，D错误.
【详解】解：易知的最小值为通径，则有，即，解得，所以，A正确；
，B正确；
设，，，，，
则有，可得，C正确；
设，，，，，
有，，
由，作差得：，所以，
则有，D错误.
故选：ABC
13．
【分析】求出圆心与切点连线的斜率，而切线与这条直线垂直，由此可得切线斜率．
【详解】依题意，圆x2+y2﹣2x+4y﹣5＝0的圆心O坐标为（1，﹣2），
∴直线OP的斜率kOP3，
∴切线l的斜率k，
∴圆O过点P的切线方程为：y﹣1（x﹣1），即x+3y﹣5＝0.
故答案为．
【点睛】本题考查过圆上一点的切线方程，由过圆心与切点的半径和切线垂直可求得切线斜率，从而得切线方程．
14．
【分析】先求得关于直线的对称点，结合图像，可知，当三点共线时，取得最小值.
【详解】依题意，设是关于直线的对称点，则，
且，解得，故，
所以，即当三点共线时，取得最小值，
又，所以，
故的最小值为.
故答案为：.
15．2
【分析】根据两圆方程相减可得相交弦所在直线方程，进而可得定点坐标，将其代入直线中得，由基本不等式即可求解.
【详解】圆与圆相减，
得公共弦所在直线为，
故令且，解得，所以，
将代入得，
由于所以，当且仅当时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，
故答案为：2
16．
【分析】直接利用中点坐标公式可得的中点的轨迹为圆，即可根据两圆有公共点即可求解．
【详解】设,，的中点，由已知有，故
将,代入圆的方程中得，
即的中点的轨迹为圆，
又线段的中点也在圆上，
两圆有公共点，，
解得：，
故答案为：
17．(1)
(2)或
【分析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出的方程．
（2）分类讨论直线的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程．
【详解】（1）解：由，解得，
所以两直线和的交点为．
当直线与直线平行，设的方程为，
把点代入求得，
可得的方程为．
（2）解：斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5．
当的斜率存在时，设直限的方程为，即，
则点到直线的距离为，求得，
故的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和得正弦公式化简即可得解；
（2）先利用余弦定理求出，再利用向量化即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
即，
所以，
又，所以，
又，所以；
（2）由余弦定理得，
即，所以，
因为为中BC边的中线，
所以，
则
，
所以.

19．(1)证明见解析
(2)存在，点是线段的中点
【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置.
【详解】（1）证明：连接，取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，
，
又平面，
平面，
又平面
∴平面平面，
在中，，
∵平面平面平面，
平面.
（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点.
20．(1)720人
(2)
(3)需要增加，理由见解析
【分析】（1）由分层抽样的特点可分别求得抽取的初中生、高中生人数，由频率分布直方图的性质可知初中生、高中生课外阅读时间在，小时内的频率，然后由频数样本容量频率可分别得初中生、高中生课外阅读时间在，小时内的样本学生数，最后将两者相加即可．
（2）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件，由频数样本容量频率组距频率可分别得初中生、高中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数，然后用列举法表示出随机抽取3人的所有可能结果以及事件的结果，从而得 ．
（3）同一组中的数据用该组区间中点值作为代表来计算样本中的所有初中生平均每天阅读时间，并与30小时比较大小，若小于30小时，则需要增加，否则不需要增加．
【详解】（1）由分层抽样知，抽取的初中生有人，高中生有人．
初中生中，课外阅读时间在，小时内的频率为:
，学生人数为人．
高中生中，课外阅读时间在，小时内的频率为:
，学生人数约有人，
全校学生中课外阅读时间在，小时内学生总人数为人．
（2）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件，
初中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为人，
高中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为人．
记这3名初中生为，，，这2名高中生为，，
则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共有10种，
即，，，，，，，，，，
而事件的结果有7种，它们是：，，，，，，，
至少抽到2名初中生的概率为．
（3）样本中的所有初中生平均每天阅读时间为:
（小时），而（小时），
，该校需要增加初中学生课外阅读时间．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程.
（2）设出直线的方程，并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得的表达式，结合换元法以及基本不等式求得的最大值.
【详解】（1）由圆心在轴上的圆与直线切于点，设，
直线的斜率为，
则，所以．
所以，所以，，即，
所以圆的标准方程为．
（2）设直线，与圆联立方程组，
可得，
，由根与系数的关系得，，
，
令，则，
所以
，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以的最大值为.
【点睛】本题的难点在于第二问，求最值.求解最值有关的题目，首先要将表达式求出，本题是结合根与系数关系求得表达式.然后根据表达式的结构来选择求最值的方法，可考虑二次函数的性质、基本不等式或函数的单调性来求解最值.
22．（1）（2）（3）存在，
【分析】（1）由直线的方程为，求出交点坐标后由纵坐标为正可得的范围．
（2）在（1）基础上，求出后可得面积，令换元后由基本不等式可得最小值．
（3）在（1）基础上，求出，不论为何值（有意义时），此值为常数，分析此式可得结论．
【详解】（1）直线的方程为，
令得，，由，得，∵，∴，
由得（时，方程组无解，不合题意），
由，∵，∴或，
综上．即．
（2）由（1）得，，，，
设直线的倾斜角为，则，，∴，
，
令，则，，
．
当且仅当，即，时等号成立，
∴的最小值是．
（3）假设存在满足题意的，由（1），，
∴，此式与值无关，则，．
所以，存在，的值与无关．
【点睛】本题考查两直线交点问题，考查三角形面积的最小值，考查直线中的存在性命题．解题方法没有特出之处．求交点坐标，求三角形边长及夹角正弦值得三角形面积，求出的表达式．但在每一部分，又考查了其他的知识，如不等式恒成立问题，用基本不等式求最小值，存在性命题的思维方法等．本题对运算求解能力要求较高，属于困难题．