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【应用题专项】北师大版四年级数学上册 第2单元 线与角（知识梳理+典例精讲+专项训练） （含答案）
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这是一份【应用题专项】北师大版四年级数学上册 第2单元 线与角（知识梳理+典例精讲+专项训练） （含答案），共25页。
第二单元 线与角（讲义） 四年级数学上册专项训练（知识梳理+典例精讲+专项训练） 1. 线段、射线、直线的特点。三者都是直的，但线段的长度有限（可测量），有两个端点（不能向两个方向无限延长）；射线无限长（不可测量），有一个端点（可以向一个方向无限延长）；直线无限长（不可测量），没有端点（可以向两个方向无限延长）。线段、射线都是直线的一部分。2. 线段、射线、直线的读法。线段有两个端点，有两种读法；射线有一个端点，只有一种读法(从端点读起)；直线没有端点，直线用两个大写字母表示时有两种读法，用一个小写字母表示时有一种读法。3. 线段的基本性质。两点之间所有连线中线段最短。4. 两点间距离。连接两点的线段的长度，叫作这两点之间的距离。5. 相交的意义。在同一平面内，如果两条直线只有一个交点，那么就说这两条直线相交。6. 垂直的意义。当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。两条直线互相为对方的垂线。7. 垂线的画法和检验。可以用三角尺画垂线以及检验两条直线是否垂直。8. 从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短。这条垂直线段的长度叫作点到直线的距离。9. 平行线的意义。在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，这两条直线叫平行线。10. 平行线的画法和检验。可以用三角尺和尺子画平行线以及判断两条直线是否平行。11. 用一副三角尺（或用直尺和三角尺）画平行线的方法。（1）把左边直尺(或三角尺)固定，右边三角尺的一条直角边靠紧直尺(或三角尺的一条直角边)。（2）沿右边三角尺另一条直角边画一条直线，然后平移右边三角尺。（3）再沿三角尺最初画直线的那条直角边，最后画一条直线，平移前后画的两条直线就是一组平行线。12. 平角的意义。当角的两条边旋转成一条直线时，所形成的角叫平角。13. 周角的意义。当一条射线绕着它的端点旋转一周，与原来的射线重合时，所形成的角叫周角，14. 锐角、直角、钝角、平角、周角的关系。锐角<直角<钝角<平角<周角，1个周角=2个平角=4个直角。【典例一】太阳射出来的光线是什么线？【详解】太阳是端点，射出来的光线无限延伸，因此是射线．【典例二】能用图中字母表示的直线、射线、线段各有哪几条？【分析】根据直线，射线，线段的定义找出即可．【详解】直线有：直线AD，直线BD；射线有：射线CB，射线AC，射线CA，射线BC，射线CB，射线CD，射线DC，射线AD，射线DA；线段有：线段CB，线段AC，线段AD，线段BC，线段BD，线段CD．【典例三】如下图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B 向河道作垂线交l于 P，则点P为水泵站的位置．（1）你是否同意甲的意见？______（填“是”或“否”）；（2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据．【分析】（1）根据线段的性质可判断；（2）水泵应在线段CB上，连接CB，与l的交点，即为水泵的位置．【详解】（1）否；（2）连接CB，交l于点Q，则水泵站应该建在点Q处； 依据为：两点之间，线段最短．【典例四】想一想，画一画，填一填。（1）A处有一头牛，它想去小河边喝水，请你画出这头牛从A处走到小河边的最近路线。（2）从M点出发有两条路分别通往邻村和镇上，其中通往邻村的路与小河平行。则图中射线（ ）通往邻村，射线（ ）通往镇上。【分析】（1）要画最近的路线，即路程最短，最短即为点A到小河的垂线段，所以从A点作到小河的垂线段即可。（2）从图上可知与小河平行的是射线MN，所以通往镇上的路是MP。【详解】（1）如图所示。（2）从M点出发有两条路分别通往邻村和镇上，其中通往邻村的路与小河平行。则图中射线（MN）通往邻村，射线（MP）通往镇上。【典例五】把正方形纸片剪去一个角，有几种剪法？剩下的各是什么角？画一画，试一试．【详解】【典例六】生活中常常看到一些物体的平面上有角，找一找、数一数哪些物体的平面上有角？有几个角？【分析】角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。【详解】日常生活中的角无处不在，红领巾有3个角，窗户有4个直角，桌面有4个直角……【典例七】运用平角或周角的知识能解决许多折纸中有关角的度数问题。（1）下面是一张长方形纸折起来以后的图形，如果∠1＝32°，你能算出∠2的度数吗？ （2）把一张长方形纸按下面的样子折起来，如果∠1＝30°，你能算出∠2的度数吗？ 【分析】（1）根据折叠的特征，∠1与2∠2的和正好是一个平角的度数，即180°，用180°减去∠1，再除以2，就是∠2的度数。（2）根据折叠的特征，2∠1与∠2的和正好是一个直角的度数，即90°，用90°减去2个∠1的度数，就是∠2的度数。【详解】（1）（180°－32°）÷2＝148°÷2＝74° 答：∠2 是74°。 （2）90°－30°×2＝90°－60°＝30° 答：∠2 是30°。【典例八】角的度量工具是什么？怎样测量下面两个角的度数？【分析】测量角的大小要使用量角器．量角器底边的中间有一个小点是量角器的中心，量角器上有两条0刻度线和两圈刻度，从0到180有180个小格，这是把半圆分成180等份，每一份所对的角的大小是1度，“度”是角的计量单位，用符号“°”表示．【详解】用量角器测量∠1和∠2的度数，∠1开口向右，适合用量角器的内圈刻度．把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，内圈0刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数．我测量出了∠1是60°．∠2开口向左，适合用量角器的外圈刻度，用同样的方法测量出∠2是120°． 一、应用题1．下图中，点A是小兔站的位置，点B是狐狸站的位置．请你判断一下狐狸这时能发现小兔吗？2．求下面各角的度数．3．直线l1和l2互相平行，量一量线段CB，CD，EF，GH的长度，你能发现什么？我的发现是 ．4．图中有几条射线，组成了几个角，测量一下分别是多少度？5．在下面这两条平行线间画几条与平行线垂直的线段，量一量这些线段的长度，你发现了什么?6．小小设计师：请你帮幸福乡规划设计，修一条离公路最近的水泥路，在幸福乡两侧分别建一座粮库和一个农产品加工厂，使它们与幸福乡贯通且与公路的距离都相等，并且能直接通往公路.该怎样设计？请画出示意图.7．你能想办法量出A点到已知直线的距离吗？8．从各角的度数中发现问题．(1)下图中有________条线段．(2)若∠1=125°，那么∠2，∠3，∠4各是多少度？你有什么发现吗？9．下面是淘气将一张长方形纸折起来的图形，已知∠1＝56°，求∠2的度数。10．什么是垂线？怎样画给定直线的垂线？11．说一说，平角与周角的区别与联系。12．分别量出下图两个角的度数，再借助点子图过点B作CB的垂线，过点D作CD的垂线，再作一条线与DE平行。∠1＝（ ），∠2＝（ ）。13．图中∠1＝37°，请你算一算∠2是多少度？（要有计算过程）14．下面的图中，笑笑研究的是什么？请把你的发现和想法写下来。15．按下面要求量一量，画一画。（1）作一条射线BA。（2）量一量：以B为顶点，BA和BC为边组成的角∠CBC是（ ）°。（3）以C点为顶点，CB为一边，画一个135°的角，并标出角的度数。（4）过A点分别作线段BC的垂线段和平行线。16．求下图中角的度数，写出过程。上图是由两块三角板拼成的。是多少度？17．拿一张长方形的纸，折出它的．试试能用几种不同的折法折出来．18．用纸片剪出∠A，然后用它度量∠B，并比较∠A和∠B的大小．19．如图，∠AOB．（1）用尺规作出∠AOB的平分线OD；（2）以OA为一边在∠AOB的外部画∠AOB的余角∠AOC；（3）量一量，∠DOC的大小是 度．（注：按题目要求作图或画图，保留痕迹，不必写画法）20．小明家要安装自来水．如果直接从自来水厂引一根管道到小明家，那么这根管道与主管道之间的夹角是多少度？请连线后用量角器量一量并标注在图中．但为了节省材料，小明家应怎样安装管道最省？请你在图中画出来．21．楼梯有的比较平缓，有的比较陡险，这是怎么回事呢？（1）先量一量它们的角分别是多少？（2）根据角的度数可以发现什么？22．如图已知∠1和∠2相等吗？请说明理由．23．操作：①画出3厘米的线段．②过A点作出已知直线的平行线．③量出角的度数． ．24．图中哪些是直线？哪些是射线，哪些是线段？25．下图中，直线a和直线b互相垂直吗？为什么？26．从B村修一条小路与公路连接，应该怎样修到公路最近?请在图上画出来，并说明理由?27．李伯伯在地里拉了一些与一条边垂直的绳子，并量出这些绳子的长度（绳子夹在菜地的两条边之间，如图）。这块菜地的两条边平行吗？你是怎样想的？28．下图中有几组平行线？29．量一量，画一画． （1）这个角是________度． （2）过点P分别画出角的一条边的垂线和另一条边的平行线．30．3个小朋友跑得一样快，谁最先抢到球？画一画，并说明你判断的理由．31．以A为顶点画出35°的角，以B为顶点画出40°的角，再量一量画出的两条射线所组成的角是多少度？再经过两条射线的交点画出线段CB的垂线．32．一只山羊在A点上，它要去河边喝水，请你为山羊设计一条去河边最近的路，在图上画出来，并且简单说明一下原因。33．按要求画一画，再回答问题． A ． B ． C ． (1)画出直线CB． （2）画出射线BC． （3）画出线段AC．（4）画出图中的锐角和钝角，其中锐角有（ ）个，钝角有（ ）个．34．画一个30°的角，用放大镜来看这个角是多少度？35．说说下图中哪两条直线互相垂直？ 参考答案1．不能【详解】1．由点B分别向房子的前面左右两角各作一条射线．2．如果点A在线的里边，狐狸看不到；如果A在线外边，狐狸能看到．解：从图上看，点A在线的里边，所以狐狸看不到小兔．总结：借助图形分析，是解答这道题的关键．2．180°-75°-75°=30°【详解】根据等腰三角形的定义，另一个底角也是75°，根据三角形的内角和是180度，可以求出顶角的度数．3．平行线间的距离处处相等【详解】先量出线段CB，CD，EF，GH的长度，再根据它们长度之间的关系回答．经测量：CB=CD=EF=GH=1.5厘米．我的发现是：平行线间的距离处处相等．4．4条射线；6个角；∠AOC=85°、∠COD=25°、∠DOB=30°、∠AOD=110°、∠COB=55°、∠AOB=140°．【详解】观察可知，图中一共有4条射线；每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，组成角的个数是1+2+3个，分别量出它们的度数．解：图中一共有4条射线；一共有角：1+2+3=6（个），如图所示：经测量得知：这六个角的度数分别为：∠AOC=85°、∠COD=25°、∠DOB=30°、∠AOD=110°、∠COB=55°、∠AOB=140°．考点：角的认识5．所画的平行线之间的垂线段的长度叫做这两条平行线之间的距离，这样的垂线段有无数条，它们彼此既平行又相等．【详解】做垂线：用直角三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边与直线外的已知点重合，再过这个点沿直角边做垂线即可．观察可得结论．6．解：如下图.【详解】 (1)要使水泥路最近，只能过幸福乡作公路的垂线．因为从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短．(2)要使粮库和工厂与幸福乡贯通且与公路的距离都相等，必须作过幸福乡与公路平行的直线，在直线上确定工厂与粮库，因为平行线间的距离处处相等．1．距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离.2．平行线间的距离处处相等.3．画垂线的步骤：(1)边边重合——把三角板的一条直角边与已知直线重合；(2)点点重合——沿着直线移动三角板，使三角板的直角顶点和直线上的已知点重合；(3)画线——从直角的顶点起，沿着另一条直角边画出一条直线，就是已知直线的垂线(直角顶点是垂足).4．画平行线的步骤：(1)画线——固定三角板，沿着一条直角边先画一条直线；(2)靠紧——用直尺靠紧三角板的另一条直角边；(3)平移——固定直尺，然后平移三角板；(4)画线——沿着第一步中的直角边画出另一条直线.7．解：如图所示A点到已知直线的垂线段AD的长度，就是A点到已知直线的距离.【详解】考点：垂直与平行的特征及性质8．（1）6（2）∠2是55°，∠3是125°，∠4是55°，发现：①对角相等．②四个角的度数和是360°等．【详解】1、图中两条线段相交，线段有两个端点，单独的线段有4条，由两条线段组成的线段有2条，共6条线段.故答案为62、因为∠1+∠2=180°、∠1=125°，所以∠2=55°因为∠2+∠3=180°、∠2=55°、所以∠3=125°因为∠1+∠4=180°、∠1=125°，所以∠4=55°答：∠2是55°，∠3是125°，∠4是55°，发现：①对角相等．②四个角的度数和是360°等．【分析】1、线段有两个端点，有限长，一定要把线段数完；2、两个相邻的角组成平角，根据其中的一个角的度数就可以计算出另一个角的度数.9．62°【分析】观察图片可以发现，把折起来的长方形纸展开，以∠1、∠2的顶点为顶点的角是一个平角，平角＝180°；当把纸折起来后，∠2盖住了一个与它度数相等的角，所以展开后，就是∠1＋∠2＋∠2＝180°，已知∠1＝56°，据此可以求出∠2的度数。【详解】根据分析可得，∠2的度数是：（180°－56°）÷2＝124°÷2＝62°答：∠2的度数是62°。【点睛】本题的关键是理解∠2盖住了一个和它相等的角。10．见详解【详解】两条直线相交有一个角是直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线称为另一条直线的垂线。画垂线时，先画出一条直线，用三角板的一条直角边与这条直线重合，沿着三角板的另－条直角边画线并与前面那条直线相交，这条相交线就是前面那条直线的垂线。11．见详解【详解】通过一个顶点旋转1周所画出的角为周角。1周角＝360度。一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。1平角＝180度。活动角旋转成平角时，两条边在一条直线上。活动角旋转成周角时，两条边重合在一起。【点睛】熟练掌握平角和周角的特征是解决本题的关键。12．135°；45°；画图见详解【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。（2）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。（3）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。【详解】∠1＝135°，∠2＝45°。【点睛】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。13．53度【分析】根据平角的角度180°，图中有一个直角，因为直角的角度为90°，那么∠1＋∠2＋90＝180，可据此进行解答。【详解】因为平角的角度为180°，直角的角度为90°，所以：∠1＋∠2＋90＝180；∠1＋∠2＝180－90；37＋∠2＝90∠2＝90－37＝53°答：∠2是53度。【点睛】本题主要考查平角和直角的角度，牢记平角是180°，直角是90°。14．见详解【分析】根据相交、垂直和平行的定义：同一平面内，两条直线有一个交点，这两条直线相交；同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；同一平面内永不相交的两条直线互相平行，由此进行分析解答。【详解】笑笑研究的是线与线之间的关系；线与线之间的关系有两种，相交和平行，互相垂直是相交的特殊情况。【点睛】本题中主要考查同一平面内线与线的相互关系，解题时要注意知识间的联系和归纳总结。15．见详解【分析】（1）根据射线的特点，只射线有一个端点，可以向一个方向无限延伸，据此画出；（2）用量角器的圆点和顶点B重合，0刻度线和BC重合，在量角器看BA指向的度数即可；（3）用量角器的圆点和顶点C重合，0刻度线和CB重合，在量角器135°的刻度上点上点，过C两个点和刚作的点画射线，即可画出；（4）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可；把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。【详解】（1）（3）（4）作图如下：（2）∠CBC是40°。【点睛】本题考查了学生平行线、垂线和角的作法，培养学生的作图能力，要看清问题，逐步进行解答。16．105°【分析】根据图意，图中三角尺的两个锐角和∠3组成了一个平角，是180°，拼组的两个角的度数分别为30°和45°，由此解答。【详解】180°－30°－45°＝105°答：是105°。【点睛】解答本题的关键是牢记三角尺中各个角的度数和平角的定义。17．1、长边对长边对折→平行对折（4个长矩形）；2、短边对短边对折→平行对折（4个矩形）；3、长边对长边对折→垂直对折（4个矩形与2不同）；4、短边对短边对折→垂直对折（结果与3相同）；5、长边对长边对折→对角线折（4个长直角三角形）；6、短边对短边对折→对角线折（4个短直角三角形）；7、对角线折→展开→另一对角线折（2个锐角三角形，2个钝角三角形）．【详解】试题分析：可以把一个长方形，横向或纵向分成四个矩形，横纵结合，结合对角线，就可以对折长方形得出答案．解：方法大体有：1、长边对长边对折→平行对折（4个长矩形）；2、短边对短边对折→平行对折（4个矩形）；3、长边对长边对折→垂直对折（4个矩形与2不同）；4、短边对短边对折→垂直对折（结果与3相同）；5、长边对长边对折→对角线折（4个长直角三角形）；6、短边对短边对折→对角线折（4个短直角三角形）；7、对角线折→展开→另一对角线折（2个锐角三角形，2个钝角三角形）．点评：此题属于动手操作题，先拿一张纸，实际折一下，分好方向，进一步用语言叙述得出结论．18．两个角的大小相等．【详解】试题分析：先用纸片剪出∠A，然后把两角的顶点重合，∠A的一边与∠B的一条边重合，然后比较另一条边，哪个角的另一条边在外边，哪个角就大，如果重合，两角大小相等．解：拼后如下图：两个角的大小相等．点评：本题可以看出：角的大小与边的长短无关，只与两边张开的大小有关．19．，60【详解】试题分析：（1）根据角平分线的作法得出即可；（2）根据余角定义过点O作OC⊥OB，则∠AOC是∠AOB的余角；（3）利用量角器量出∠DOC的大小即可．解：（1）如图所示：（2）如图所示：过点O作OC⊥OB，则∠AOC是∠AOB的余角；（3）利用量角器量出，∠DOC的大小是60°．故答案为60．点评：此题主要考查了角平分线的作法、垂线作法以及度量角度等知识，根据题意正确作出∠AOB的余角∠AOC是易错点．20．【详解】试题分析：因从直线外一点到这条直线中，垂线段最短，为了节省材料，应从小明家向主管道作垂线．解：答案如图，点评：本题考查了学生作垂线的方法及测量角的能力．21．40°；角的度数和角的两边张开的大小有关，和角的两边的长短无关．【详解】试题分析：（1）先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数．（2）根据测量角度数进行对比得出合理的结论即可．解：（1）经测量，两个角的度数都是40°；（2）发现：角的度数和角的两边张开的大小有关，和角的两边的长短无关．点评：此题主要考查角的度量和角的大小与两边张开的大小有关，和角的两边的长短无关．22．相等【详解】试题分析：观察可知∠1和∠2都和同一个角相加等于90°，列出代数式即可作出判断．解：∠1和∠2相等．理由：如图可知：∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，设∠3=x°∠1=（90﹣x）°，∠2=（90﹣x）°．所以∠1和∠2相等．画线段即可．（2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可．（3）用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数．解：作图如下：点评：本题考查了学生画线段，作平行线以及用量角器量角的能力．24．①和⑤是射线，②是直线，③是线段。【分析】我们在做分辨线段、直线和射线的时候，要明确这三个之间的区别和联系。知道线段有两个端点，直线没有端点，射线只有一个端点。线段和射线都是直线的一部分，据此解答。80°≠90°所以直线a和直线b不垂直。【点睛】此题主要考查垂直的定义，根据定义入手判断两条直线的夹角是多少度即可。26．如图：;理由：从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直线段最短。27．不平行，因为：12米≠17米≠22米≠27米，所以这块菜地的两条边不平行。28．图中有10组平行线．29．（1）40；点到直线的距离垂线段最短。【点睛】考查了作最短线路图，注意直线外一点与这条直线上所有点的连线中，垂线段最短。33．（1）、（2）、（3）如下图 ． （4）3 334．解：还是30°.【分析】考查角的特点．【详解】角的大小与角两边分开的大小有关，与角两边的长短无关，用放大镜看一个角，角度数是不变的.35．解：OE⊥CB，OC⊥OD【详解】同一平面内，相交成直角的两条直线互相垂直，通常用符号“⊥”表示．
第二单元 线与角（讲义） 四年级数学上册专项训练（知识梳理+典例精讲+专项训练） 1. 线段、射线、直线的特点。三者都是直的，但线段的长度有限（可测量），有两个端点（不能向两个方向无限延长）；射线无限长（不可测量），有一个端点（可以向一个方向无限延长）；直线无限长（不可测量），没有端点（可以向两个方向无限延长）。线段、射线都是直线的一部分。2. 线段、射线、直线的读法。线段有两个端点，有两种读法；射线有一个端点，只有一种读法(从端点读起)；直线没有端点，直线用两个大写字母表示时有两种读法，用一个小写字母表示时有一种读法。3. 线段的基本性质。两点之间所有连线中线段最短。4. 两点间距离。连接两点的线段的长度，叫作这两点之间的距离。5. 相交的意义。在同一平面内，如果两条直线只有一个交点，那么就说这两条直线相交。6. 垂直的意义。当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。两条直线互相为对方的垂线。7. 垂线的画法和检验。可以用三角尺画垂线以及检验两条直线是否垂直。8. 从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短。这条垂直线段的长度叫作点到直线的距离。9. 平行线的意义。在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，这两条直线叫平行线。10. 平行线的画法和检验。可以用三角尺和尺子画平行线以及判断两条直线是否平行。11. 用一副三角尺（或用直尺和三角尺）画平行线的方法。（1）把左边直尺(或三角尺)固定，右边三角尺的一条直角边靠紧直尺(或三角尺的一条直角边)。（2）沿右边三角尺另一条直角边画一条直线，然后平移右边三角尺。（3）再沿三角尺最初画直线的那条直角边，最后画一条直线，平移前后画的两条直线就是一组平行线。12. 平角的意义。当角的两条边旋转成一条直线时，所形成的角叫平角。13. 周角的意义。当一条射线绕着它的端点旋转一周，与原来的射线重合时，所形成的角叫周角，14. 锐角、直角、钝角、平角、周角的关系。锐角<直角<钝角<平角<周角，1个周角=2个平角=4个直角。【典例一】太阳射出来的光线是什么线？【详解】太阳是端点，射出来的光线无限延伸，因此是射线．【典例二】能用图中字母表示的直线、射线、线段各有哪几条？【分析】根据直线，射线，线段的定义找出即可．【详解】直线有：直线AD，直线BD；射线有：射线CB，射线AC，射线CA，射线BC，射线CB，射线CD，射线DC，射线AD，射线DA；线段有：线段CB，线段AC，线段AD，线段BC，线段BD，线段CD．【典例三】如下图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B 向河道作垂线交l于 P，则点P为水泵站的位置．（1）你是否同意甲的意见？______（填“是”或“否”）；（2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据．【分析】（1）根据线段的性质可判断；（2）水泵应在线段CB上，连接CB，与l的交点，即为水泵的位置．【详解】（1）否；（2）连接CB，交l于点Q，则水泵站应该建在点Q处； 依据为：两点之间，线段最短．【典例四】想一想，画一画，填一填。（1）A处有一头牛，它想去小河边喝水，请你画出这头牛从A处走到小河边的最近路线。（2）从M点出发有两条路分别通往邻村和镇上，其中通往邻村的路与小河平行。则图中射线（ ）通往邻村，射线（ ）通往镇上。【分析】（1）要画最近的路线，即路程最短，最短即为点A到小河的垂线段，所以从A点作到小河的垂线段即可。（2）从图上可知与小河平行的是射线MN，所以通往镇上的路是MP。【详解】（1）如图所示。（2）从M点出发有两条路分别通往邻村和镇上，其中通往邻村的路与小河平行。则图中射线（MN）通往邻村，射线（MP）通往镇上。【典例五】把正方形纸片剪去一个角，有几种剪法？剩下的各是什么角？画一画，试一试．【详解】【典例六】生活中常常看到一些物体的平面上有角，找一找、数一数哪些物体的平面上有角？有几个角？【分析】角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。【详解】日常生活中的角无处不在，红领巾有3个角，窗户有4个直角，桌面有4个直角……【典例七】运用平角或周角的知识能解决许多折纸中有关角的度数问题。（1）下面是一张长方形纸折起来以后的图形，如果∠1＝32°，你能算出∠2的度数吗？ （2）把一张长方形纸按下面的样子折起来，如果∠1＝30°，你能算出∠2的度数吗？ 【分析】（1）根据折叠的特征，∠1与2∠2的和正好是一个平角的度数，即180°，用180°减去∠1，再除以2，就是∠2的度数。（2）根据折叠的特征，2∠1与∠2的和正好是一个直角的度数，即90°，用90°减去2个∠1的度数，就是∠2的度数。【详解】（1）（180°－32°）÷2＝148°÷2＝74° 答：∠2 是74°。 （2）90°－30°×2＝90°－60°＝30° 答：∠2 是30°。【典例八】角的度量工具是什么？怎样测量下面两个角的度数？【分析】测量角的大小要使用量角器．量角器底边的中间有一个小点是量角器的中心，量角器上有两条0刻度线和两圈刻度，从0到180有180个小格，这是把半圆分成180等份，每一份所对的角的大小是1度，“度”是角的计量单位，用符号“°”表示．【详解】用量角器测量∠1和∠2的度数，∠1开口向右，适合用量角器的内圈刻度．把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，内圈0刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数．我测量出了∠1是60°．∠2开口向左，适合用量角器的外圈刻度，用同样的方法测量出∠2是120°． 一、应用题1．下图中，点A是小兔站的位置，点B是狐狸站的位置．请你判断一下狐狸这时能发现小兔吗？2．求下面各角的度数．3．直线l1和l2互相平行，量一量线段CB，CD，EF，GH的长度，你能发现什么？我的发现是 ．4．图中有几条射线，组成了几个角，测量一下分别是多少度？5．在下面这两条平行线间画几条与平行线垂直的线段，量一量这些线段的长度，你发现了什么?6．小小设计师：请你帮幸福乡规划设计，修一条离公路最近的水泥路，在幸福乡两侧分别建一座粮库和一个农产品加工厂，使它们与幸福乡贯通且与公路的距离都相等，并且能直接通往公路.该怎样设计？请画出示意图.7．你能想办法量出A点到已知直线的距离吗？8．从各角的度数中发现问题．(1)下图中有________条线段．(2)若∠1=125°，那么∠2，∠3，∠4各是多少度？你有什么发现吗？9．下面是淘气将一张长方形纸折起来的图形，已知∠1＝56°，求∠2的度数。10．什么是垂线？怎样画给定直线的垂线？11．说一说，平角与周角的区别与联系。12．分别量出下图两个角的度数，再借助点子图过点B作CB的垂线，过点D作CD的垂线，再作一条线与DE平行。∠1＝（ ），∠2＝（ ）。13．图中∠1＝37°，请你算一算∠2是多少度？（要有计算过程）14．下面的图中，笑笑研究的是什么？请把你的发现和想法写下来。15．按下面要求量一量，画一画。（1）作一条射线BA。（2）量一量：以B为顶点，BA和BC为边组成的角∠CBC是（ ）°。（3）以C点为顶点，CB为一边，画一个135°的角，并标出角的度数。（4）过A点分别作线段BC的垂线段和平行线。16．求下图中角的度数，写出过程。上图是由两块三角板拼成的。是多少度？17．拿一张长方形的纸，折出它的．试试能用几种不同的折法折出来．18．用纸片剪出∠A，然后用它度量∠B，并比较∠A和∠B的大小．19．如图，∠AOB．（1）用尺规作出∠AOB的平分线OD；（2）以OA为一边在∠AOB的外部画∠AOB的余角∠AOC；（3）量一量，∠DOC的大小是 度．（注：按题目要求作图或画图，保留痕迹，不必写画法）20．小明家要安装自来水．如果直接从自来水厂引一根管道到小明家，那么这根管道与主管道之间的夹角是多少度？请连线后用量角器量一量并标注在图中．但为了节省材料，小明家应怎样安装管道最省？请你在图中画出来．21．楼梯有的比较平缓，有的比较陡险，这是怎么回事呢？（1）先量一量它们的角分别是多少？（2）根据角的度数可以发现什么？22．如图已知∠1和∠2相等吗？请说明理由．23．操作：①画出3厘米的线段．②过A点作出已知直线的平行线．③量出角的度数． ．24．图中哪些是直线？哪些是射线，哪些是线段？25．下图中，直线a和直线b互相垂直吗？为什么？26．从B村修一条小路与公路连接，应该怎样修到公路最近?请在图上画出来，并说明理由?27．李伯伯在地里拉了一些与一条边垂直的绳子，并量出这些绳子的长度（绳子夹在菜地的两条边之间，如图）。这块菜地的两条边平行吗？你是怎样想的？28．下图中有几组平行线？29．量一量，画一画． （1）这个角是________度． （2）过点P分别画出角的一条边的垂线和另一条边的平行线．30．3个小朋友跑得一样快，谁最先抢到球？画一画，并说明你判断的理由．31．以A为顶点画出35°的角，以B为顶点画出40°的角，再量一量画出的两条射线所组成的角是多少度？再经过两条射线的交点画出线段CB的垂线．32．一只山羊在A点上，它要去河边喝水，请你为山羊设计一条去河边最近的路，在图上画出来，并且简单说明一下原因。33．按要求画一画，再回答问题． A ． B ． C ． (1)画出直线CB． （2）画出射线BC． （3）画出线段AC．（4）画出图中的锐角和钝角，其中锐角有（ ）个，钝角有（ ）个．34．画一个30°的角，用放大镜来看这个角是多少度？35．说说下图中哪两条直线互相垂直？ 参考答案1．不能【详解】1．由点B分别向房子的前面左右两角各作一条射线．2．如果点A在线的里边，狐狸看不到；如果A在线外边，狐狸能看到．解：从图上看，点A在线的里边，所以狐狸看不到小兔．总结：借助图形分析，是解答这道题的关键．2．180°-75°-75°=30°【详解】根据等腰三角形的定义，另一个底角也是75°，根据三角形的内角和是180度，可以求出顶角的度数．3．平行线间的距离处处相等【详解】先量出线段CB，CD，EF，GH的长度，再根据它们长度之间的关系回答．经测量：CB=CD=EF=GH=1.5厘米．我的发现是：平行线间的距离处处相等．4．4条射线；6个角；∠AOC=85°、∠COD=25°、∠DOB=30°、∠AOD=110°、∠COB=55°、∠AOB=140°．【详解】观察可知，图中一共有4条射线；每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，组成角的个数是1+2+3个，分别量出它们的度数．解：图中一共有4条射线；一共有角：1+2+3=6（个），如图所示：经测量得知：这六个角的度数分别为：∠AOC=85°、∠COD=25°、∠DOB=30°、∠AOD=110°、∠COB=55°、∠AOB=140°．考点：角的认识5．所画的平行线之间的垂线段的长度叫做这两条平行线之间的距离，这样的垂线段有无数条，它们彼此既平行又相等．【详解】做垂线：用直角三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边与直线外的已知点重合，再过这个点沿直角边做垂线即可．观察可得结论．6．解：如下图.【详解】 (1)要使水泥路最近，只能过幸福乡作公路的垂线．因为从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短．(2)要使粮库和工厂与幸福乡贯通且与公路的距离都相等，必须作过幸福乡与公路平行的直线，在直线上确定工厂与粮库，因为平行线间的距离处处相等．1．距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离.2．平行线间的距离处处相等.3．画垂线的步骤：(1)边边重合——把三角板的一条直角边与已知直线重合；(2)点点重合——沿着直线移动三角板，使三角板的直角顶点和直线上的已知点重合；(3)画线——从直角的顶点起，沿着另一条直角边画出一条直线，就是已知直线的垂线(直角顶点是垂足).4．画平行线的步骤：(1)画线——固定三角板，沿着一条直角边先画一条直线；(2)靠紧——用直尺靠紧三角板的另一条直角边；(3)平移——固定直尺，然后平移三角板；(4)画线——沿着第一步中的直角边画出另一条直线.7．解：如图所示A点到已知直线的垂线段AD的长度，就是A点到已知直线的距离.【详解】考点：垂直与平行的特征及性质8．（1）6（2）∠2是55°，∠3是125°，∠4是55°，发现：①对角相等．②四个角的度数和是360°等．【详解】1、图中两条线段相交，线段有两个端点，单独的线段有4条，由两条线段组成的线段有2条，共6条线段.故答案为62、因为∠1+∠2=180°、∠1=125°，所以∠2=55°因为∠2+∠3=180°、∠2=55°、所以∠3=125°因为∠1+∠4=180°、∠1=125°，所以∠4=55°答：∠2是55°，∠3是125°，∠4是55°，发现：①对角相等．②四个角的度数和是360°等．【分析】1、线段有两个端点，有限长，一定要把线段数完；2、两个相邻的角组成平角，根据其中的一个角的度数就可以计算出另一个角的度数.9．62°【分析】观察图片可以发现，把折起来的长方形纸展开，以∠1、∠2的顶点为顶点的角是一个平角，平角＝180°；当把纸折起来后，∠2盖住了一个与它度数相等的角，所以展开后，就是∠1＋∠2＋∠2＝180°，已知∠1＝56°，据此可以求出∠2的度数。【详解】根据分析可得，∠2的度数是：（180°－56°）÷2＝124°÷2＝62°答：∠2的度数是62°。【点睛】本题的关键是理解∠2盖住了一个和它相等的角。10．见详解【详解】两条直线相交有一个角是直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线称为另一条直线的垂线。画垂线时，先画出一条直线，用三角板的一条直角边与这条直线重合，沿着三角板的另－条直角边画线并与前面那条直线相交，这条相交线就是前面那条直线的垂线。11．见详解【详解】通过一个顶点旋转1周所画出的角为周角。1周角＝360度。一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。1平角＝180度。活动角旋转成平角时，两条边在一条直线上。活动角旋转成周角时，两条边重合在一起。【点睛】熟练掌握平角和周角的特征是解决本题的关键。12．135°；45°；画图见详解【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。（2）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。（3）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。【详解】∠1＝135°，∠2＝45°。【点睛】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。13．53度【分析】根据平角的角度180°，图中有一个直角，因为直角的角度为90°，那么∠1＋∠2＋90＝180，可据此进行解答。【详解】因为平角的角度为180°，直角的角度为90°，所以：∠1＋∠2＋90＝180；∠1＋∠2＝180－90；37＋∠2＝90∠2＝90－37＝53°答：∠2是53度。【点睛】本题主要考查平角和直角的角度，牢记平角是180°，直角是90°。14．见详解【分析】根据相交、垂直和平行的定义：同一平面内，两条直线有一个交点，这两条直线相交；同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；同一平面内永不相交的两条直线互相平行，由此进行分析解答。【详解】笑笑研究的是线与线之间的关系；线与线之间的关系有两种，相交和平行，互相垂直是相交的特殊情况。【点睛】本题中主要考查同一平面内线与线的相互关系，解题时要注意知识间的联系和归纳总结。15．见详解【分析】（1）根据射线的特点，只射线有一个端点，可以向一个方向无限延伸，据此画出；（2）用量角器的圆点和顶点B重合，0刻度线和BC重合，在量角器看BA指向的度数即可；（3）用量角器的圆点和顶点C重合，0刻度线和CB重合，在量角器135°的刻度上点上点，过C两个点和刚作的点画射线，即可画出；（4）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可；把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。【详解】（1）（3）（4）作图如下：（2）∠CBC是40°。【点睛】本题考查了学生平行线、垂线和角的作法，培养学生的作图能力，要看清问题，逐步进行解答。16．105°【分析】根据图意，图中三角尺的两个锐角和∠3组成了一个平角，是180°，拼组的两个角的度数分别为30°和45°，由此解答。【详解】180°－30°－45°＝105°答：是105°。【点睛】解答本题的关键是牢记三角尺中各个角的度数和平角的定义。17．1、长边对长边对折→平行对折（4个长矩形）；2、短边对短边对折→平行对折（4个矩形）；3、长边对长边对折→垂直对折（4个矩形与2不同）；4、短边对短边对折→垂直对折（结果与3相同）；5、长边对长边对折→对角线折（4个长直角三角形）；6、短边对短边对折→对角线折（4个短直角三角形）；7、对角线折→展开→另一对角线折（2个锐角三角形，2个钝角三角形）．【详解】试题分析：可以把一个长方形，横向或纵向分成四个矩形，横纵结合，结合对角线，就可以对折长方形得出答案．解：方法大体有：1、长边对长边对折→平行对折（4个长矩形）；2、短边对短边对折→平行对折（4个矩形）；3、长边对长边对折→垂直对折（4个矩形与2不同）；4、短边对短边对折→垂直对折（结果与3相同）；5、长边对长边对折→对角线折（4个长直角三角形）；6、短边对短边对折→对角线折（4个短直角三角形）；7、对角线折→展开→另一对角线折（2个锐角三角形，2个钝角三角形）．点评：此题属于动手操作题，先拿一张纸，实际折一下，分好方向，进一步用语言叙述得出结论．18．两个角的大小相等．【详解】试题分析：先用纸片剪出∠A，然后把两角的顶点重合，∠A的一边与∠B的一条边重合，然后比较另一条边，哪个角的另一条边在外边，哪个角就大，如果重合，两角大小相等．解：拼后如下图：两个角的大小相等．点评：本题可以看出：角的大小与边的长短无关，只与两边张开的大小有关．19．，60【详解】试题分析：（1）根据角平分线的作法得出即可；（2）根据余角定义过点O作OC⊥OB，则∠AOC是∠AOB的余角；（3）利用量角器量出∠DOC的大小即可．解：（1）如图所示：（2）如图所示：过点O作OC⊥OB，则∠AOC是∠AOB的余角；（3）利用量角器量出，∠DOC的大小是60°．故答案为60．点评：此题主要考查了角平分线的作法、垂线作法以及度量角度等知识，根据题意正确作出∠AOB的余角∠AOC是易错点．20．【详解】试题分析：因从直线外一点到这条直线中，垂线段最短，为了节省材料，应从小明家向主管道作垂线．解：答案如图，点评：本题考查了学生作垂线的方法及测量角的能力．21．40°；角的度数和角的两边张开的大小有关，和角的两边的长短无关．【详解】试题分析：（1）先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数．（2）根据测量角度数进行对比得出合理的结论即可．解：（1）经测量，两个角的度数都是40°；（2）发现：角的度数和角的两边张开的大小有关，和角的两边的长短无关．点评：此题主要考查角的度量和角的大小与两边张开的大小有关，和角的两边的长短无关．22．相等【详解】试题分析：观察可知∠1和∠2都和同一个角相加等于90°，列出代数式即可作出判断．解：∠1和∠2相等．理由：如图可知：∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，设∠3=x°∠1=（90﹣x）°，∠2=（90﹣x）°．所以∠1和∠2相等．画线段即可．（2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可．（3）用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数．解：作图如下：点评：本题考查了学生画线段，作平行线以及用量角器量角的能力．24．①和⑤是射线，②是直线，③是线段。【分析】我们在做分辨线段、直线和射线的时候，要明确这三个之间的区别和联系。知道线段有两个端点，直线没有端点，射线只有一个端点。线段和射线都是直线的一部分，据此解答。80°≠90°所以直线a和直线b不垂直。【点睛】此题主要考查垂直的定义，根据定义入手判断两条直线的夹角是多少度即可。26．如图：;理由：从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直线段最短。27．不平行，因为：12米≠17米≠22米≠27米，所以这块菜地的两条边不平行。28．图中有10组平行线．29．（1）40；点到直线的距离垂线段最短。【点睛】考查了作最短线路图，注意直线外一点与这条直线上所有点的连线中，垂线段最短。33．（1）、（2）、（3）如下图 ． （4）3 334．解：还是30°.【分析】考查角的特点．【详解】角的大小与角两边分开的大小有关，与角两边的长短无关，用放大镜看一个角，角度数是不变的.35．解：OE⊥CB，OC⊥OD【详解】同一平面内，相交成直角的两条直线互相垂直，通常用符号“⊥”表示．
